第3章刚体力学基础(完全版)ppt课件.ppt

1第第 3 3 章章 Dynamics of Rigid Body(6) 刚体力学基础刚体力学基础2 本章的主要内容是研究刚体的本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴转动，尤其是定轴转动转动。核心内容：核心内容：这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。 刚体的转动惯量刚体的转动惯量 -质点平动的惯性质量对应质点平动的惯性质量对应 定轴转动的转动定理定轴转动的转动定理 -力矩的瞬时效应力矩的瞬时效应-平动中力的瞬时效应平动中力的瞬时效应定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理及其守恒及其守恒-力矩的时间积累效应力矩的时间积累效应-平动中力的时间积累效应平动中力的时间积累效应 定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理 -力矩的空间积累效应力矩的空间积累效应-平动中力的空间积累效应平动中力的空间积累效应3刚体刚体力学中物体的一种理想模型。力学中物体的一种理想模型。刚体刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。：运动中形状和大小都保持不变的物体。 实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就将物体实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就将物体视为刚体。视为刚体。(b)刚体有确定的形状和大小。刚体有确定的形状和大小。(c)刚体可看作是由许多质点刚体可看作是由许多质点(质元质元)组成的质点系组成的质点系。(a)刚体上各质点之间的距离保持不变。刚体上各质点之间的距离保持不变。无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形状都始终保持不变。状都始终保持不变。刚体的特征：刚体的特征：43-1 .1 刚体运动学刚体运动学一一.刚体的平动和转动刚体的平动和转动 如果刚体在运动中如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间刚体内任何两点的连线在空间的指向始终保持平行的指向始终保持平行,这样的运动就称为这样的运动就称为平动平动。 在平动时在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同刚体内各质点的运动状态完全相同,因此因此平动刚体可视为质点平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来。通常是用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。代表整个刚体的平动。 5 刚体的一般运动比较复杂。但可以证明刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般刚体一般运动可看作是运动可看作是平动和转动的结合平动和转动的结合。 如果刚体内的各个质点都绕同一直线如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴转轴)作圆作圆周运动周运动,这种运动便称为这种运动便称为转动转动。如果转轴是固定不动。如果转轴是固定不动的的,就称为就称为定轴转动定轴转动。 刚体在作刚体在作定轴转动时定轴转动时,由于各质点由于各质点到转轴的距离不同到转轴的距离不同,所以各质点的线所以各质点的线速度、加速度一般是不同的。速度、加速度一般是不同的。 r 但由于各质点的相对位置保持不变但由于各质点的相对位置保持不变,所以描述所以描述各质点各质点运动运动的角量的角量,如角位移、如角位移、角速度和角加速度都是一样的。角速度和角加速度都是一样的。二二.定轴转动的描述定轴转动的描述6 r 1 描述定轴转动刚体的运动的角量描述定轴转动刚体的运动的角量角坐标：角坐标： 角位移：角位移： 单位：单位：rad角速度角速度ttlim0dtd.是矢量方向：方向：与转向成右手螺旋关系。与转向成右手螺旋关系。7角加速度角加速度tt0lim角加速度为角速度对时间角加速度为角速度对时间 t 的一次导数，或为角坐的一次导数，或为角坐标对时间标对时间 t 的二次导数。的二次导数。单位：弧度单位：弧度/秒秒2，rad/s2, s-2方向：方向：角速度变化的方向。角速度变化的方向。dtd 22dtd 008xo 对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？ddsr刚体转过刚体转过d刚体上的一点位移刚体上的一点位移dsrdds 线位移和角位移的关系线位移和角位移的关系9odtdrdtdsrrtanaa 将质点的加速度将质点的加速度可分解为切向加速度可分解为切向加速度和法向加速度和法向加速度.将将dtrdds 式两边同除式两边同除ra10dtdaran2dtdaran2由由dtdrrrr2)(2roranaato221tto-222o若角加速度若角加速度 =c(恒量恒量)，则有，则有11 一一.刚体的角动量刚体的角动量(质点系的角动量质点系的角动量) 刚体的角动量刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。刚体上各个质点的角动量之和。 3-1.1.2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动Z L mi irio式中式中: I= mi ri2称为刚体对称为刚体对z轴的转动惯量。轴的转动惯量。 Li=mi iri=mi ri2 设刚体以角速度设刚体以角速度 绕固定轴绕固定轴z转动转动(见图见图),质量为质量为mi的质点对的质点对o点的角动量为点的角动量为 =I 刚体对刚体对z轴的角动量就是轴的角动量就是 Lz=( mi ri2) 12 问题：问题：为何动量的概念对刚体为何动量的概念对刚体的转动已失去意义？的转动已失去意义？P=0Z L mi irio刚体刚体对对z轴轴的角动量：的角动量： Lz= I 显然，刚体的角动量的方向显然，刚体的角动量的方向与角速度与角速度 的方向相同，沿的方向相同，沿z轴轴方向方向(见图见图),故也称为刚体对固故也称为刚体对固定轴定轴z的角动量。的角动量。IL 13质量质量m物体物体平动惯性平动惯性大小的量度。大小的量度。 动量动量: p=m 转动惯量的物理意义转动惯量的物理意义I= mi ri2称为刚体对称为刚体对z轴的轴的转转动惯量动惯量。Z L mi irio转动惯量转动惯量I物体物体转动惯性转动惯性大小的量度。大小的量度。 角动量角动量: L=I 14证明：刚体质点系的一对内力的力矩之和为零。证明：刚体质点系的一对内力的力矩之和为零。irjrijrijfjifijijiijfrMjijfrijjifrr-)(ijijfr0质点系中的一对内力的力矩之和为零。质点系中的一对内力的力矩之和为零。质点系内力的力矩之和为零。质点系内力的力矩之和为零。15证明：刚体质点系的一对内力做功之和为零。证明：刚体质点系的一对内力做功之和为零。irjrijrijfjifjjiiijrdfrdfdA)ff(jiij-)rdrd(fjiij-ijijrdf)rr(dfjiij-0ijrd0dA16二二.刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理按质点角动量定理式，有按质点角动量定理式，有 )ji( jijf 设有一质点系设有一质点系, 第第i个质点的个质点的 位矢为位矢为 ri , 外力为外力为 Fi , 内力为内力为 , dt)mr(dfrFriii)ji( jijiii mi：对各质点求和，并注意到对各质点求和，并注意到0 )fr()ji( jijii)mr(dtdFriiiiiii 得得17)mr(dtdFriiiiiii iiiFr = =M质点系所受的质点系所受的合外力矩合外力矩)mr(iiii = =L L质点系的质点系的总角动量总角动量于是得于是得dtLdM 式的意义是式的意义是:质点系所受的质点系所受的合外力矩合外力矩等于质点系的等于质点系的总总角动量对时间的变化率角动量对时间的变化率。这个结论叫。这个结论叫质点系角动量定质点系角动量定理理。 显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。18 对定轴转动的刚体对定轴转动的刚体, I为常量为常量, d /dt=, 故式又可写故式又可写成成 上上式是一矢量式式是一矢量式, 它沿通过定点的固定轴它沿通过定点的固定轴z方方向上的分量式为向上的分量式为这就是刚体这就是刚体定轴转动定理，定轴转动定理，它是刚体它是刚体定轴转动定轴转动的动力学方程的动力学方程 。 M=IdtLdM dtdLMzz dtId)( (Lz=I )上式称为物体上式称为物体定轴转动方程定轴转动方程。19IM 式子表明表明, 刚体所受的刚体所受的合外力矩合外力矩等于刚体的等于刚体的转动转动惯量惯量与刚体与刚体角加速度角加速度的的乘积乘积。恒与恒与 方向相同方向相同.M物理意义物理意义: 1 受合外力矩作用受合外力矩作用,刚体转动状态将发生改变，刚体转动状态将发生改变，产生角加速度。产生角加速度。 当刚体的当刚体的 一定时，一定时，IM202 当当 一定时，一定时，MI1IM 注意：注意： 1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是力矩，力矩，而不是力而不是力！I是刚体转动惯性大小的量度。是刚体转动惯性大小的量度。I表征刚体保持其原有转动状态的能力。表征刚体保持其原有转动状态的能力。I是刚体的固有属性，与刚体处于什么状态无关是刚体的固有属性，与刚体处于什么状态无关21IM 2 为瞬间作用规律。为瞬间作用规律。IM 一旦一旦 ，立刻，立刻 ，匀角速度转动。，匀角速度转动。0M03 和和 ，均对同一转轴而言。，均对同一转轴而言。 MIM4 代表作用于刚体的合外力矩，代表作用于刚体的合外力矩，外MM特别强调：特别强调：系统所受合外力为零，系统所受合外力为零，不一定外M0一对力偶产生的力矩不为零。一对力偶产生的力矩不为零。 以上内容的学习要点：以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转掌握刚体定轴转动定律及用隔离体法求解动定律及用隔离体法求解(刚体刚体+质点质点)系统问系统问题的方法。题的方法。22 质量质量m物体物体平动惯性平动惯性大小的量度。大小的量度。 转动惯量转动惯量I物体物体转动惯性转动惯性大小的量度。大小的量度。 3-1.2 转动惯量转动惯量 动量动量: p=m 角动量角动量: L=I 一一.转动惯量的物理意义转动惯量的物理意义23 I= mi ri2 即：质点体系即：质点体系的的转动惯量转动惯量等于各质点的等于各质点的质量质量乘以它乘以它到转轴距离的平方到转轴距离的平方的总和。的总和。dmrI2式中式中: r为刚体上的质元为刚体上的质元dm到转轴的距离。到转轴的距离。 (1)质量离散分布质点体系质量离散分布质点体系二二.转动惯量的计算转动惯量的计算(2)质量连续分布刚体质量连续分布刚体24 三三.平行轴定理平行轴定理Io=Ic+Md2Ic 通过刚体质心的轴的转动通过刚体质心的轴的转动 惯量惯量;M 刚体系统的总质量刚体系统的总质量; d 两平行轴两平行轴(o,c)间的距离。间的距离。IoIcdCMo25平行轴定理的证明平行轴定理的证明irdrrii-2 iiirmIiiirmir)dr()dr(miiii-2Md2iiirmiiirmd- 2CiiirMrm0Cr2MdIIC2MdICimirdoMC26o 通过通过o点且垂直于三角形平点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为面的轴的转动惯量为 (1)正三角形的各顶点处有一质点正三角形的各顶点处有一质点m，用质量不计，用质量不计的细杆连接的细杆连接,如图。系统对通过质心如图。系统对通过质心C且垂直于三角形且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为平面的轴的转动惯量为)33(lr ,ml2 cI2mr3=ml2+(3m)r2=2ml2例题例题 质量离散分布刚体质量离散分布刚体: I= mi ri2 lllcrmmm刚体的转动惯量不仅依赖于质量的大小，而且还依赖刚体的转动惯量不仅依赖于质量的大小，而且还依赖于质量到转轴的空间分布。于质量到转轴的空间分布。+ml2=2ml2ml2IO=27 (2)用质量不计的细杆连接的五个质点用质量不计的细杆连接的五个质点, 如图所如图所示。转轴垂直于质点所在平面且通过示。转轴垂直于质点所在平面且通过o点点, 转动惯量转动惯量为为 IO=m.02=30ml2+2m(2l2)+3m(2l)2+4ml2+5m(2l2)om2m3m4m5mllll28dmrI2 (1)质量为质量为m、长度为、长度为l的细直棒，可绕通过质心的细直棒，可绕通过质心C且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。 例题例题质量连续分布刚体质量连续分布刚体: - -22llcIdxlm2x记住！2121ml 若棒绕一端若棒绕一端o转动，由平行转动，由平行轴定理，轴定理， 则转动惯量为则转动惯量为 2121mlIoCdxdmxxo 解解 方法：将细棒分为若干微元方法：将细棒分为若干微元dm=(m/l)dx ,然后然后积分得积分得o231ml m 22)l(29R (3)均质圆盘均质圆盘(m,R)绕中心轴转绕中心轴转动时，可将圆盘划分为若干个动时，可将圆盘划分为若干个半径半径r、宽、宽dr的圆环积分的圆环积分 ： (2)均质细圆环均质细圆环(m, R)绕中心轴转动时，其转动绕中心轴转动时，其转动惯量为惯量为 dmrdr R0cI2r2Rm rdr 2221mR 2mR dmRIc环230 解解 由由 M=I, = o+t 有外力矩时有外力矩时, 例题例题 以以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在在10s内该轮的转速均匀地由零增大到内该轮的转速均匀地由零增大到100rev/min。此时撤去该力矩此时撤去该力矩,转轮经转轮经100s而停止。试推算此转轮而停止。试推算此转轮对该轴的转动惯量。对该轴的转动惯量。 撤去外力矩时撤去外力矩时, -Mr=I2 , 2=- /t2 (2)20=J 1， 1= /t1 (因因 o=0) 20-Mr=I1， 1= /t1 (因因 o=0) (1)代入代入t1=10s , t2=100s , =(1002 )/60=10.5rad/s, 解式解式(1)、(2)得得 I=17.3kg.m2 。31 解解 对柱体对柱体,由转动定律由转动定律M=I有有 mg.R=I 这式子对吗？这式子对吗？ 例题例题 质量为质量为M、半径为、半径为R的匀质柱体可绕通过其的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的物体，的物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。mg TmMR对对m: mg-T=ma错！此时绳中张力错！此时绳中张力T mg。隔离体法隔离体法+转动定理。转动定理。解得解得 =2mg/(2m+M)R, T=Mmg/(2m+M)。对柱：对柱： TR=I关联方程：关联方程：a=R32求解联立方程，代入数据，可得求解联立方程，代入数据，可得 =2m/s, T1=48N, T2=58N。 m1: T1R= m1R21 2121m2: T2r-T1r = m2r22 例题例题两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量m1=24kg， m2=5kg。一轻绳缠绕于盘。一轻绳缠绕于盘m1上，另一端上，另一端通过盘通过盘m2后挂有后挂有m=10kg的物体。求物体的物体。求物体m由静止开由静止开始下落始下落h=0.5m时，物体时，物体m的速度及的速度及 绳中的张力。绳中的张力。 解解 各物体受力情况如图所示。各物体受力情况如图所示。T1T1m1R1m22rT2mgmm: mg-T2= maa=R1=r2 , 2=2ah33小结小结:若一个系统的运动包含若一个系统的运动包含物体平动物体平动和和刚体的转动刚体的转动处理办法：处理办法：对平动的物体对平动的物体，分析受力，按照，分析受力，按照 列方程。列方程。amF对转动的刚体对转动的刚体，分析力矩，按照，分析力矩，按照 列方程。列方程。IM 补加转动与平动的关联方程补加转动与平动的关联方程联立求解各方程。联立求解各方程。34 例题例题 一根质量为一根质量为m、长为、长为l的均匀细棒的均匀细棒AB，可绕，可绕一水平光滑轴一水平光滑轴o在竖直平面内转动，在竖直平面内转动，Ao= l/3。今使棒。今使棒从水平位置由静止开始转动，求棒转过角从水平位置由静止开始转动，求棒转过角 时的角时的角加速度和角速度。加速度和角速度。 CmgABo cos6l 解解 细棒细棒AB受的重力可集中在质心，故重力的力受的重力可集中在质心，故重力的力矩为矩为632llloc - - mgMo cos23lg ooIM222-ooI2)6(lm 291ml 2121ml35 dlgdcos2300 完成积分得完成积分得lg sin3 讨论讨论: (1)当当 =0时，时， =3g/2l， =0 ； (2)当当 =90时，时， =0，lg3 cos23lgIMoodtd又因又因dtddd dd cos23lg dtd CmgABo36 例题例题 匀质圆盘：质量匀质圆盘：质量m、半径、半径R，以以 o的角速度的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数为转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数为，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？ mgR 32- - 221mRI 解解 将圆盘分为无限多个半径为将圆盘分为无限多个半径为r、宽为、宽为dr的圆环，的圆环，用积分计算出摩擦力矩。用积分计算出摩擦力矩。 R0 MrdrRm 22g r- -o水平桌面水平桌面rdr37RgIM34-于是得于是得由由 = o+ t = 0得得gRtOo43- 又又由由 2- o2=2 ，所以停下来前转过的圈数为所以停下来前转过的圈数为gRNoo1632222-221mRI ,mgR 32- - Mo水平桌面水平桌面rdr38 3-2 定轴转动的角动量守恒定律定轴转动的角动量守恒定律dtIddtdLM)(1122212211)(IIIdMdtttII- 上式的物理意义是上式的物理意义是：合外力矩的冲量合外力矩的冲量(冲量矩冲量矩)等于等于物体角动量的增量物体角动量的增量。定轴转动方程定轴转动方程:若物体所受的若物体所受的合外力矩为零合外力矩为零(即即0)时，则时，则I =常量常量这表明：当这表明：当合外力矩为零时合外力矩为零时，物体的角动量将保持，物体的角动量将保持不变，这就是定轴转动的不变，这就是定轴转动的角动量守恒定律角动量守恒定律。39 当系统所受的当系统所受的合外力力矩为零时，合外力力矩为零时，系统的系统的总角动量总角动量的矢量和就保持不变。的矢量和就保持不变。 在日常生活中在日常生活中,利用角动量守恒的例子也是很多的。利用角动量守恒的例子也是很多的。 系统角动量守恒定律：系统角动量守恒定律： 系统系统动量守恒动量守恒是是： 0外外当当F时时,常常矢矢量量 iiim 对比：对比： 0外外当当M时时,常矢量iiiI系统系统角动量守恒角动量守恒：4041 角动量守恒在现代技术中有着非常广泛的应用。例角动量守恒在现代技术中有着非常广泛的应用。例如直升飞机在未发动前总角动量为零如直升飞机在未发动前总角动量为零,发动以后旋翼在发动以后旋翼在水平面内高速旋转必然引起机身的反向旋转。为了避水平面内高速旋转必然引起机身的反向旋转。为了避免这种情况免这种情况,人们在机尾上安装一个在竖直平面旋转的人们在机尾上安装一个在竖直平面旋转的尾翼尾翼,由此产生水平面内的推动力来阻碍机身的旋转运由此产生水平面内的推动力来阻碍机身的旋转运动。与此类似动。与此类似,鱼雷尾部采用左右两个沿相反方向转动鱼雷尾部采用左右两个沿相反方向转动的螺旋浆来推动鱼雷前进的螺旋浆来推动鱼雷前进,也是为了避免鱼雷前进中的也是为了避免鱼雷前进中的自旋。安装在轮船、飞机、导弹或宇宙飞船上的回转自旋。安装在轮船、飞机、导弹或宇宙飞船上的回转仪仪(也叫也叫“陀螺陀螺”)的导航作用，也是角动量守恒应用的导航作用，也是角动量守恒应用的最好例证。的最好例证。 以上内容的学习要点：以上内容的学习要点：掌握角动量守恒的条件掌握角动量守恒的条件及用角动量守恒定律求解问题的方法。及用角动量守恒定律求解问题的方法。42 解解 (1)杆杆+子弹：竖直位置，外力子弹：竖直位置，外力(轴轴o处的力和处的力和重力重力)均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒：均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒： 32lmo解得解得)43(6mMlmo 例题例题 匀质杆：长为匀质杆：长为l、质量质量M，可绕水平光滑固可绕水平光滑固定轴定轴o转动，开始时杆竖直下垂。质量为转动，开始时杆竖直下垂。质量为m的子弹以的子弹以水平速度水平速度 o射入杆上的射入杆上的A点，并嵌在杆中，点，并嵌在杆中，oA=2l/3, 求求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度子弹射入后瞬间杆的角速度; m ooA 32l231Ml32lml3243 例题例题 匀质园盘匀质园盘(M、R)与人与人( m ,视为质视为质 点点)一起以一起以角速度角速度 o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动，绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动，如图如图所示所示。当此人从。当此人从盘的盘的边缘走到边缘走到盘心时，盘心时，圆盘的角速度圆盘的角速度是多少？是多少？ 解解 (1)系统系统(圆盘圆盘+人人)什么什么量守恒？量守恒？ 221MR oMm )21( o0 RmoMR 2210R系统角动量守恒：系统角动量守恒： 44 解解 (1)系统系统(圆盘圆盘+人人)什么什么量守恒？量守恒？ 例题例题5-12 匀质园盘匀质园盘(m、R)与一人与一人( ,视为质视为质 点点)一起以角速度一起以角速度 o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动转动,如图所示如图所示。如果。如果此人相对于盘此人相对于盘以速率以速率 、沿、沿半径为半径为 的园周运动的园周运动(方向与盘转动方向相反方向与盘转动方向相反), 求求: 2R10m (1)圆盘对地的角速度圆盘对地的角速度; (2)欲使园盘对地静止，人相对欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方向？园盘的速度大小和方向？ o2 / R 盘I上式正确吗？上式正确吗？oI盘2Rm - -人L系统角动量守恒：系统角动量守恒：45 o2 / R 角动量守恒式子是：角动量守恒式子是： 错！因为错！因为角动量守恒定律角动量守恒定律只适用于惯性系。只适用于惯性系。 所以应代入人相对于惯性系所以应代入人相对于惯性系(地面地面)的角动量。的角动量。盘IoI盘2Rm - -人LoI盘02人mR盘I人对地 L人对地 L人对地人mR2人对地人对地2R盘IoI盘02人mR人对地人m)R(2246解出：解出：Ro212 o2 / R )2()2(102RRm - - 221mR omR 221o)R(m22110盘IoI盘02人mR人对地人m)R(22 人对地人对地= 人对盘人对盘 + 盘对地盘对地 人对地人对地= R 2- -+ 002R47(2) 欲使盘静止，可令欲使盘静止，可令0212 Ro 得得oR 221- - 式中负号表示人的运动方式中负号表示人的运动方向与盘的初始转动向与盘的初始转动( o)方方向一致。向一致。 o2 / R Ro212 48刚体的刚体的转动动能为转动动能为 iiikrmE2221 1.刚体的刚体的转动动能转动动能 =刚体上各质点刚体上各质点动能之和。设刚体绕一定轴以角速度动能之和。设刚体绕一定轴以角速度 转动转动，第第i个质点个质点mi到转轴的距离为到转轴的距离为ri , mi的线速度的线速度 i=ri , 相应的动能相应的动能质点的平动动能为质点的平动动能为221 mEk 对比！对比！3-3定轴转动中的功和能定轴转动中的功和能221I2222121 iiiirmm一一.刚体的刚体的转动动能转动动能Z mi irio49 设物体在力设物体在力F作用下作用下，绕定轴绕定轴oz转动，则力转动，则力F的元的元功是功是 21 MdA二二.力矩的功力矩的功 力矩的功率是力矩的功率是 MdtdMdtdAP ZFdsd opr即：力矩的元功等于力矩即：力矩的元功等于力矩M和角位移和角位移d 的乘积。的乘积。=Frd sin =Md dA=Fdscos(90- )50 上式说明：上式说明：合外力矩的功等于刚体转动动能的增合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。量。这便是定轴转动的动能定理。这便是定轴转动的动能定理。 dtdIIMddtdIMdA2121三三.刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理dI2121222121 mmrdFA- - 对比对比:质点动能定理：质点动能定理：2122212121IIMdA-（I=恒量）恒量）51 一个包括有刚体在内的系统一个包括有刚体在内的系统,如果只有保守内如果只有保守内力作功力作功,则这系统的机械能也同样守恒。则这系统的机械能也同样守恒。221ImghEc式中式中, hc为刚体质心到零势面的高度。为刚体质心到零势面的高度。 四四.机械能守恒定律在刚体系统中的应用机械能守恒定律在刚体系统中的应用 在计算刚体的重力势能时，可将它的在计算刚体的重力势能时，可将它的全部质量集中全部质量集中在在质心质心。刚体的机械能为刚体的机械能为52 例题例题 均匀细直棒：质量均匀细直棒：质量m、长为、长为l，可绕水平光，可绕水平光滑固定轴滑固定轴o转动。开始时，棒静止在竖直位置，求棒转动。开始时，棒静止在竖直位置，求棒转到与水平面成转到与水平面成 角时的角速度和角加速度。角时的角速度和角加速度。Chco2lmg222312121mllmmlI 解解 棒在转动的过程中，只有保守力棒在转动的过程中，只有保守力(重力重力)作功，作功，故机械能守恒。取水平面为零势面，于是有故机械能守恒。取水平面为零势面，于是有由上得由上得)1(3 sinlg- - sinlmg2 221I53dtd 讨论：讨论： 本题也可先由本题也可先由M=I求出求出，再用再用=d /dt积分求出积分求出 ，如，如ppt34例题那样。例题那样。Chco角加速度：角加速度：)1(3 sinlg- - coslg23 dtddd dd- - 54 例题例题 一匀质细棒：长度为一匀质细棒：长度为l、质量为、质量为m，可绕水，可绕水平光滑固定轴平光滑固定轴o转动。棒自水平位置静止摆下，在竖转动。棒自水平位置静止摆下，在竖直位置处与物体直位置处与物体m相碰，碰后物体沿地面滑行距离相碰，碰后物体沿地面滑行距离S后停止，设物体与地面间的摩擦系数为后停止，设物体与地面间的摩擦系数为 ，求刚碰后，求刚碰后棒的角棒的角速度。速度。 解解 (1)棒的转动，机械能守恒：棒的转动，机械能守恒：om22)31(212omllmg (2)碰撞过程，角动量守恒：碰撞过程，角动量守恒：oml 231lm 231ml 5522)31(212omllmg oml 231lm 231ml (3)物体的滑行，由功能原理物体的滑行，由功能原理：2210 mmgS- - - -lgSgl 233- - 解得解得讨论：当讨论：当l 6 S时，时， 0, 表示碰后棒向右摆；表示碰后棒向右摆； 当当l 6 S时，时， 0, 表示碰后棒向左摆。表示碰后棒向左摆。om56 解解 (1)杆杆+子弹：竖直位置，外力子弹：竖直位置，外力(轴轴o处的力和处的力和重力重力)均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒：均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒： )32(313222lmMllmo解得解得)43(6mMlmo 例题例题 匀质杆：长为匀质杆：长为l、质量质量M，可绕水平光滑固可绕水平光滑固定轴定轴o转动，开始时杆竖直下垂。质量为转动，开始时杆竖直下垂。质量为m的子弹以的子弹以水平速度水平速度 o射入杆上的射入杆上的A点，并嵌在杆中，点，并嵌在杆中，oA=2l/3, 求求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度子弹射入后瞬间杆的角速度; (2)杆能转过的最杆能转过的最大角度大角度 。m ooA 32l57(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：杆在转动过程中显然机械能守恒：m ooA 32l)322()32(31 2)32(1cos222lmglMglmMllmo - - 由此得：由此得：)mMlmo43(6 由前由前221IEk转动动能转动动能 cos32-cos2lmglMg- - 零势面零势面平动动能平动动能221 mEk 2lMg- -32-lmg223121Ml223221)l(mL32583.2.4.2 回转仪回转仪 进动进动(自学自学)3.3.3.2 刚体的平面运动刚体的平面运动(自学自学)本章小结本章小结: M=I1 定轴转动定理定轴转动定理dmrI2 I= mi ri2 称为刚体对称为刚体对z轴的轴的转动惯量转动惯量。2 转动惯量转动惯量质量连续分布的刚体的转动惯量质量连续分布的刚体的转动惯量59若物体所受的若物体所受的合外力矩为零合外力矩为零(即即0)时，则时，则I =常量常量3 物体系的角动量守恒物体系的角动量守恒2122212121IIMdA-4 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 一个包括有刚体在内的系统一个包括有刚体在内的系统,如果只有保守内如果只有保守内力作功力作功,则这系统的机械能也同样守恒。则这系统的机械能也同样守恒。221ImghEc刚体的机械能为刚体的机械能为5 物体系的机械能守恒物体系的机械能守恒