高数ppt课件6.5隐函数求导法则.ppt
第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、一个方程的情形一、一个方程的情形二、方程组的情形二、方程组的情形三、小结三、小结一、一个方程的情形一、一个方程的情形引例引例:已知已知 确定确定 , 求求)(xy )(xyy 0 xyeyx一般地一般地 , , 可确定可导函数可确定可导函数 , , 如何求导如何求导? ?)(xyy 0),( yxF0),(. 1 yxF隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的 某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF， 0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ， 并有并有 yxFFxy dd. . 隐函数的求导公式隐函数的求导公式定理定理1.1. 设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程( , )0F x yP在点单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件导数0),(. 1 yxF0)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则前述引例前述引例:0 xyeyx, 0)( xyex,yFyx令令,0)(时时当当 xex,yFyxy就可确定可导函数就可确定可导函数 , 且且)(xyy yxFFxy dd.xeyeyxyx 例例1. 验证方程01esinyxyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数, )(xfy d.dyx解解: 令, 1esin),(yxyyxFx;0)0 , 0(F,eyFxx连续 ;由 定理1 可知,1)0 , 0(yF,0, )(xfy 导的隐函数 则xyFy cos在点 (0,0)的某邻域内方程存在单值可且并求ddyxxyFF xy cosyxe解解令令1( , )sin2F x yyyx则则1,xF 11cos ,2yFyxyFdydxF 2.2cos y 解解 法一法一 则则221( , )ln()arctan,2yF x yxyx,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFxy dd.xyyx 令令法二法二 方程两边对方程两边对x求导求导,视视y为为x的函数的函数:dtan() ,.d例3：由方程确定求xyzzxyyexyx 解解.),(tan(可求全导数可求全导数 xyxz)1)(secdd2yyxxz (),xyF x,yexy令, yeFyxx ,xeFyxy yxFFy ,xeyeyxyx )1)(secdd2yyxxz ).1)(sec2xeyeyxyxyx 隐函数存在定理隐函数存在定理 2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP ),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF 0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF 0) z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯的某一邻域内恒能唯一确一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ， 并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . . 0),( zyxF2. 推广到三元以上推广到三元以上解法一：解法一：用公式法用公式法解法二：解法二：两边同时对两边同时对 x (或或 y )求偏导求偏导解法三：解法三：用全微分形式不变性用全微分形式不变性思路：思路：(2)xy(3)yz解解令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 3. 求隐函数的高阶偏导数求隐函数的高阶偏导数求隐函数的二阶偏导数常用方法有两种：求隐函数的二阶偏导数常用方法有两种：,zxFFxz 先求出一阶偏导数先求出一阶偏导数方法一方法一有：有：求导求导再对再对,x zxFFxxz22 2zzxxzFxFFxFF ).,(yxzzz 要视作要视作此时此时.222yxzyz 及及类似地，可求得类似地，可求得.导两次导两次直接对原方程接连求偏直接对原方程接连求偏方法二方法二 ).,(yxzzz 要视作要视作此时此时, 0: xzFFxzx求偏导得求偏导得方程两边对方程两边对, 02:222 xzFxzFxzFFxzzzxzxx求偏导得求偏导得上式两边再对上式两边再对.22代入求出结果代入求出结果并将并将由上式解出由上式解出xzxz .222yxzyz 及及类似地，可求得类似地，可求得22.ln,.xtyzzzxyedtxx y 例例2 2 设设求求2222111111xxyyzez xzzexzez yzzey 解： 5432003( , )1xyzz x yzxzyzzx y 例 ：设是由方程确定的隐函数，求得得视视求偏导求偏导方程两边分别对方程两边分别对),(,yxzzyx )1(03452344 xxxzyzzxzzzz)2(03452334 yyyzyzzzxzzz,5151)2()1(1, 0, 00,0(0,0( ），得：得：、代入代入将将yxzzzyx,1, 0, 0 zyx得得解：由解：由:)()1(的函数的函数、均为均为、求偏导求偏导两边对两边对方程方程yxzzyx得：得：代入代入将将）)3(51,51,1, 0, 00,0(0,0( yxzzzyx.2530,0( ）xyz)3(034)345()3610(223222 xyxyyxzzzzzyxzzzzzyxzzz 0),(0),()1(zyxGzyxF二、方程组的情形二、方程组的情形则方程组则方程组 0),(0),(zyxGzyxF 在点在点),(000zyxP的某的某一邻域内恒能唯一确定一对单值连续且具有连续一邻域内恒能唯一确定一对单值连续且具有连续偏导数的函数偏导数的函数 )()(xzzxyy，它们满足条件，它们满足条件)(00 xyy , ,)(00 xzz ，并有，并有 ),(),(),(),(ddzyGFzxGFxy ,xzxzyzyzFFGGFFGG ),(),(),(),(ddzyGFxyGFxz ,zyzyxyxyGGFFGGFF 解解1直接代入公式直接代入公式.解解2运用公式推导的方法运用公式推导的方法.将所给方程的两边分别对将所给方程的两边分别对 求导，求导，视视x).(, )(xzzxyy 0),(0),()2(vuyxGvuyxF隐函数存在定理隐函数存在定理 4 4 设设),(vuyxF、),(vuyxG在点在点),(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续偏的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且导数，且0),(0000 vuyxF, ,),(0000vuyxG 0 ，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式），且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式） vGuGvFuFvuGFJ ),(),( 在点在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组不等于零，则方程组 0),( vuyxF、 0),( vuyxG 在点在点),(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu ，),(yxvv ，它们满足条件，它们满足条件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并有，并有 ,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 例例3 : 设设 y = g ( x , z ) , 而而 z 由由 f ( x z, x y )= 0 所所确定确定 , 求求.ddxz解解:这类问题可看成是由两个方程确定了这类问题可看成是由两个方程确定了y = y ( x ) , z = z ( x ) , 用方程组确定的隐函数求导法用方程组确定的隐函数求导法.1.( , ),:(,)0F u vF cxaz cybz例例 设设可可微微 求求证证 由由方方程程( , ).zzzz x yabcxy所所确确定定的的函函数数满满足足: :利用隐函数求导，可证明偏导数满足给定的关系式利用隐函数求导，可证明偏导数满足给定的关系式. .121121221200zzcabxxczxabFzzacbyyczyabFzzbcxy证 ： FFF F FFF F a)(bzyazx ),(yxzz 1 yzbxza 例、例、 证明方程证明方程 确定确定 的满足的满足 ，其中，其中 为可微为可微. .利用隐函数求导，可证明偏导数满足给定的关系式利用隐函数求导，可证明偏导数满足给定的关系式. .例例: 设设.,cossinxvxuvueyvuexuu 求求分析分析: 该方程组确定该方程组确定方程组两边分别对方程组两边分别对x求偏导求偏导,可求得可求得),(, ),(yxvvyxuu .,xvxu （分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(zyxGzyxF四、小结四、小结 0),(0),()4(vuyxGvuyxF.)5(复合隐函数求导复合隐函数求导已已知知)(zyzx ，其其中中 为为可可微微函函数数，求求? yzyxzx思考题思考题思考题解答思考题解答记记)(),(zyzxzyxF , 则则zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于是于是zyzyxzx .
