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分式方程分式方程一、复习一、复习: :解下列方程：解下列方程：)2(213)4(xx解解: :(去分母去分母)2(x+4)=3(x+2)(去括号去括号)2x+8=3x+6(移移 项项)2x-3x=6- 8(合并同类项合并同类项)-x=-2(系数化为系数化为1)x=2引入问题：引入问题：轮船在顺水中航行轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航千米所需的时间和逆水航行行60千米所需的时间相同千米所需的时间相同.已知水流的速度是已知水流的速度是3千米千米/时，求轮船在静水中的速度时，求轮船在静水中的速度.分析：分析：设轮船在静水中的速度为设轮船在静水中的速度为x千米千米/时，根据题时，根据题意，得意，得360380 xx这个方程有何特点？这个方程有何特点？课前热身课前热身分式方程的主要特征：分式方程的主要特征：（1）含有分式）含有分式 （2）分母中含有未知数）分母中含有未知数 方程方程 中含有分式，并且中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式分式方程方程.360380 xx二、分式方程的概念二、分式方程的概念 1.判断下列哪些是分式方程？判断下列哪些是分式方程？(考查定义考查定义)2111x )5(111x1 4 61251-x 3 512x 2 4x12x ) 1 (2xx）（）（）（练习练习: :360380 xx两边都乘以最简公分母两边都乘以最简公分母 (x+3)(x-3) 得方程得方程)3(60)3(80 xx解这个整式方程得解这个整式方程得21x分式方程分式方程整式方程整式方程两边乘两边乘以最简以最简公分母公分母答答:轮船在静水中的速度为轮船在静水中的速度为21千米千米/时时.解方程：解方程：1613122 xxx两边都乘以最简公分母两边都乘以最简公分母 （x+1）(x-1) 得整式方程得整式方程6)1(3)1(2 xx解这个整式方程得解这个整式方程得1 xx=1究竟是不是原方程的根究竟是不是原方程的根?把把x=1代入原方程检验代入原方程检验x=1使某些分式的分母的值为零使某些分式的分母的值为零也就是使分式也就是使分式 和和 没有意义没有意义13 x162 x x=1不是原方程的根，原分式方程无解。不是原方程的根，原分式方程无解。 在原方程变形时，有时可能产生不适合原方在原方程变形时，有时可能产生不适合原方 程的根程的根. .不适合原方程的根是如何产生的？不适合原方程的根是如何产生的？3x323xx)332 (3xxx方程两边都乘以方程两边都乘以(x(x3)3)3)3x(2x3x 0333x(x-3)(x-3) (x-3)(x-3)(x-3)(x-3) (x-3)(x-3)注：注：(x-3)(x-3) (x-3)(x-3)(x-3)(x-3) (x-3)(x-3)怎样进行检验呢？怎样进行检验呢？方法一：方法一：把整式方程的根代入原分式方程，把整式方程的根代入原分式方程，看它是否能使原分式方程中左右两边的值看它是否能使原分式方程中左右两边的值相等。若相等则是根，反之则是不适合原相等。若相等则是根，反之则是不适合原方方 程的根，需舍去。程的根，需舍去。方法二：方法二：把整式方程的根代入最简公分母，把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值等于如果最简公分母的值等于0，则产生了不适，则产生了不适合原方合原方 程的根程的根.，如果最简公分母的值不等于，如果最简公分母的值不等于0，则原方程没有，则原方程没有产生不适合原方程的根产生不适合原方程的根.。 因为解分式方程时可能会产生不适合原因为解分式方程时可能会产生不适合原方程的根方程的根.，所以解分式方程必需检验。，所以解分式方程必需检验。360380 xx)3(60)3(80 xx21xx=21是原方程的根是原方程的根(x+3)(x-3)检验检验化化解解1613122 xxx6)1(3)1(2 xx1 xx=1不是原方程的根不是原方程的根（x+1）(x-1) 化化解解检验检验解解分分式式方方程程的的一一般般步步骤骤1、在方程的两边都乘以最简公分母，、在方程的两边都乘以最简公分母， 约去分母，化成整式方程约去分母，化成整式方程 ；2、解这个整式方程、解这个整式方程 ；3、把整式方程的根代入最简公分母，看结、把整式方程的根代入最简公分母，看结 果是不是零，使最简公分母为零的根是不果是不是零，使最简公分母为零的根是不适合原方程的根适合原方程的根.必须舍去。必须舍去。例例1：12112xx例例2、730100 xx解分式方程的注意点解分式方程的注意点：（1）去分母时，先确定最简公分母；若分）去分母时，先确定最简公分母；若分母是多项式，要进行因式分解；母是多项式，要进行因式分解；（2）去分母时，不要漏乘不含分母的项；）去分母时，不要漏乘不含分母的项；（3）最后不要忘记验根。）最后不要忘记验根。课堂练习：课堂练习：（1） 17178xxx（2）1613122xxx(3)当x为何值时， 与 互为相反数25mm1mm1、关于、关于x的方程的方程 有有增根，则增根是增根，则增根是 （ ）2323xaxx3x2、若关于、若关于x的方程的方程 有增根，则增根是有增根，则增根是 （ ）) 1(163xxmxxx1 , 0 x2、当、当m为何值时，关于为何值时，关于x的方程：的方程：211)2)(1(xxxxxxm的解是正数？的解是正数？例2：k为何值时，方程 产生增根？xxxk2132问：这个分式方程何时有增根？答：这个分式方程产生增根，则增根一定是使方程中的分式的分母为零时的未知数的值，即x=2。问:当x=2时，这个分式方程产生增根怎样利用这个条件求出k值？答：把含字母k的分式方程转化成含k的整式方程，求出的解是含k的代数式，当这个代数式等于2时可求出k值。例2：k为何值时，方程 产生增根？xxxk2132解：方程两边都乘以x-2，约去分母，得k+3（x-2)=x-1解这个整式方程，得25kx当x=2时，原分式方程产生增根，即252k解这个方程，得K=1所以当k=1时，方程 产生增根。xxxk2132例3：k为何值时，分式方程0111xxxkxx有增根？方程两边都乘以(x-1)(x+1),得x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0解，得2kkx解： 当x=1时,原方程有增根，则k=-1 当x=-1时，k值不存在当k=-1，原方程有增根。k为何值时，方程 无解？xxxk2132思考：“方程有增根”和“方程无解”一样吗？变式1：k为何值时，方程 有解？xxxk2132变式2：k为何值时，分式方程0111xxxkxx无解？例4：方程两边都乘以(x-1)(x+1),得x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0解，得2kkx 当x=1时,原方程无解，则k=-1 当k=-2时，k+2=0, 原方程无解 当x=-1时，k值不存在当k=-1或k=-2时，原方程无解解：“增根”是你可以求出来的，但代入后方程的分母为0无意义，原方程无解。“无解”包括增根和这个方程没有可解的根 思考：“方程有增根”和“方程无解”一样吗？变式2：K取何值时，分式方程0111xxxkxx有解？ 1.解关于x的方程 产生增根,则常数m的值等于( ) (A)-2 (B)-1 (C ) 1 (D) 2x-3x-1x-1m=2.当m为何值时，方程无解？有解呢？3xm23xx 1、加深解分式方程的思路2、利用增根解决问题3、分清“有增根”和“无解”的区别知识回顾知识回顾分式方程分式方程步骤步骤转化为整式方程转化为整式方程解这个整式方程解这个整式方程检验检验增根增根
