同济版-高等数学-同济版高等数学级数习题课ppt课件.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 第十二章习题课：无穷级数第十二章习题课：无穷级数 三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅式级数四、函数的幂级数和傅式级数五、级数的应用五、级数的应用一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 目录 上页 下页 返回 结束 一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别部分和极限1目录 上页 下页 返回 结束 3. 任意项级数审敛法为收敛级数1nnuLeibniz审敛审敛法法: 若,01nnuu且,0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛 ,概念概念:且余项.1nnur1nnu若收敛 ,1nnu称绝对收敛1nnu若发散 ,1nnu称条件收敛目录 上页 下页 返回 结束 练习. 判别下列级数的敛散性:;1) 1 (1nnnn;2) !()2(122nnn;2cos)3(132nnnn;ln1)4(210nn. )0,0()5(1sanansn目录 上页 下页 返回 结束 ;1ln)1()1(1 nnnn练习. 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:.! )1()1()2(11 nnnnn目录 上页 下页 返回 结束 11ln)1()1(nnnn)11(ln1lnnnnun因单调递减, 且所以原级数仅条件收敛 .由Leibniz审敛法知级数收敛 ;0limnnu但nnn1ln1不收敛 ?目录 上页 下页 返回 结束 11! )1()1()2(nnnnn因nnuu12)2(! )2(nnn1)111 (12nnnn1! ) 1(nnnn1e1所以原级数绝对收敛 .目录 上页 下页 返回 结束 二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R : 再讨论Rx 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .,lim1nnnaaR目录 上页 下页 返回 结束 求部分和的极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和 利用逐项积分，或者逐项求导 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和函数求积或求导)(xS难 初等变换法: 分解成几个已知级数(如：等比级数、指数函数的幂级数、正弦函数的幂级数，等)的和nnnxa0目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.求幂级数求幂级数.!) 12(1) 1(120的和函数nnnxnn目录 上页 下页 返回 结束 )1(21)12( nnxn练习. 求下列幂级数的和函数目录 上页 下页 返回 结束 四、函数的幂级数和傅式级数展开法四、函数的幂级数和傅式级数展开法 直接展开法 间接展开法练习练习: 将函数x 21展开成 x 的幂级数. 利用已知幂级数，变量代换和幂级 数的运算等方法展开 利用泰勒公式1. 函数的幂级数展开法函数的幂级数展开法目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的傅式级数展开法函数的傅式级数展开法系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法练习练习: xyO),上的表达式为 ),0,e)0,0)(xxxfx将其展为傅氏级数 .na1xnxxdcose021)cossin(e1nnxnxnx0),2, 1,0(11) 1(e12nnnP323 题11. 设 f (x)是周期为2的函数, 它在解答提示解答提示目录 上页 下页 返回 结束 xnxbxndsine1021)cos(sine1nnxnnxx0),2, 1(1) 1(12nnenn21e)(xf11n)sin(cosnxnnx 211) 1(enn),2,1,0,(kkx目录 上页 下页 返回 结束 五、幂级数的应用五、幂级数的应用1、求函数的近似值；、求函数的近似值；2、求积分的近似值；、求积分的近似值；3、求微分方程的解（未知函数的幂级数展开式）、求微分方程的解（未知函数的幂级数展开式）.