量子力学第三章量子力学中的力学量ppt课件.ppt

力学量力学量 表示一个体系力学性质的量。表示一个体系力学性质的量。 微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的：要的区别的： 经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个力学量（如：任何两个力学量（如： ）可同时具有确定值，即）可同时具有确定值，即存在轨道的概念；存在轨道的概念；xp, x 正是由于这种差别的存在，在量子力学中引入正是由于这种差别的存在，在量子力学中引入算符来表示微观粒子的力学量算符来表示微观粒子的力学量。 微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能量，线性谐振子的能量，原子的能量及中粒子的能量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等），也有些量根本不可能同时具有确定值角动量等），也有些量根本不可能同时具有确定值（如：（如： ； ）。微观体系的这些特点源于它的）。微观体系的这些特点源于它的波动性（无确定轨道问题）。波动性（无确定轨道问题）。 T U,xp, x3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符3.2 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符3.3 电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动3.4 氢原子氢原子3.5 厄米算符本征函数正交性厄米算符本征函数正交性3.6 算符与力学量的关系算符与力学量的关系3.7 算符对易关系，两力学量同时有确定值算符对易关系，两力学量同时有确定值 的条件，测不准关系的条件，测不准关系3.8 力学量平均值随时间的变化，守恒定律力学量平均值随时间的变化，守恒定律一、算符的一般性质一、算符的一般性质算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号，记量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号，记为为 。F例如：例如： 中的中的“ ”；vu xuv=x 中的中的“ ”（作用是乘）；（作用是乘）；vdxdudxd 中的中的“ ”（求导）；（求导）；udxudx中的中的“ ”（作用是积分）。（作用是积分）。其中其中 是是 的函数。的函数。如如 ，还有要讲的角动量算符，还有要讲的角动量算符 等等。2121210c,c,b,b,a,a,az, y, xH,p , x xL 一般一般 ， 作用在它右边的函数上，原来的作用在它右边的函数上，原来的函数变为新函数。在量子力学中，大部分算符采用如函数变为新函数。在量子力学中，大部分算符采用如下形式：下形式： FuvF222122210ybybxaxaaF2221zczc2. 算符的相等算符的相等 若若对任意的函数对任意的函数 ，有，有 , ,我们称我们称 与与 相相等，记为：等，记为： 。uuGuFFGGF1. 单位算符单位算符 作用到任意的函数作用到任意的函数 上，上， 不变，记为：不变，记为：IuuuuI 3. 算符的相加算符的相加 若若对任意的函数对任意的函数 ，有，有 ，则称算，则称算符符 为为 与与 之和。记为：之和。记为： 。uMuGuFuMFGGFM例：若例：若 ， ，有：，有：x FxiGu)xix (uGuF 即：即： 。 )xix (M算符之和满足交换律：算符之和满足交换律： 。 FGGF满足结合律：满足结合律： 。MGFMGF4. 算符相乘算符相乘 若若对任意的函数对任意的函数 ，有，有 ，则称算符，则称算符 为为 与与 之积。记为之积。记为 （注意：（注意： 不一定等不一定等于于 ，称为算符，称为算符 与与 不对易，表明不对易，表明 与与 作用到作用到任意函数任意函数 上，一般来说，结果与上，一般来说，结果与 、 作用的次序作用的次序有关）。有关）。u G(Fu)MuMFGFGMFGGFGFGFuFG 对于某些算符，对于某些算符， ， 为任意的函为任意的函数，则称数，则称 与与 对易。对易。 uFGuGFuGF 如一个算符如一个算符 相继作用在相继作用在 上上n次，则可用次，则可用 表表示，即：示，即： ， 。FnFuuF)uF(F2uFuFFFn即有即有 ，即，即 和和 可以交换顺序，可以交换顺序， 均均为正整数。为正整数。nmmnFFFFnFm, nmF5. 逆算符：逆算符：IGFFGFG1GF1IFGFG1GF1G1F 如果存在如果存在 ，则称，则称 与与 互为逆算符，互为逆算符，记记 ， ，且有，且有 。即。即 与与 对易。对易。并且有性质：并且有性质： 。6. 算符的复共轭、转置和厄米共轭算符的复共轭、转置和厄米共轭（1）算符）算符 的复共轭算符的复共轭算符 ，由，由 表示中复量换表示中复量换成共轭复量构成。成共轭复量构成。F*FF 例如在坐标表象中，动量算符例如在坐标表象中，动量算符 的复的复共轭算符为：共轭算符为： 。xip xxip *x *uFuF（2）算符）算符 的转置算符的转置算符FF对于任意的函数对于任意的函数 ，有：，有：v, u*u FvdvFu d定义式定义式（i）xx（ii）xxpp（iii）ABBA（3）算符）算符 的厄米共轭算符的厄米共轭算符FF对于任意的函数对于任意的函数 ，有：，有：v, u*u F vd(Fu) vd定义式定义式*FF7. 线性算符线性算符如：如： 是线性算符，而是线性算符，而“ ”和和“乘方乘方”为非线性算符。为非线性算符。yx,dxd, x2定义：若定义：若对任意的函数对任意的函数 ，其中其中 为为任意复常数任意复常数，则称算符，则称算符 为线性算符。为线性算符。12u ,u21c ,cF11221122F(c uc u )c Fuc Fu 线性算符线性算符 之和仍是线性算符之和仍是线性算符G, F即线性算符关于加法是闭合的。即线性算符关于加法是闭合的。11u)GF(c和定义22u)GF(c)uGuF(c)uGuF(c2221112211G,FuFcuFc线性2211uGcuGc和定义)ucuc)(GF(2211)ucuc (F2211)ucuc (G2211 线性算符之积仍是线性算符线性算符之积仍是线性算符即线性算符关于乘法是闭合的。即线性算符关于乘法是闭合的。)ucuc (GF2211)uGcuGc (F2211G线性线性F2211uGFcuGFc8. 算符的函数算符的函数量子力学中算符的函数可由幂级数定义得：量子力学中算符的函数可由幂级数定义得：n0n)n(x!n)0(F)x(F0 xnn)n()x(Fx)0(Fn0n)n(A!n)0(F)A(F例如：例如： 。n0ntHi tHi!n1e 若对某函数若对某函数 ，有，有 ，其中，其中 是数量，是数量，则称则称 为为 的本征值（固有值），的本征值（固有值）， 是是 的属于本的属于本征值征值 的本征函数。上式称为算符的本征函数。上式称为算符 的本征值方的本征值方程（如：程（如： ）。方程的解除了决定于）。方程的解除了决定于 的具的具体形式以外，还决定于体形式以外，还决定于 满足的条件，满足的条件， 可取分立可取分立值，用值，用 表示，也可取连续值。表示，也可取连续值。uFuu FuFFn9. 算符的本征值与本征函数算符的本征值与本征函数EHFuEHFEHFuEHF 若对某函数若对某函数 ，有，有 ，其中，其中 是数量，是数量，则称则称 为为 的本征值（固有值），的本征值（固有值）， 是是 的属于本的属于本征值征值 的本征函数。上式称为算符的本征函数。上式称为算符 的本征值方的本征值方程（如：程（如： ）。方程的解除了决定于）。方程的解除了决定于 的具的具体形式以外，还决定于体形式以外，还决定于 满足的条件，满足的条件， 可取分立可取分立值，用值，用 表示，也可取连续值。表示，也可取连续值。uFuu FuFFnuEHF 如对应一个如对应一个 只有一个只有一个 ，则，则 为非简并（如为非简并（如线性谐振子的能量本征值）；如对应一个线性谐振子的能量本征值）；如对应一个 有有n个本个本征函数，即征函数，即 ，并且它们是线性独立，并且它们是线性独立的，则的，则 为为n度简并。度简并。un21u,u,u例如：一维自由粒子的能量本征值为例如：一维自由粒子的能量本征值为2度简并。度简并。 如如 有共同的本征函数有共同的本征函数 ，则和算符的本，则和算符的本征值是算符本征值之和；积算符的本征值是算符本征值是算符本征值之和；积算符的本征值是算符本征值之积，即：征值之积，即：G, Fuu)GF(uGuFu)gf ( gufu uGFguFuFggfufgu10. 厄米算符厄米算符定义：对任意二函数定义：对任意二函数 ，若，若 满足下式：满足下式：,F （一、二和三维都适用）（一、二和三维都适用） d)F(dF则称则称 为厄米算符。为厄米算符。 其中其中“ ”表示取复数共轭；表示取复数共轭； 是是 的定义。的定义。F)uF(uFF或或 dFdFdF例：例： 和和 是厄米的，而是厄米的，而 不是厄米的。不是厄米的。xx dxdip xx (1) (1) （因为（因为 是实数）是实数）dx)x(dxxx(3) 解法同上，有：解法同上，有： dxx()dxx dxxi(2) dxxiidxp xdx)xi(dx)p (xx假设假设 和和 是在是在时时 等于等于零的束缚态。零的束缚态。 厄米算符的本征值为实数（定理内容）厄米算符的本征值为实数（定理内容）证明：若证明：若 是是 的属于本征值的属于本征值 的本征函数，的本征函数，即即 ，则，则FF由厄米算符的定义，且令由厄米算符的定义，且令 ，则有：，则有：，于是于是 为实数。为实数。所以厄米算符又叫实算符。所以厄米算符又叫实算符。dd)(d)F( ddF 厄米算符厄米算符 之和仍是厄米算符之和仍是厄米算符G, Fd)GF(d)G(d)F(dGdFd)GF(证明：证明： d)GF(d)GF( 厄米算符厄米算符 之积不一定是厄米算符之积不一定是厄米算符G, F要看二者是否可以交换顺序要看二者是否可以交换顺序d)GF(不一定注意：算符是作用在波函数上的，否则可能出错。注意：算符是作用在波函数上的，否则可能出错。证明：证明： d)G()F(d)G(Fd)GF(d)FG(二、量子力学中用线性厄米算符表示力学量二、量子力学中用线性厄米算符表示力学量1. 两个假定：两个假定：假定假定1：量子力学中的每个力学量都用一个线性厄米：量子力学中的每个力学量都用一个线性厄米 算符表示。算符表示。假定假定2：当体系处于任意状态下，算符：当体系处于任意状态下，算符 的本征值集的本征值集 合即是测量体系的力学量合即是测量体系的力学量 的可能值；当体的可能值；当体 系处于系处于 的属于的属于 的本征态的本征态 时，测量力时，测量力 学量学量 ，得到确定值，得到确定值 。FFFnnFn2. 量子力学中的力学量为什么用线性厄米算符表示量子力学中的力学量为什么用线性厄米算符表示 为什么用算符表示力学量？为什么用算符表示力学量？(a)因为在波函数的标准条件下求解算符的本征值，因为在波函数的标准条件下求解算符的本征值，能得到与实验符合的本征值，且多是分立的，如线能得到与实验符合的本征值，且多是分立的，如线性谐振子的能量本征值。性谐振子的能量本征值。(b)用算符表示力学量还可以反映某二力学量不能同用算符表示力学量还可以反映某二力学量不能同时具有确定值的情况。时具有确定值的情况。 为什么用厄米算符表示力学量？为什么用厄米算符表示力学量？ 因为厄米算符的本征值是实量值，而力学量的因为厄米算符的本征值是实量值，而力学量的量值一定是实数，平均值也是实数。非厄米算符解量值一定是实数，平均值也是实数。非厄米算符解得的本征值不满足此要求。得的本征值不满足此要求。 为什么用线性算符表示力学量为什么用线性算符表示力学量?态迭加原理要求力学量算符为线性的。态迭加原理要求力学量算符为线性的。举例：若举例：若 是方程薛定谔方程的解，即：是方程薛定谔方程的解，即：21,而根据态迭加原理，而根据态迭加原理， 也是方程的解，即：也是方程的解，即：2211cc于是于是与与比较可得：比较可得：即即 必为线性算符。必为线性算符。H11Hti 22Hti 1c2c则则有：有：Hc)cc (ti12211221Hc H)cc (ti2211)cc (2211 )cc (H2211Hc1221Hc 力学量算符得构成力学量算符得构成两个基本的力学量算符：两个基本的力学量算符： 这就是量子力学中表示力学量算符的构成规则。这就是量子力学中表示力学量算符的构成规则。z z, y y , xx ipzip ,yip ,xip zyxrr假设：如果量子力学中的力学量假设：如果量子力学中的力学量 在经典力学中有相在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符应的力学量，则表示这个力学量的算符 由经典表示由经典表示式式 中将中将 ， 而得出，而得出，即：即： ）。）。FF)p, r (Frrrp FF(r,p)F(r, i) ip