2022年2022年专升本高数知识点汇总7第七章向量代数与空间解析几何.doc

2022年2022年专升本高数知识点汇总7第七章向量代数与空间解析几何第七章 向量代数与空间解析几何【考试要求】1理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦2掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法3掌握两向量垂直、平行的条件4会求平面的点法式方程、一般式方程会判定两平面的垂直、平行5会求点到平面的距离6了解直线的一般式方程，会求直线的对称式方程、参数方程会判定两直线平行、垂直7会判定直线与平面的关系（垂直、平行、直线在平面上）【考试内容】一、向量及其运算（一）向量的相关概念1向量既有大小又有方向的量称为向量（或矢量），用有向线段（起点为终点为）或小写字母表示2向量的模 向量的大小称为向量的模，记为或3向量的坐标表示向量的坐标表示法有两种：或（二）向量的运算1线性运算设，则有：加法：；减法：；数乘：2向量的数量积（点乘积）向量、的数量积记为设 ，则 3向量的向量积（叉乘积）向量、的向量积是一个向量，记为，它的模和方向分别定义为：（1）；（2）同时垂直于和，且、成右手系设，则 4基本性质（1）交换律和反交换律交换律：，； 反交换律：（2）结合律，（3）分配律 ， ，（三）平行与垂直的充要条件 设向量 ，1向量与非零向量平行的充要条件是存在一个实数，使得2向量与非零向量平行的充要条件是存在一个实数，使得，或者说，向量与平行的充要条件是它们的对应坐标成比例3两个向量，平行的充要条件是 或 4两个向量，垂直的充要条件是 或 二、平面及其方程1点法式方程设平面过点，为其一法向量，则平面的点法式方程为：2一般式方程 （， 不同时为零）3截距式方程 （， 均不为零）其中 ， 分别称为平面在， 轴上的截距4两平面之间的关系设有两个平面和，它们相应的方程为：，：，它们的法向量分别为 ，若 ，即 （若式中分母为零，则规定分子也为零），则两平面与平行若 ，即 ，则两平面与垂直两平面的夹角就是它们的法向量的夹角，即 ， 三、直线及其方程1点向式方程设直线过点，为其一方向向量，则直线的点向式方程为： 2一般式方程空间直线可以看成是两个平面的交线： 3参数方程设直线过点，为其一方向向量，则直线的参数方程为 ， 其中 称为参数4两直线之间的关系设有两条直线和，它们的方程分别为：， 方向向量 ，：， 方向向量 ，两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角（通常指锐角）， ， 若 ，即 ， 则两直线与平行若 ，即 ，则两直线与垂直5直线与平面的关系设平面的方程为：，法向量 ，直线的方程为：，方向向量 ，直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角，即， 若 ，即 ，则直线与平面垂直若 ，即 ，则直线与平面平行【典型例题】【例7-1】在轴上求与两点和等距离的点解：因所求的点在轴上，所以设该点为，依题意有，即 两边去根号，解得 因此，所求的点为 【例7-2】已知两点和，求与同方向的单位向量解：因为，所以，故【例7-3】已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角解：因 ，故 ，方向余弦 ，方向角 ，【例7-4】设，计算 和 解： ， 【例7-5】已知三角形的三个顶点分别是、和，求三角形的面积解： 根据向量积的定义可知，三角形的面积，由于 ，因此，于是 【例7-6】已知向量，向量，向量和的夹角，求解：因为 ，故 【例7-7】求过三点、和的平面方程解：先找出这平面的法向量由于与向量、都垂直，而，所以可取它们的向量积作为法向量，即，根据平面的点法式方程，所求平面方程为 ，即 说明：此题也可用平面的一般方程求解，步骤如下：设所求的平面方程为 ，将、三点的坐标值代入可得方程组 ， 解之得 ，代入原方程，得 ，将约掉（）并化简可得平面方程为 【例7-8】求平行于平面：，且与平面垂直，求此平面的方程解法1： 设所求的平面方程为 ，由平面过原点可知，由平面过点可知，又因为，所以，故，所求平面方程为解法2：设平面的法向量为由于与向量、平面的法向量都垂直，所以可取与它们的向量积平行的向量作为法向量，而 ，故可取法向量 ，平面方程为，即 【例7-9】求平行于平面：，且与球面相切的平面方程解：因所求平面平行于已知平面：，故可设所求平面方程为：，又与球面相切，可得球心到平面的距离等于半径，故，即 ，故所求平面的方程为 和 【例7-10】求过两点和的直线方程解：因向量，故可取直线的方向向量，故所求直线方程为 【例7-11】求过点且平行于直线的直线方程解：因所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量可取为 ，所求直线又过点，故所求直线的方程为 【例7-12】求直线：与平面：的交点解法1：根据直线的对称式方程可得直线的参数方程为 ，故可设交点坐标为 ，然后代入平面方程可得，得 ，故交点坐标为 解法2：直线方程与平面方程联立，可得三元一次方程组 ，解此方程组得 ，即交点坐标为 【例7-13】求与两平面和的交线平行且过点的直线的方程解法1：因为所求直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量一定同时与两平面的法向量、垂直，所以可以取，因此所求直线方程为 解法2：过点且与平面平行的平面方程为 ，过点且与平面平行的平面方程为 ，所求直线为上述两平面的交线，故其方程为 【例7-14】确定直线： 与平面：的位置关系解：因为直线的一般方程中的两个平面的法向量分别为和，而直线的方向向量同时垂直于和，故直线的方向向量可取为，而平面的法向量，由 可知，故又上一点不在平面上，故但不在上【历年真题】一、选择题1（2010年，1分）已知向量与向量垂直，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）解：因向量与垂直，故，即，也即，故选项（D）正确2（2009年，1分）直线：与平面：的位置关系是（ ）（A）平行 （B）垂直相交 （C）在上 （D）相交但不垂直解：直线的方向向量，平面的法向量，由于，故，所以直线与平面的关系为又直线上的点不在平面上，故直线与平面的关系为但不在上选（A）3（2008年，3分）过点且垂直于轴的平面方程为（ ）（A） （B） （C） （D）解：垂直于轴的平面方程可设为，又平面过点，故所求的平面方程为选项（D）正确4（2008年，3分）直线与下列 平面垂直（ ）（A） （B） （C） （D）解：直线与平面垂直，故直线的方向向量与平面的法向量平行，的分量与的分量对应成比例对比四个选项中的法向量，选项（C）的法向量，且，故选项（C）正确5（2007年，3分）直线与平面的位置关系是（ ）（A）平行但不共面 （B）直线垂直于平面 （C）直线在平面上 （D）两者斜交解：直线的方向向量，平面的法向量，由于，即与的对应分量成比例，故，所以直线与平面垂直选（B）二、填空题1（2009年，2分）通过点，和三点的平面方程是 解：设平面的一般方程为，将以上三点代入该方程可得， ， 即 ， 代入一般方程可得，即平面方程为 2（2009年，2分）设，为向量，若，与的夹角为，则 解：根据 及 可得，故 3（2006年，2分）点到平面的距离是 解：根据点到平面的距离公式，点到平面的距离为三、计算题1（2010年，5分）求平行于轴且过点和的平面方程解：设平面的法向量为因平面与轴平行，且沿轴正向的单位向量为，故；又平面过点和，且，故，所以可取为与 平行的向量因 ，故可取 ，又平面过点（也可用点），故平面方程为 ，即说明：此题也可用平面的一般方程来解2（2009年，5分）求通过点和且垂直于平面的平面方程解：设所求平面的法向量为因平面过点和，且，故；又所求平面垂直于已知平面，且已知平面的法向量，故所以可取为与 平行的向量因 ，故可取，又平面过点，故所求平面的方程为，即 说明：此题也可用平面的一般方程来解