新高考艺术生数学基础复习讲义 考点39 利用导数求极值最值（教师版含解析）.docx

考点39 利用导数求极值最值知识理解一函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值（3） 注意事项函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f(x0)0，极值点是f(x)0的根，但f(x)0的根不都是极值点(例如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质极值点是函数在区间内部的点，不会是端点二函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值考向分析考向一 求极值【例1】(2021·全国课时练习)函数在上的极大值点为( )ABCD【答案】C【解析】函数的导数为，因为，由，可得，解得.当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以使得函数取得极大值的的值为，故选：C.【方法总结】利用导数求函数极值的步骤如下：（1）求函数的定义域；（2）求导；（3）解方程，当；（4）列表，分析函数的单调性，求极值：如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值【举一反三】1(2021·石泉县石泉中学)函数的极小值为( )A0BCD【答案】A【解析】由，得，当时，单调递增；当或时，单调递减；所以当时，函数取得极小值，极小值为.故选：A.2(2021·河南新乡市)已知函数的图象在处的切线方程为，则的极大值为( )ABCD1【答案】A【解析】因为，所以，又因为函数在图象在处的切线方程为，所以，解得，.由，知在处取得极大值，.故选：A.考向二 已知极值求参数【例2】(2021·福建南平市)已知是函数的极小值点，则函数的极小值为( )ABCD4【答案】B【解析】由题意，函数，可得，因为是函数的极小值点，则，即，解得，可得，当或时，单调递增；当时，单调递减，所以当是函数的极小值点，所以函数的极小值为.故选：B.【方法总结】解含参数的极值问题要注意：是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值【举一反三】1(2020·全国课时练习)若函数的极小值点是，则的极大值为( )ABCD【答案】C【解析】由题意，函数，可得，所以，解得，故，可得，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为故选：C.2(2020·安徽省太和第一中学)若函数的极值为，则实数的值为( )ABCD【答案】D【解析】由已知可得.当时，对任意的，此时函数在上单调递增，函数无极值；当时，令，可得，此时函数单调递减；令，可得，此时函数单调递增.所以，函数的极小值为，令，则且，.当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.所以，由于，.故选：D.3(2021·全国课时练习)若函数在处取得极小值，则a=_【答案】2【解析】由可得，因为函数在处取得极小值，所以，解得或，若，则，当时，则单调递增；当时，则单调递减；当时，则单调递增；所以函数在处取得极小值，符合题意；当时，当时，则单调递增；当时，则单调递减；当时，则单调递增；所以函数在处取得极大值，不符合题意；综上：.故答案为：2.4(2021·全国高二课时练习)已知函数，当时函数的极值为，则_【答案】【解析】已知函数,所以 ,由题意知 ， ，即解得或当时,此时函数在上是增函数,函数没有极值,不合题意;当时,令,解得,当或时, ;当时, ;所以函数在和上是增函数,函数在上是减函数,当时取得极大值,符合题意,所以,所以 所以.故答案为: 考向三 求最值【例3】(2021·江苏单元测试)函数在0，2上的最大值是( )ABC0D【答案】A【解析】由，得，当时，当时，所以在上递增，在上递减，所以，故选：A【方法总结】导数求函数的极值与闭区间上的最值，设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值和最小值的步骤如下：求函数在内的极值；将函数)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值【举一反三】1(2021·全国课时练习)函数y的最大值为( )Ae1BeCe2D10【答案】A【解析】令 当时， ；当 时 ， 所以函数得极大值为 ，因为在定义域内只有一个极值，所以故选：A.2.(2021·平罗中学)已知在与时取得极值(1)求的值；(2)求的极大值和极小值；(3)求在上的最大值与最小值.【答案】(1)；(2)，；(2)， 【解析】解：因为，所以，因为在与时取得极值所以，即，解得所以，(2)由(1)得令得或，令得，即函数在和上单调递增，在上单调递减，故函数在取得极大值，在处取得极小值，所以，(3)由(2)知函数在和上单调递增，在上单调递减，又，所以函数在上的最大值为与最小值为3(2021·天津河西区)已知函数.(1)求的极值；(2)求在上的最值.【答案】(1)极大值为，极小值为；(2)最大值为4，最小值为.【解析】(1)，令，解得或，当x变化时，的变化情况如下表：200极大值极小值故当时，取得极大值，；当时，取得极小值，；(2)由(1)可知的极大值为，极小值为，又，因为，所以在上的最大值为4，最小值为.考向四 已知最值求参数【例4】(2021·南昌市新建一中)已知函数在处取得极小值，则在的最大值为( )ABCD【答案】B【解析】，则，由题意可得，解得，则，令，可得或，列表如下：极大值极小值所以，函数的极大值为，极小值为，又，则，所以，.故选：B.【举一反三】1(2021·江苏)若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】，令，解得或；令，解得.故的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以，函数在处取得极小值，由于函数在区间内取到最小值，则，由可得，可得,即，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.2.(2020·陕西省子洲中学)若函数在0，3上的最大值为5，则m=( )A3B4C5D8【答案】C【解析】，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，当时，当时，则函数在上的最大值为，则.故选：C.3(2021·江苏单元测试)已知函数在上的最大值为，则a的值为( )ABCD【答案】A【解析】由，得，当时，若，则单调递减，若，则单调递增，故当时，函数有最大值，解得，不符合题意.当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意.当时，函数在上单调递减.此时最大值为，解得，符合题意.故a的值为.故选：A.4(2021·全国课时练习)已知函数在区间上存在最小值，则a的取值范围为_【答案】【解析】，时，或，当或时，当时，所以函数的单调递增区间是和，函数的单调递减区间是，所以函数的极大值点是，极小值点是0，且，那么当，解得或， 所以函数在区间上存在最小值， 则 ，解得：.故答案为：.强化练习一、单选题1(2021·河南平顶山市)已知函数有3个不同的零点，则的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】由条件得，令，可得解集为令，可得解集为则在和上单调递增，在上单调递减，又，要使有3个不同的零点，则，所以.故选：A2(2020·福建莆田市·高三其他模拟)已知函数，则“”是“有极值”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若“有极值”，则有两个不等的实数根，所以，解得，当时，令可得，此时在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以“”可以推出“有极值”，所以“”是“有极值”的充要条件.故选：C3(2021·宁夏吴忠市·高三一模(文)若函数在上有两个零点，则实数m的取值范围为( )ABCD【答案】C【解析】令，则，令，则由知，在上单调递减，在上单调递增，且，所以若函数在上有两个零点，则实数m的取值范围为故选：C4(2020·安徽六安市·六安二中)若函数yx3x2m在-2，1上的最大值为，则m等于( )A0B1C2D【答案】C【解析】，易知，当时，当或时，所以函数yx3x2m在，上单调递增，在上单调递减，又当时，当时，所以最大值为，解得.故选：C5(2021·江苏高二)函数的极小值是_【答案】【解析】函数的f(x)的导数f(x)，令0，解得x1，由x1可得f(x)0，函数单调递增，由x1，可得f(x)0，函数单调递减，故当x1时，函数取得极小值f(1) ，故答案为：6(2021·江苏泰州市·泰州中学)函数在处取得极值10，则_.【答案】【解析】由题意，函数，可得，因为在处取得极值10，可得，解得或，检验知，当时，可得，此时函数单调递增，函数为极值点，不符合题意，(舍去)；当时，可得，当或时，单调递增；当时，单调递减，当时，函数取得极小值，符合题意.所以.故答案为：.7(2021·安徽宿州市)已知函数在，时取得极小值0，则_【答案】11【解析】依题意可得即解得或当，时函数，函数在上单调递增，函数无极值，故舍去；所以，所以故答案为：8(2021·全国课时练习)已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_.【答案】或【解析】由题可知：，因为函数在上存在极值点，所以有解所以，则或当或时，函数与轴只有一个交点，即所以函数在单调递增，没有极值点，故舍去所以或，即或故答案为：或9(2021·河南郑州市·高三一模(理)已知，若存在极小值，则的取值范围是_【答案】【解析】，若存在极小值，则存在极小值，所以方程有两个不等的实根，所以，解得：，所以的取值范围是，故答案为：10(2020·辽宁沈阳市·高三月考)函数(，)在区间上存在极大值，则实数的取值范围是_【答案】【解析】设，令，解得，即在上单调递增；令，解得，即在上单调递减；且，又，则当，即时，先增后减，即函数存在极大值故答案为：11(2021·全国课时练习)若函数在区间上有极大值，则的取值范围是_.【答案】【解析】由得，所以在和上，在上，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得极大值，若函数在区间上有极大值，则a<1且a+2>1，解得-1<a<1，则的取值范围是，故答案为： .12(2021·南昌市·江西师大附中)若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由题可知： 所以函数在单调递减，在单调递增，故函数的极大值为 .所以在开区间内的最大值一定是又， 所以 得实数的取值范围是故答案为：13(2020·通榆县第一中学校高三月考(文)若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】由题意得：，令解得；令解得或，所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，故函数在处取到极大值2，所以极大值必是区间上的最大值，解得.检验满足题意故答案为：.14(2021·定远县育才学校4)已知函数在处有极值.(1)求实数、的值；(2)判断函数的单调区间，并求极值.【答案】(1)，；(2)单调递减区间是，单调递增区间是，极小值，无极大值.【解析】(1)由，知.又在处有极值，则，即，.(2)由(1)可知，定义域为，.令，则(舍去)或；当变化时，的变化情况如表：1-0+极小值函数的单调递减区间是，单调递增区间是，且函数在定义域上有极小值，而无极大值.15(2021·江苏单元测试)已知函数(1)当a=0时，求函数f(x)的极大值；(2)求函数f(x)的单调区间；【答案】(1)极大值为；(2)答案见解析.【解析】函数的定义域为(1)当时，令得 列表：10极大值所以的极大值为(1)(2)令得，记()当时，所以单调减区间为； ()当时，函数在单调减当时，由得，若，则，由，得，；由，得所以，的单调减区间为，单调增区间为，； 若，由(1)知单调增区间为，单调减区间为；若，则，由，得；由，得的单调减区间为，单调增区间为综上可得，当时，单调减区间为；当时， 的单调减区间为，单调增区间为，；当时， 的单调减区间为，单调增区间为16(2020·四川内江市·高三一模(理)已知函数，若在处与直线相切.(1)求，的值；(2)求在上的极值.【答案】(1)；(2)极大值为，无极小值.【解析】(1)由题意，函数，可得，因为函数在处与直线相切，所以，即，解得.(2)由(1)得，定义域为，且，令，得，令，得.所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的极大值为，无极小值.17(2020·四川成都市·华阳中学高二期中(文)已知函数，曲线过点.(1)求函数解析式.(2)求函数的单调区间与极值.【答案】(1)；(2)在上单调递增，在上单调递减，极大值为.【解析】(1)由过点得，即，所以.(2)由(1)知，令，令，SY在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值.18(2020·莆田第十五中学高三期中(理)已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)讨论函数的单调性.【答案】(1)极大值，极小值；(2)答案见解析.【解析】(1)当时，令，得或.0+0-0+时，有极大值，时，有极小值；(2)，当时，由得，即函数在上单调递增，由得，即函数在上单调递减；当时，令得或.当，即时，无论或，均有，又，即在上，从而函数在上单调递增；当，即时，由或时，函数在和上单调递增；由时，函数在上单调递减；当，即时，由或时，函数在和上单调递增；由时，函数在上单调递减.综上，当时， 单调递增区间是上，单调递减区间是上；当时，单调递增区间是,，单调递减区间是；当时，单调递增区间为；当时，单调递增区间是,，单调递减区间是.19(2020·全国)已知函数(1)求的极值；(2)求在区间上的最小值【答案】(1)极大值为，极小值是；(2)【解析】(1)，令，则或，当或时，故在区间或上单调递增，当时，故在区间上单调递减，故函数的极大值为，极小值是；(2)，由(1)知，比较可知三个数中的最小值为在区间上的最小值，为20(2020·江西高三其他模拟(文)已知函数.(1)若，求函数的极值；(2)讨论函数的单调性.【答案】(1)极大值为，无极小值；(2)答案见解析.【解析】(1)若，则，则故当时，单调递增，当时，单调递减，故函数的极大值为，无极小值；(2)依题意，若，则函数在单调递增；若，当时，；当时，此时函数在单调递减，在单调递增；若，则当时，；当时，此时函数在单调递增，在单调递减.