（ 全 国 1 卷 ） 2 0 1 5 年 文 科 数 学 真 题 （ 含 答 案 解 析 ）.docx

2015年高考新课标卷文数试题解析（精编版）（解析版） 一、选择题：每小题5分,共60分 1、 已知集合 A =x x= 3n+2,nÎN,B =6,8,10,12,14，则集合 AB中的元素个数为( ) （A） 5 （B）4 （C）3 （D）2 【答案】D 2、 已知点 A(0,1),B(3,2)，向量AC= ( 4, 3)，则向量BC = ( ) （A） ( 7 , 4) （B）(7,4) （C）( 1 ,4) （D）(1,4) 3、已知复数z 满足(z = +1)i1 i，则z =（ ） （A） 2 i （B） +2 i （C）2i （D）2+i 4、如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） （A） （B） （C） （D） 5、已知椭圆 E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C y: 2 = 8x的焦点重合，A B, 是 C的准线与E的两个交点，则 AB = ( ) （A） 3 （B）6 （C）9 （D）12 【答案】B 6、九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛 7、 已知an是公差为1的等差数列，Sn 为an的前n项和，若S8 = 4S4，则a10 =（ ） （A） （B） （C）10 （D）12 8、 函数 f x( ) = cos(w jx+ )的部分图像如图所示，则 f x( ) 的单调递减区间为（ ） 13（A）13(,44kkpp+),kÎZ （B）(2kp ,2kp+ ),kÎZ 44（C）)(,kZkk+Î （D）(2,2),kkkZ+Î 131344449、 执行右面的程序框图，如果输入的t = 0.01，则输出的n=（ ） （A） 5 （B）6 （C）10 （D）12 【答案】C 1 m【解析】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m= =0.5,S=S-m=0.5,m = =0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环， 2 2m执行第2次，S=S-m =0.25,m = =0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环， 2m执行第3次，S=S-m =0.125,m = =0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环， 2 m执行第4次，S=S-m=0.0625,m = =0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环， 2m执行第5次，S=S-m =0.03125,m =0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环， 2 m执行第6次，S=S-m=0.015625,m =0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循环， 2m执行第7次，S=S-m=0.0078125,m =0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，输出n=7，故选C. 2【考点定位】程序框图 【名师点睛】本题是已知程序框图计算输出结果问题，对此类问题，按程序框图逐次计算，直到输出时，即可计算出输出结果，是常规题，程序框图还可考查已知输入、输出，不全框图或考查程序框图的意义，处理方法与此题相同. ì2x1 2,x £110、 已知函数 f x( ) =í ，且 f a( ) =3，则 f (6 =a) （ ） îlog (2 x+1),x >1（A） （B） （C） （D） 11、 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20p，则r =( ) （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 12、 设函数 y = f x( ) 的图像与y= 2x a+ 的图像关于直线y=x对称，且 f ( 2) + =f ( 4)1，则a=( ) （A） 1 （B）1 （C）2 （D）4 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分 13、 数列 an 中a1 = 2,an+1 = 2a Sn, n 为 an 的前n项和，若Sn =126 ，则n= . 14、 已知函数 f x( ) = ax3 + x+1的图像在点(1, f ( )1 )的处的切线过点(2,7)，则 a= . ì x y+ 2 £ 0ï15、 若x,y满足约束条件íx +2y 1£ 0 ,则z=3x+y的最大值为 ïî2x y +2 ³ 0【答案】4 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：3x+ =y0，平移直线l0，当直线l:z=3x+y过点Aìx y+ 2=0时，z取最大值，由í解得A（1,1），z=3x+y的最大值为4. îx +2 1=0y 【考点定位】简单线性规划解法 【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用 z 的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型. y216、已知F是双曲线C x: 2 =1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,6 6) ，当DAPF周长最小时，8该三角形的面积为 【答案】126 【解析】设双曲线的左焦点为F1，由双曲线定义知，| PF |= +2a | PF1 |， APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+ 2a+ | PF1 | +|AF|=|PA|+| PF1 |+|AF|+2a， 由于 2a+ | AF |是定值，要使APF的周长最小，则|PA|+| PF1 |最小，即P、A、F1共线， （3,0），直线 AF1的方程为 x + y =1，即x= y 3 代入x2 =y21整理得366268y2 +6 6y =960，解得y= 2 6 或y=8 6 (舍)，所以P点的纵坐标为2 6 ， 11SDAPF =SDAFF1 SDPFF1 = ´ ´666 ´ ´626 =126 . 22【考点定位】双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题 【名师点睛】解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路. 三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分12分）已知a b c, , 分别是DABC内角 A B C, 的对边，sin2 B = 2sin AsinC . （I） 若a =b，求cosB; （II） 若B = 90，且a = 2, 求DABC的面积. 【答案】（I）（II）1 （II）由(1)知b2 = 2ac. 因为B =90°，由勾股定理得a2 + =c2b2. 故a2 + =c22ac，得c a= =2 . 所以DABC的面积为1. 【考点定位】正弦定理；余弦定理；运算求解能力 【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形和计算三角形面积，是基础题. 18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE平面ABCD， （I） 证明：平面 AEC 平面BED； （II） 若ÐABC =120 ， AE EC, 三棱锥E ACD的体积为6，求该三棱锥的侧面积. 3【答案】（I）见解析（II）3+25 （II）设AB=x，在菱形ABCD中，由ÐABC=120°，可得AG=GC=32x,GB=GD=2x. 3因为AE EC，所以在RtDAEC中，可得EG= x. 22由BE 平面ABCD，知DEBG为直角三角形，可得BE=x. 2366x=11由已知得，三棱锥E-ACD的体积VE ACD- = 醋 AC GD BE?.故x=2 32243从而可得AE=EC=ED=6 . 所以DEAC的面积为3，DEAD的面积与DECD的面积均为5 . 故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25 . 【考点定位】线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力 【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路2：利用向量法，通过计算两个平面的法向量，证明其法向量垂直，从而证明面面垂直；对几何体的体积和表面积问题，常用解法有直接法和等体积法. 19.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi 和年销售量 y ii ( =1,2,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. x y w 8å(x xi )2 i=18å(w wi )2 i=18å(x x y yi )( i ) i=18å(wi w y)( i y) i=146.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中wi = xi ，w = i1 wi （I） 根据散点图判断， y = +abx与 y = +cd x ，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； （II） 根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （III） 已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z = 0.2y x ，根据（II）的结果回答下列问题： （i） 当年宣传费x =90时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii） 当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u v1 1, ),(u v2, 2) ，(u vn, n ) ,其回归线v = +a bu的斜率和截距的最小二乘估计分别为： nå(ui u v)( i v)1i=【答案】（）ycdx=+适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型（）100.668yx=+（）46.24 （）()由（）知，当x=49时，年销售量y的预报值 100.66849y=+=576.6， 576.60.24966.32z=´=. 9分 b= i=1 n，a b=v u å(ui u)2（）根据（）的结果知，年利润z的预报值 z= 0.2(100.6+68x) = +xx 13.6x+20.12 ， ，即x = 46.24时，z取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.12分 【考点定位】非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识 【名师点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误. 20.（本小题满分12分）已知过点 A(1,0)且斜率为k的直线l与圆C：(x + =2)2 (y 3)2 1交于M，N两点. （I） 求k的取值范围； （II） OM ON×=12，其中O为坐标原点，求 MN . 骣琪琪桫4-3 7 4, +3 7 （II）2 【答案】（I） （II）设M x y( 1, 1), N x( 2, y2). 将 y = +kx 1代入方程(x- 2) x - a 单调递增，所以 f ¢( )x 在(0 +，¥ ) 单调递增.又 f a¢( ) >0 ,当b满足当a >0时，因为e 单调递增，x +(y- 3)2 =1,整理得(1+k x2) 2-4(k+ + =1)x 7 0 , 所以x +=x , x x . OM ON x x?+=+=+1 2 y y1 2 1 k x x2 1 2 k x1 x2 1 8, 由题设可得+8=12 ，解得k=1，所以l的方程为 y = +x 1. 故圆心在直线l上，所以| MN | 2= . 【考点定位】直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力 【名师点睛】直线与圆的位置关系问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路1：将直线方程与圆方程联立化为关于x的方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将x x y y1 2, 1 2 用k表示出来，再结合题中条件处理，若涉及到弦长用弦长公式计算，若是直线与圆的位置关系，则利用判别式求解;思路12122274(1)11kkk+=+ 2：利用点到直线的距离计算出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定 理计算弦长问题. 21.（本小题满分12分）设函数 f x( )= e2xaln x. （I）讨论 f x( )的导函数 f ¢( )x 的零点的个数； 2 （II）证明：当0a>时()2lnfxaa³+. a() ¢( )=2xe2x ->a(x0) . 试题解析：（I） f x( ) 的定义域为 0 +，¥ ， fx 当a£ 0时, f ¢( ) 0x > ， f ¢( )x 没有零点； 44a1¢(b) 0< ,故当a>0时， f ¢( )x 存在唯一零点. 0 <<b且b < 时， f请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB是O直径，AC是 O切线，BC交 O与点E. （I）若D为AC中点，求证：DE是O切线； （II）若3OACE= ，求ACBÐ的大小. 【答案】（）见解析（）60° 【解析】 试题分析：（）由圆的切线性质及圆周角定理知，AEBC，ACAB，由直角三角形中线性质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证DEC+OEB=90°，即OED=90°，所以DE是圆O的切线；（）设CE=1,由OA =3CE得，AB=23，设AE=x，由勾股定理得212xBE=，由直角三角形射影定理可得2AECEBE=，列出关于x的方程，解出x，即可求出ACB的大小. 【考点定位】圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理 【名师点睛】在解有关切线的问题时，要从以下几个方面进行思考：见到切线，切点与圆心的连线垂直于切线；过切点有弦，应想到弦切角定理；若切线与一条割线相交，应想到切割线定理；若要证明某条直线是圆的切线，则证明直线与圆的交点与圆心的连线与该直线垂直. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线C1 : x =2 ，圆C2 :(x + 1)2 (y 2)2 =1，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I） 求C C1, 2 的极坐标方程. （II） 若直线C3的极坐标方程为q r=( ÎR)，设C C2, 3的交点为M N, ，求DC MN2 的面积. 【答案】（）r qcos =2,r r q r q2 2cos 4sin + =40 （） 【解析】 试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得C1，C2的极坐标方程；（）将将q=p代入4r r q r q2 2cos 4sin + =40 即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出 C MN2的面积. 试题解析：（）因为x =r q r qcos, y = sin ， C1的极坐标方程为r qcos =2，C2的极坐标方程为r r q r q2 2cos 4sin + =40 .5分 （）将q=p代入r r q r q2 2cos 4sin + =40 ，得r2 3 2 4 0r+ = ，解得r1=2 2，r2 =2 ，4|MN|=r1r2 = 2 ， 2因为C2的半径为1，则 C MN的面积´ ´ ´21sin 45o=. 【考点定位】直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系 【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以r，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数 f x( )= + x 12 xa a, > 0 . （I） 当a =1 时求不等式 f x( )>1 的解集； （II） 若 f x( ) 图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围. 【答案】（）x | < <x2（）（2，+） ìx 12a x, <1（）由题设可得， f x( ) =ïí3x+ 12a,1£ £xa， ïî + +x 12a x, > a 所以函数 f x( ) 的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为 A(,0) ，B(2a+1,0)，C a a( ,+1) ，所以ABC的面积为 (a+1)2. 由题设得 (a+1)26，解得a> 2. 所以a的取值范围为（2，+）. 10分 【考点定位】含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法 【名师点睛】对含有两个绝对值的不等式问题，常用“零点分析法”去掉绝对值化为若干个不等式组问题，原不等式的解集是这些不等式组解集的并集；对函数多个绝对值的函数问题，常利用分类整合思想化为分段函数问题，若绝对值中未知数的系数相同，常用绝对值不等式的性质求最值，可减少计算.