直线的一般式方程 学案--高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

直线的方程2.2.3直线的一般式方程【学习目标】1了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系。2能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化。3能运用直线的一般式方程解决有关问题。【学习重难点】重点：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式。难点：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化。【知识梳理】一、自主导学1直线的一般式方程（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的_；任何关于x，y的二元一次方程都表示_。方程_叫做直线方程的一般式。二元一次方程；一条直线；AxByC0（其中A、B不同时为0）（2）直线一般式方程的结构特征方程是关于x，y的二元一次方程。方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列。x的系数一般不为分数和负数。虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程。2直线的一般式方程与其他形式的互化3两条直线的位置关系二、小试牛刀1在方程Ax+By+C=0（A，B不同时为零）中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y轴重合。2直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为；化为截距式为。3判断下列两组直线是否平行或垂直：（1）x+2y-7=0；2x+4y-7=0.（2）4x-y+3=0，3x+12y-11=0.【学习过程】一、问题导学问题：由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形。（1）斜率是1，经过点A（1，8）；（2）在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；（3）经过两点P1（-1，6），P2（2，9）；（4）在y轴上的截距是7，倾斜角是45°。同学们，根据前面我们学习的直线方程形式，分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式，可得到四种情况下的直线方程分别为（1）y-8=x-1；（2）x-7+y7=1；（3）y-69-6=x+12+1；（4）y=x+7如果我们画出这4条直线的图象，你会惊奇地发现：这4条直线是重合的。事实上，它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式，这就是本节我们要学习的直线的一般式方程。二、典例解析例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程。（1）斜率是3，且经过点A（5，3）；（2）斜率为4，在y轴上的截距为-2；（3）经过A（-1，5），B（2，-1）两点；（4）在x轴、y轴上的截距分别是-3，-1直线的一般式方程的特征求直线方程时，要求将方程化为一般式方程，其形式一般作如下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列。跟踪训练1根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式。（1）斜率是-12，经过点A（8，-2）；（2）经过点B（4，2），且平行于x轴；（3）在x轴和y轴上的截距分别是32，-3；（4）经过两点P1（3，-2），P2（5，-4）。例2（1）已知直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y-2=0平行，求实数m的值；（2）已知直线l1：（a+2）x+（1-a）y-1=0与直线l2：（a-1）x+（2a+3）y+2=0垂直，求实数a的值。延伸探究已知点A（2，2）和直线l：3x+4y-20=0.求：（1）过点A和直线l平行的直线方程；（2）过点A和直线l垂直的直线方程。1利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20，（1）若l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10（或A1C2A2C10）。（2）若l1l2A1A2B1B20.2与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法（1）与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0（mC）。（2）与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAym0.跟踪训练2已知直线l的方程为3x+4y-12=0，求直线l'的方程，l'满足（1）过点（-1，3），且与l平行；（2）过点（-1，3），且与l垂直。金题典例（1）设直线l的方程为（a1）xy2a0（aR）。若直线l不过第三象限，则a的取值范围为_。（2）设直线l的方程为2x（k3）y2k60（k3），根据下列条件分别确定k的值：直线l的斜率为1；直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.变式探究：1典例（1）中若将方程改为“x（a1）y2a0（aR）”，其他条件不变，又如何求解？2若典例（1）中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？直线恒过定点的求解策略(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标。(2)将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点。【达标检测】1思考辨析（1）二元一次方程AxByC0（A，B不同时为0）可表示平面内的任何一条直线。（ ）（2）当C0时，方程AxByC0（A、B不同时为0）表示的直线过原点。（ ）（3）当B0，A0时，方程AxByC0表示的直线与y轴平行。（ ）（4）任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化。（ ）2两直线ax-by-1=0（ab0）与bx-ay-1=0（ab0）的图象可能是图中的哪一个（ ）3过点（1，0）且与直线x2y20平行的直线方程是（ ）Ax2y10Bx2y10C2xy20Dx2y104已知两条直线yax2和3x（a2）y10互相平行，则a_。5若方程（m23m2）x（m2）y2m50表示直线。（1）求实数m的范围；（2）若该直线的斜率k1，求实数m的值。课堂小结参考答案：知识梳理小试牛刀1答案：当A=0时，方程变为y=-CB，当C0时表示的直线平行于x轴，当C=0时与x轴重合；当B=0时，方程变为x=-CA，当C0时表示的直线平行于y轴，当C=0时与y轴重合。2解析：方程化为3y=-2x-1，则y=-23x-13；方程化为2x+3y=-1，得-2x-3y=1，即x-12+y-13=1答案：y=-23x-13；x-12+y-13=13解：（1）1×4-2×2=0且2×（-7）-4×（-7）0，两直线平行。（2）4×3+（-1）×12=0，两直线垂直。学习过程例1思路分析：先选择合适的形式将直线方程写出来，再化为一般式。解：（1）由点斜式方程可知，所求直线方程为y-3=3（x-5），化为一般式方程为3x-y+3-53=0.（2）由斜截式方程可知，所求直线方程为y=4x-2，化为一般式方程为4x-y-2=0.（3）由两点式方程可知，所求直线方程为y-5-1-5=x-（-1）2-（-1），化为一般式方程为2x+y-3=0.（4）由截距式方程可得，所求直线方程为x-3+y-1=1，化为一般式方程为x+3y+3=0.跟踪训练1解：（1）由点斜式方程，得y-（-2）=-12（x-8），即x+2y-4=0.（2）由点斜式方程，得y-2=0.（3）由截距式方程，得x32+y-3=1，即2x-y-3=0.（4）由两点式方程，得y-（-2）-4-（-2）=x-35-3，即x+y-1=0.例2思路分析：利用在一般式方程下，两直线平行或垂直的条件求解。解：（1）由2×3-m（m+1）=0，得m=-3或m=2当m=-3时，l1：x-y+2=0，l2：3x-3y+2=0，显然l1与l2不重合，l1l2同理，当m=2时，l1：2x+3y+4=0，l2：2x+3y-2=0，l1与l2不重合，l1l2，故m的值为2或-3（2）由直线l1l2，得（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0，解得a=±1故当a=1或a=-1时，直线l1l2延伸探究解：（1）将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0，又过点A（2，2），所以3×2+4×2+C1=0，所以C1=-14所求直线方程为3x+4y-14=0.（2）将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0，又过点A（2，2），所以4×2-3×2+C2=0，所以C2=-2，所以直线方程为4x-3y-2=0.跟踪训练2思路分析：可先求斜率，再利用点斜式方程求解；也可利用平行、垂直直线系方程，利用待定系数法求解。解：（方法1）由题设l的方程可化为y=-34x+3，l的斜率为-34。（1）直线l'与l平行，l'的斜率为-34。又直线l'过（-1，3），由点斜式知方程为y-3=-34（x+1），即3x+4y-9=0.（2）由l'与l垂直，l'的斜率为43，又过（-1，3），由点斜式可得方程为y-3=43（x+1），即4x-3y+13=0.（方法2）（1）由l'与l平行，可设l'方程为3x+4y+m=0.将点（-1，3）代入上式得m=-9所求直线方程为3x+4y-9=0.（2）由l'与l垂直，可设其方程为4x-3y+n=0.将（-1，3）代入上式得n=13所求直线方程为4x-3y+13=0.金题典例解析：（1）1，）把直线l化成斜截式，得y（1a）xa2，因为直线l不过第三象限，该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零。即解得a1所以a的取值范围为1，）。（2）因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为yx2由题意得1，解得k5直线l的方程可化为1由题意得k320，解得k1变式探究：1解（1）当a10，即a1时，直线为x3，该直线不过第三象限，符合。（2）当a10，即a1时，直线化为斜截式方程为yx，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零。即解得a1由（1）（2）可知a12解把直线l化成斜截式，得y（1a）xa2，因为直线l不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y轴上的截距小于等于零。即解得a2达标检测1答案（1）（2）（3）×当C0时，直线与y轴重合。（4）×当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式。2解析：当a<0，b>0时，直线ax-by=1在x轴上的截距1a<0，在y轴上的截距-1b<0；bx-ay=1在x轴上的截距1b>0，在y轴上的截距-1a>0.只有B满足。故选B答案：B3答案A解析：设所求直线方程为x2yc0，把点（1，0）代入可求得c1所以所求直线方程为x2y10.故选A4答案：1或3解析：依题意得：a（a2）3×1，解得a1或a35解析：（1）由解得m2，若方程表示直线，则m23m2与m2不能同时为0，故m2（2）由1，解得m0. 8 / 8学科网（北京）股份有限公司