新高考艺术生数学基础复习讲义 考点37 利用导数求单调性（教师版含解析）.docx

考点37 利用导数求单调性知识理解一函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在区间(a，b)内可导，(1)若f(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；(2)若f(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；(3)若恒有f(x)0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则二已知函数单调性求参数范围(1)已知可导函数f(x)在区间D上单调递增，则在区间D上f(x)0恒成立；(2)已知可导函数f(x)在区间D上单调递减，则在区间D上f(x)0恒成立；(3)已知可导函数f(x)在区间D上存在增区间，则f(x)>0在区间D上有解；(4)已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间，则f(x)<0在区间D上有解考向分析考向一 求单调区间(无参)【例1-1】(2020·江苏)函数的单调增区间是( )ABCD【答案】C【解析】由得，由得，解得，因此函数的单调增区间是.故选：C.【例1-2】(2021·湖北高二开学考试)函数的单调递减区间为( )ABCD【答案】C【解析】当时，解得，则函数的单调递减区间为.故选：C.【方法总结】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f(x)>0或f(x)<0求出单调区间(2)当方程f(x)0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f(x)的符号，从而确定单调区间(3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f(x)结构特征，利用图象与性质确定f(x)的符号，从而确定单调区间若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开【举一反三】1函数y4x2的单调增区间为()A(0，)B.C(，1) D.【答案】B【解析】由y4x2，得y8x，令y>0，即8x>0，解得x>，函数y4x2的单调增区间为.故选B.2(2021·全国课时练习)函数的单调递增区间为( )ABC和D和【答案】B【解析】函数的定义域为，且.由，可得，解得.所以，函数的单调递增区间为.故选：B.3(2021·江苏常州市·)设函数，若函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，则函数的增区间为( )A(0，1)B(0，)C(，)D(，1)【答案】C【解析】的定义域为，函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，解得：欲求的增区间只需，解得：即函数的增区间为(，)故选：C考向二 已知单调性求参数【例2-1】(2020·河南新乡市·高三一模(理)已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】因为的定义域为，由，得，解得，所以的递增区间为由于在区间上单调递增，则，所以，解得.因此，实数的取值范围是故选：A.【例2-2】(2021·陕西西安市·长安一中)若函数在上为减函数，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】由题意得，在上恒成立，所以在上恒成立，因为在的最大值为，所以.故选：A.【例2-3】(2020·江西省修水县英才高级中学高三月考(文)若函数存在单调递减区间,则实数b的取值范围为( )ABCD【答案】B【解析】由，可得，由题意可得存在，使得，即存在，使得，等价于，由对勾函数性质易得，故选B.【举一反三】1(2020·安徽高三月考(文)设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】函数在上单调递减，当时，在时恒成立，即，又在单调递减，故，故故选：B2(2020·安徽高三月考(文)若函数在上是减函数，则的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】在上是减函数，所以在上恒成立，即，即，故选：A.3(2021·山东高三专题练习)函数是上的单调函数，则的范围是( )ABCD【答案】D【解析】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立，解得故选：D4(2021·南昌市新建一中高二期末(理)已知函数，若函数在上单调递减，则a的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】，因为函数在上单调递减，所以，即，令，由于在都是增函数，所以在单调递增，所以，所以，又，解得.故选：D.考向三 单调性的应用【例3-1】(2021·河南高三期末(文)已知函数，则不等式的解集为( )ABCD【答案】A【解析】，是偶函数，设，则，所以是增函数，时，即时，所以在上，是增函数又是偶函数，所以不等式化为，所以，解得或故选：A【例3-2】(2021·湖北开学考试)已知且，且，则( )ABCD【答案】A【解析】设，则，令，解得，令，解得，即函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，即，因为，所以，因为，所以，结合函数的单调性易知，即，因为，所以，故选：A.【举一反三】1(2021·江苏启东市·高三期末)已知，则( )ABCD【答案】C【解析】令，时，则在上递减，时，则在上递增，由可得，化为，则，同理，；，因为，所以，可得，因为在上递减，故选：C考向四 图像问题【例4】(2021·广西百色市=)的导函数的图象如下图所示，则函数的图象最有可能是图中的( )ABCD【答案】A【解析】由的图象可知：当时，当时，所以在和单调递减，在单调递增，可排除B、C、D故选：A【举一反三】1(2021·陕西咸阳市)已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是( )ABCD【答案】D【解析】由导函数得图象可得：时，所以在单调递减，排除选项A、B，当时，先正后负，所以在先增后减，因选项C是先减后增再减，故排除选项C，故选：D.2(2021·江苏南通市)己知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则的图象是( )ABCD【答案】A【解析】函数的图象可知在上，逐渐变大，故函数单调递增，增加速度越来越快；在上，逐渐变小，故函数单调递增，增加速度越来越慢；在上，逐渐变小，函数单调递减，递减速度越来越快；在上，逐渐变大，函数单调递减，递减速度越来越慢；故选：A.3(2021·天津河东区)若函数图象如图所示，则图象可能是( )ABCD【答案】C【解析】由图象可得：在上，在上，根据原函数图象与导函数图象关系可得：图象在上为增函数，在上为减函数，可排除A、D，且在x=0处，即在x=0处，的切线的斜率为0，可排除B，故选：C强化练习1(2020·重庆市凤鸣山中学高三月考)函数的一个单调递减区间是( )ABCD【答案】A【解析】，该函数的定义域为，可得，令，可得，即，解得.所以，函数的单调递减区间为.当时，函数的一个单调递减区间为，对任意的，故函数的一个单调递减区间为.故选：A.2(2021·石嘴山市第三中学高三月考(理)若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递减区间为( )AB，(-1，0)CD【答案】D【解析】因为，所以，所以切线的斜率，又曲线在点处的切线过点，所以，所以，解得，所以,由得且，所以函数的单调递减区间为，.故选：D3(2020·江苏淮安市·高三期中)若幂函数的图象过点，则函数的递减区间为( )AB和CD【答案】B【解析】因为为幂函数，且过点，所以设，所以，所以，所以，所以，则，当或时，；当时，所以的递减区间为和，故选：B.4(2021·全国课时练习)若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】由题意得，函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.5(2020·浙江高三月考)已知函数的单调递增区间是，则( )ABCD【答案】C【解析】由题可得，则的解集为，即，可得，故选:C6(2020·盂县第三中学校高三月考(理)已知函数在上单调增函数，则的取值范围为( )ABCD【答案】D【解析】由，可得，又因为在上是单调增函数，只需在上恒成立，又在上单调递增，所以故的取值范围为，故选：D7(2021·全国高二课时练习)已知函数的单调递减区间为，则的值为( )ABCD【答案】B【解析】由题得的解集为，所以不等式的解集为，所以故选：B8(2021·全国高三开学考试(文)“”是“函数在上单调递增”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若在上单调递增，则对任意的恒成立，有对任意的恒成立，即，而当且仅当时等号成立，则.“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A9(2021·江西赣州市)已知函数，若在R上为增函数，则实数a的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】在R上为增函数，故在R上恒成立，即恒成立，而，故.故选：D.10(2021·全国课时练习)导函数yf (x)的图象如图所示，则函数yf (x)的图象可能是( )ABCD【答案】D【解析】由图可知当x0时，f (x)0，当x0时，f (x)0，所以函数f (x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，对照图象，D选项符合.故选：D.11(2021·山东滨州市·)若定义在上的函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为( )ABCD【答案】A【解析】由图像可知：在(-3，-1)，(1，+)为正，在(-，-3)，(-1,1)为负.可化为:或解得:-2<x<-1或x>1或x<-3故不等式的解集为：.故选：A12(2021·陕西西安市·长安一中)已知函数的导函数是，的图象如图所示，下列说法正确的是( )A函数在上单调递减B函数在处取得极大值C函数在上单调递减D函数共有个极值点【答案】C【解析】对于选项，由导函数的图象得函数在上单调递增，故错误；对于选项，由导函数的图象得函数在上单调递增，在上单调递增，所以不是的极值点，故错误；对于选项，由导函数的图象得函数在上单调递减，故正确；对于选项，由导函数的图象得函数共有个极值点，是极小值点，是极大值点，故错误.故选：C.13(2021·西安市第八十三中学)函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为( )ABCD【答案】A【解析】由题意可知，求函数的单调减区间，根据图象，解集为，故选：A14(多选)(2020·江苏盐城市·高三期中)函数单调递增的必要不充分条件有( )ABCD【答案】AC【解析】由函数在区间单调递增，则在区间恒成立，即在区间恒成立，当时，不满足题意；当时，又，即，不满足题意；当时，又， 在区间恒成立，则，综上：函数单调递增的充要条件为，故选：AC.15(2021·全国课时练习)若函数的单调递减区间为，则_【答案】【解析】由题意，所以的两根为和3，所以，所以，故答案为：16(2020·广西桂林市·逸仙中学)函数在上单调递增，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由在上单调递增可知，即设，则，即，解得综上所述，故答案为：17(2021·西安市第八十三中学)若函数在区间(-1，1)上存在减区间，则实数的取值范围是_ .【答案】【解析】，则，函数在区间(-1，1)上存在减区间，只需在区间上有解，记，对称轴，开口向下，只需，所以，解得， 故答案为：18(2021·全国课时练习)已知函数f (x)的导函数yf (x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是_.【答案】和【解析】由yf (x)的图象可得当和时，此时单调递增，所以函数f (x)的单调递增区间是和.故答案为：和.