四边形练习题.ppt

第10讲 四边形（二）1复习矩形、菱形、正方形的判定与性质复习矩形、菱形、正方形的判定与性质. 2复习运用矩形、菱形、正方形的判定和性质复习运用矩形、菱形、正方形的判定和性质解决相关的证明和计算问题解决相关的证明和计算问题. 复习目标1矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分的四条边相等，对角线互相垂直平分.2. 三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形四边形是矩形;四边相等的四边形，或对角线互四边相等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形相垂直的平行四边形是菱形.3. 是矩形又是菱形的四边形是正方形是矩形又是菱形的四边形是正方形.正方形既正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质具有矩形的性质又具有菱形的性质.知识要点例例1 如图，已知矩形如图，已知矩形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点O，AEBD，垂足为，垂足为E，DAE BAE3 1，求，求EAC的度数的度数.分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解等腰三角形的基本图形进行求解.答案：答案：45典型例题ABCDEO例例2 如图，四边形如图，四边形ABCD是菱形，是菱形，AC、BD相交于点相交于点O，过，过O分别分别作各边的垂线，垂足分别为作各边的垂线，垂足分别为E、F、G、H.求证：四边形求证：四边形EFGH是是矩形矩形.分析：由于菱形的四条边都相等且对角互相垂直，以证明菱形被对角线所分成分析：由于菱形的四条边都相等且对角互相垂直，以证明菱形被对角线所分成的四个三角形是全等的直角三角形，而的四个三角形是全等的直角三角形，而OE、OF、OH、OG都是直角三角形斜都是直角三角形斜边上的高，故边上的高，故OE=OF=OG=OH，即证明四边形，即证明四边形EFGH是矩形是矩形.证明：证明： 四边形四边形ABCD是菱形是菱形 AB=BC=CD=AD ，OD=OB，OA=OC且且 ACBD RtAOD RtAOB RtCOD RtCOB OE、OF、OG、OH分别是三角形斜边上的高分别是三角形斜边上的高 OE=OF=OG=OH 四边形四边形EFGH是矩形是矩形典型例题OHABCDEFG例例3 如图，在如图，在ABC中，中，BAC=90，ADBC于于D，CE平平分分ACB，交，交AD于于G，交，交AB于于E，EFBC于于F求证：四边形求证：四边形AEFG是菱形是菱形分析：由已知可知，图中有平行线，就可证明角相等、线段相等，因此，分析：由已知可知，图中有平行线，就可证明角相等、线段相等，因此，可先证四边形可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等是平行四边形，再证一组邻边相等证明：证明：BAC=90，EFBC，CE平分平分ACB，AE=EF，CEA=CEFADBC，EFBC， EFAD，CEF=AGECEA=AGEAE=AGEFAG，且，且EF=AG四边形四边形AEFG是平行四边形是平行四边形又又AE=EF，平行四边形平行四边形AEFG是菱形是菱形典型例题ABCDEFG例例4 已知：已知： 如图，如图，O为为ABCD对角线对角线BD的中点，的中点，MN过过O且垂且垂直直BD，分别交，分别交CD、AB于于M、N求证：四边形求证：四边形DNBM是菱是菱形形分析：已知分析：已知MN为为BD的垂直平分线，有的垂直平分线，有DM=BM，DN=BN，又由又由DOM BON，得，得DM=BN，即由四条边都相等的四，即由四条边都相等的四边形是菱形可证得结论边形是菱形可证得结论.证明：证明：MN为为BD的垂直平分线的垂直平分线 DM=BM，DN=BN又又DOM BONDM=BN，DM=BM=BN=DN四边形四边形DNBM是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）是菱形（四条边都相等的四边形是菱形） 典型例题ABCDONM例例5 如图，如图，E、F分别是正方形分别是正方形ABCD的边的边AB、BC上的点，上的点，且且EFAC，在，在DA的延长线上取一点的延长线上取一点G，使，使AGAD，EG与与DF相交于点相交于点H.求证：求证：AHAD.分析：因为分析：因为A是是DG的中点，故在的中点，故在DGH中，若中，若AHAD，当且仅当当且仅当DGH为直角三角形，所以只须证明为直角三角形，所以只须证明DGH为为直角三角形直角三角形.典型例题GABCDEFH例例6 如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，P、Q分别是分别是BC、CD上的点，若上的点，若PAQ450，求证：，求证：PBDQPQ.分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明形来证明.典型例题ABCDEPQ一、填空题：一、填空题：1、若矩形的对称中心到两边的距离差为、若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长为，周长为56，则这个矩形的面积为，则这个矩形的面积为 .2、已知菱形的锐角是、已知菱形的锐角是60，边长是，边长是20cm，则较，则较短的对角线长是短的对角线长是 cm.3、如图，矩形、如图，矩形ABCD中，中，O是对角线的交点，若是对角线的交点，若AEBD于于E，且，且OE OD1 2，AE cm，则则DE cm.能力训练3ABCDEO 4、如图，、如图，P是矩形是矩形ABCD内一点，内一点，PA3，PD4，PC5，则，则PB .5、如图，在菱形、如图，在菱形ABCD中，中，BEAF60，BAE20，则，则CEF .能力训练ACDBPBFACDE 6、如图，将正方形、如图，将正方形ABCD的的BC边延长到边延长到E，使，使CEAC，AE与与CD边相交于边相交于F点，那么点，那么CE FC . 7、如图，把正方形、如图，把正方形ABCD沿着对角线沿着对角线AC的方向移动到正的方向移动到正方形的位置，它们的重叠部分的面积是正方形方形的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD面积的面积的一半，若一半，若AC ，则正方形移动的距离是，则正方形移动的距离是 .能力训练2ACFBDEBDDCACBA 8、四边形、四边形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O，给出以，给出以下题设条件：下题设条件：ABBCCDDA；AOBOCODO；AOCO，BODO，ACBD；ABBC，CDDA.其中能判断它是正方形的题设条件是其中能判断它是正方形的题设条件是 （把正确的序号填在横线上）（把正确的序号填在横线上）.能力训练二、选择题：二、选择题：9、在矩形、在矩形ABCD的各边的各边AB、BC、CD、DA上分上分别取点别取点E、F、G、H，使，使EFGH为矩形，则这样的为矩形，则这样的矩形（矩形（ ） A、仅能作一个、仅能作一个 B、可以作四个、可以作四个 C、一般情况下不可作、一般情况下不可作 D、可以作无穷多个、可以作无穷多个能力训练 10、如图，在矩形、如图，在矩形ABCD中，中，AB4cm，AD12cm，P点在点在AD边上以每秒边上以每秒1 cm的速度从的速度从A向向D运动，点运动，点Q在在BC边上，以每秒边上，以每秒4 cm的速度从的速度从C点出发，在点出发，在CB间往返间往返运动，二点同时出发，待运动，二点同时出发，待P点到达点到达D点为止，在这段时点为止，在这段时间内，线段间内，线段PQ有（有（ ）次平行于）次平行于AB. A、1 B、2 C、3 D、4能力训练ABCDPQ 11、如图，已知矩形纸片、如图，已知矩形纸片ABCD中，中，AD9cm，AB3cm，将其折叠，使点，将其折叠，使点D与点与点B重重合，那么折叠后合，那么折叠后DE的长和折痕的长和折痕EF的长分别是的长分别是（ ） A、4cm、 cm B、5cm、 cm C、4cm、 cm D、5cm、 cm能力训练10102 32 3ABCDEFG12、给出下面四个命题：、给出下面四个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形是菱形；有一个角是直角且有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；对角线互相平分的四边形是矩形；菱形的对角线的平方菱形的对角线的平方和等于边长平方的和等于边长平方的4倍倍.其中正确的命题有（其中正确的命题有（ ） A、 B、 C、 D、13、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（形，那么这个四边形一定是（ ） A、矩形、矩形 B、菱形、菱形 C、正方形、正方形 D、等腰梯形、等腰梯形能力训练三、解答题：三、解答题：14、如图，在矩形、如图，在矩形ABCD中，中，F是是BC边上一点，边上一点，AF的延的延长线交长线交DC的延长线于点的延长线于点G，DEAG于于E，且，且DEDC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论你的结论.能力训练ABCDEFG15、如图，在、如图，在ABC中，中，ACB900，CD是是AB边上的高，边上的高，BAC的平分线的平分线AE交交CD于于F，EGAB于于G.求证：四边形求证：四边形GECF是菱形是菱形.能力训练ABCDEFG 16、如图，以、如图，以ABC的三边为边在的三边为边在BC的同一侧分别作的同一侧分别作三个等边三角形，即三个等边三角形，即ABD、BCE、ACF.请回答下请回答下列问题（不要求证明）：列问题（不要求证明）：（1）四边形）四边形ADEF是什么四边形？是什么四边形？（2）当）当ABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？是矩形？（3）当）当ABC满足什么条件时，以满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点为顶点的四边形不存在？的四边形不存在？ 能力训练ABCDEF 17、已知正方形、已知正方形ABCD中，中，M是是AB的中点，的中点，E是是AB延长延长线上一点，线上一点，MNDM且交且交CBE的平分线于的平分线于N.（1）求证：）求证：MDMN；（2）若将上述条件中的）若将上述条件中的“M是是AB的中点的中点”改为改为“M是是AB上任意一点上任意一点”，其余条件不变，则结论，其余条件不变，则结论“MDMN”还成还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.能力训练NNMMABECDABECD18、如图，、如图，ABCD是正方形，是正方形，P是对角线上的是对角线上的一点，引一点，引PEBC于于E，PFDC于于F.求证：（求证：（1）APEF；（；（2）APEF.能力训练ABCDEFP19、如图，过正方形、如图，过正方形ABCD的顶点的顶点B作作BECA，作，作AEAC，又，又CFAE，求证：求证：BCF1/2AEB.能力训练ABCDEF一、填空题：一、填空题：1、180；2、20cm；3、3；4、；、；5、200 提示：提示：4题过点题过点P作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解；解；5题连结题连结AC，证，证ABE ACF得得AEAF，从而，从而AEF是等边三角形是等边三角形.6、 ；7、 ；8、参考答案2121二、二、DDBBA三、解答题：三、解答题：14、可证、可证DEA ABF15、略证：、略证：AE平分平分BAC，且，且EGAB，ECAC，故，故EGEC，易得，易得AECCEF，CFEC，EGCF，又因，又因EGAB，CDAB，故故EGCF.四边形四边形GECF是平行四边形，又因是平行四边形，又因EGFG，故，故GECF是菱形是菱形.参考答案 16、（、（1）平行四边形；（）平行四边形；（2）BAC150；（；（3）当）当BAC60时，以时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在为顶点的四边形不存在.17、（、（1）如图）如图1，取，取AD中点中点F，连结，连结MF，由，由MNDM得得DAM90，易证，易证12，又因，又因MNBNBE2452，DMFAFM1451，所以所以DMFMNB，又因，又因DFBM，所以，所以DMF MNB，故，故MDMN.参考答案（2）成立，如图）成立，如图2，在，在AD上取上取DFMB，则易知：，则易知：1900DMA，又，又2DMA900，12，又，又DMF4501，MNB4502，DMFMNB，又又DFMB，DMF MNB，故，故MDMN.18、略证：延长、略证：延长AP与与EF相交于点相交于点H，连结，连结PC，因为因为BD是对角线，易证是对角线，易证PAPC，12，根，根据据PEBC于于E，PFDC于于F，知，知PECF为矩形，为矩形，PCEF，且，且DAHFPH，又因为，又因为123，所以在，所以在PHF中，中，FPH34190，所以，所以PHF为直角三角形，故为直角三角形，故APEF.参考答案19、提示：证、提示：证AEFC是菱形，过是菱形，过A点作点作BE的垂线构造的垂线构造300角的直角三角形角的直角三角形.参考答案