2014年高考江苏数学试题及答案.docx
精选优质文档-倾情为你奉上2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题 - 第20题）本卷满分160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将答题卡交回2 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔数学参考公式：圆柱的体积公式：，其中为圆柱的表面积，为高圆柱的侧面积公式：，其中是圆柱底面的周长，为母线长一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分 请把答案填写在答题卡相应位置上（1）【2014年江苏，1，5分】已知集合，则_【答案】【解析】由题意得（2）【2014年江苏，2，5分】已知复数(为虚数单位)，则的实部为_【答案】21【解析】由题意，其实部为21（3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图，则输出的的值是_【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式的最小整数解整数解为，因此输出的（4）【2014年江苏，4，5分】从这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_【答案】【解析】从这4个数中任取2个数共有种取法，其中乘积为6的有和两种取法，因此所求概率为（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是_【答案】【解析】由题意，即，因为，所以（6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100 cm【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于的株数为（7）【2014年江苏，7，5分】在各项均为正数的等比数列中，若，则的值是_【答案】4【解析】设公比为，因为，则由得，解得，所以（8）【2014年江苏，8，5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是_【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为，则，又，所以，则（9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为_【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为，所求弦长为（10）【2014年江苏，10，5分】已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】据题意，解得（11）【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是_【答案】【解析】曲线过点，则，又，所以，由解得，所以（12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD中，已知， ，则的值是_【答案】22【解析】由题意，所以，即，解得（13）【2014年江苏，13，5分】已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】作出函数的图象，可见，当时， ，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线 在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有（14）【2014年江苏，14，5分】若的内角满足，则的最小值是_【答案】【解析】由已知及正弦定理可得， ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（15）【2014年江苏，15，14分】已知， （1）求的值； （2）求的值解：（1）， （2）， （16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥中，分别为棱 的中点已知 （1）求证：直线PA平面DEF； （2）平面BDE平面ABC解：（1）为中点DEPA平面DEF，DE平面DEFPA平面DEF（2）为中点，为中点， ，DEEF，DE平面ABC，DE平面BDE，平面BDE平面ABC（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结 （1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程； （2）若，求椭圆离心率e的值解：（1），椭圆方程为（2）设焦点，关于x轴对称，三点共线，即，即联立方程组，解得 C在椭圆上，化简得，, 故离心率为（18）【2014年江苏，18，16分】如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)， （1）求新桥BC的长； （2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解：解法一：（1）如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，直线BC的斜率又因为ABBC，所以直线AB的斜率设点B的坐标为(a,b)，则kBC=， k AB=，解得a=80，b=120 所以BC=因此新桥BC的长是150 m（2）设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0d60)由条件知，直线BC的方程为，即，由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以，即，解得故当d=10时,最大，即圆面积最大 所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大解法二：（1）如图，延长OA, CB交于点F因为tanBCO=所以sinFCO=，cosFCO=因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tanFCO=CF=，从而因为OAOC，所以cosAFB=sinFCO=，又因为ABBC，所以BF=AF cosAFB=，从而BC=CFBF=150因此新桥BC的长是150 m（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MDBC，且MD是圆M的半径，并设MD=r m，OM=d m(0d60)因为OAOC，所以sinCFO =cosFCO，故由（1）知，sinCFO =所以因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以，即，解得，故当d=10时，最大，即圆面积最大所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大（19）【2014年江苏，19，16分】已知函数其中e是自然对数的底数 （1）证明：是上的偶函数； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在，使得成立试比较与的大小，并证明你的结论解：（1），是上的偶函数（2）由题意，即，即对恒成立令，则对任意恒成立，当且仅当时等号成立，（3），当时在上单调增，令，即在上单调减，存在，使得，即，设，则，当时，单调增；当时，单调减，因此至多有两个零点，而，当时，；当时，；当时，（20）【2014年江苏，20，16分】设数列的前n项和为若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列” （1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”； （2）设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立解：（1）当时，当时，时，当时，是“H数列”（2），对，使，即，取得，又，（3）设的公差为d，令，对，对，则，且为等差数列的前n项和，令，则当时；当时；当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”的前项和，令，则对，是非负偶数，即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”，因此命题得证注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用本试，21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分第22、23题为必答题每小题10分，共40分考试时间30分钟考试结束后，请将答题卡交回2 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗数学【选做】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（21-A）【2014年江苏，21-A，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB是圆O的直径，C、 D是圆O 上位于AB异侧的两点证明：OCB=D解：因为B，C是圆O上的两点，所以OB=OC故OCB=B又因为C, D是圆O上位于AB异侧 的两点，故B，D为同弧所对的两个圆周角，所以B=D因此OCB=D（21-B）【2014年江苏，21-B，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵，向量，为实数，若，求的值解：，由得解得（21-C）【2014年江苏，21-C，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线交于两点，求线段AB的长解：直线l：代入抛物线方程并整理得，交点，故（21-D）【2014年江苏，21-D，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知，证明：解：因为x>0, y>0, 所以1+x+y2，1+x2+y，所以(1+x+y2)( 1+x2+y)=9xy【必做】第22、23题，每小题10分，计20分请把答案写在答题卡的指定区域内（22）【2014年江苏，22，10分】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为，随机变量X表示 中的最大数，求X的概率分布和数学期望解：（1）一次取2个球共有种可能情况，2个球颜色相同共有种可能情况，取出的2个球颜色相同的概率（2）X的所有可能取值为，则；X的概率分布列为：X234P故X的数学期望（23）【2014年江苏，23，10分】已知函数，设为的导数，（1）求的值；（2）证明：对任意的，等式成立解：（1）由已知，得，于是，所以，故（2）由已知，得等式两边分别对x求导，得，即，类似可得，下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立（i）当n=1时，由上可知等式成立（ii）假设当n=k时等式成立, 即因为，所以所以当n=k+1时,等式也成立综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立令，可得()所以()专心-专注-专业
