垂径定理 (3).ppt
垂直于弦的直径人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？你知道赵州桥吗你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆它的主桥是圆弧形弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m, 拱高拱高(弧的中点到弦的弧的中点到弦的距离距离)为为7.2m，你能求出赵洲桥你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？主桥拱的半径吗？问题情境问题情境人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 圆的相关圆的相关概念复习概念复习OABCMD圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧,简称简称弧弧.连接圆上任意两点间的线段叫做连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦(如弦如弦AB).经过圆心的弦叫做经过圆心的弦叫做直径直径(如直径如直径AC).直径直径将圆分成两部分将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆每一部分都叫做半圆(如如弧弧ABC).AB小于半圆的弧叫做劣弧小于半圆的弧叫做劣弧,如记作如记作 (用两个字母用两个字母).大于半圆的大于半圆的弧弧叫做优弧叫做优弧,如记作如记作 (用三个字母用三个字母).AMBAB以以A,B两点为端点的两点为端点的弧弧.记作记作 ,读作读作“弧弧AB”.人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 学生活动一:折纸实验 不借助任何工具，你能找到圆不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗形纸片的圆心吗? ?由此你能得到圆的什么特性？由此你能得到圆的什么特性？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形。任圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对何一条直径所在直线都是它的对称轴称轴人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 探索发现探索发现已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB，垂足为，垂足为E。求证：求证：AEBE，ACBC，AD BD OABCDE人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 探索发现探索发现证明：连接证明：连接OA,OB,OA,OB, OBADCE OA=OB.在在RtOAE和和RtOBE中中,OA=OB，OE=OE，RtOAE RtOBE.AE=BE.点点A和点和点B关于关于CD对称对称. O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,即即AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC, AD =BD.人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 探索发现探索发现垂径定理垂径定理定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. 提示提示:垂径定理是圆中一个重要的结论垂径定理是圆中一个重要的结论,三种三种语言要相互转化语言要相互转化,形成整体形成整体,才能运用自如才能运用自如.如图如图 CD是直径是直径 CDAB。AE=BE, AC = BC, AD = BD.AOBDCE的三种语言形式的三种语言形式过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？EDCOABECOABDOABcOEDCAB是不是ORC垂径定理常见的几个基本图形垂径定理常见的几个基本图形OBCADDOBCAOBACCDCD过圆心过圆心CDABCDAB于点于点E EAE=BEAC= BCAD= BD人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 牛刀小试牛刀小试1 1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径。的半径。变式变式若若 O的半径为的半径为10cm,OE=6cm,则则AB= cm 。OAEB解：过点解：过点O作作OEAB于点于点E,连接连接OAOEAB,AB=8AE=BE=4OE=3AO=516人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 名题引路 例：例： 如图，已知如图，已知AB是是 O 的弦，的弦，P是是AB上一点，上一点，AB=10cm,PB=4cm, PO=5 cm，求，求 O的半径的半径解：解：过过O点作点作OCAB于于C ，连连接接AO OCAB AC=BC=1/2AB=5cm BP=4cm CP=1 cm PO=5 cm， CP=1 cm OC2=52-12=24 AO2= AC2+ OC2=25+24=49 AO=7 cm 0 A B PC人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 Part Part 1 1过关斩将过关斩将如图点如图点A、B是是 O上两点，上两点，AB=8,点点P是是 O上的动点上的动点（P与与A、B不重合）不重合）,连接连接AP、BP,过点过点O分别作分别作OEAP点点E,OFBP于于F,EF= 。 O A B P E F4人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 Part Part 2 2过关斩将过关斩将OABCDEA_, EC=_。：如图：如图_ AC=BD如图：如图：AC、BD有什么关系？有什么关系？如图如图 ACBD还成立吗？还成立吗？图图OABCDOABCDFE图图OABCD3：_ AC=BD.图图OABCD图图人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 Part Part 3 3过关斩将过关斩将 1、如图，点、如图，点P是半径为是半径为5 cm的的 O内一点，内一点， 且且OP=3cm, 则过则过P点的弦中，点的弦中，（1）最长的弦）最长的弦= cm（2）最短的弦）最短的弦= cm108 O PABCD543 变式：如图，变式：如图， O的直径为的直径为10，弦弦AB=8,P为为AB上的一个动点，上的一个动点，那么那么OP长的取值范围是长的取值范围是 。3cmOP 5cm人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 Part Part 4 4过关斩将过关斩将1、（、（1） O的半径为的半径为5 cm，弦，弦ABCD, AB=6 cm, CD=8 cm, 请画出图形请画出图形 根据图形，求出根据图形，求出AB与与CD之间的距离之间的距离是是 。OABCD当两条弦在圆心的同侧当两条弦在圆心的同侧OABCD当两条弦在圆心的两侧当两条弦在圆心的两侧7cm或1cm人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 Part Part 4 4过关斩将过关斩将1 1、（、（1 1）O O的半径为的半径为5 cm5 cm，弦，弦ABCD, AB=8 cm, CD=6 cm, ABCD, AB=8 cm, CD=6 cm, 请画出图形请画出图形 根据图形，求出根据图形，求出ABAB与与CDCD之间的距是之间的距是 。7cm或1cm(2)(2)你能直接写出此题的答案么：你能直接写出此题的答案么： O O的半径为的半径为5 cm5 cm，弦，弦ABCD, AB=6 cm, CD=8 cm,ABCD, AB=6 cm, CD=8 cm,则以则以A A、B B、C C、D D为顶点的四边形的面积等于为顶点的四边形的面积等于 。49cm或7cmOABCDOABCD人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 我发现我发现若圆心到弦的距离用若圆心到弦的距离用d表示，半径用表示，半径用r表示，弦表示，弦长用长用a表示，这三者之间有怎样的关系？表示，这三者之间有怎样的关系？OAEBF 若上面的弓形高若上面的弓形高为为h h，则，则r r、d d、h h之间之间有怎样的关系有怎样的关系? ?2222adrr=r=d+hd+h两条辅助线：两条辅助线： 半径半径 弦心距弦心距人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 解决问题解决问题OABCRD7.237.4你知道赵州桥吗你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦弧所对的弦的长的长)为为37.4m, 拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m，你能你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？求出赵洲桥主桥拱的半径吗？(精确到精确到0.1m).人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 解决问题解决问题解：由题意得解：由题意得ABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.OABCRD37.47.2, 2 . 7, 4 .37CDAB,222ODADOA人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 大显身手大显身手 如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱顶高出水拱顶高出水面面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面米、船舱顶部为长方形并高出水面2米米的货船要经过这里的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 解解:如图如图, 由题意得由题意得AB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 畅谈体会畅谈体会两条辅助线：两条辅助线： 半径半径 弦心距弦心距一个直角三角形：一个直角三角形：半径半径 半弦半弦 弦心距弦心距垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦, ,并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧. .CDCD过圆心过圆心CDABCDAB于点于点E EBA ODCEAE=BEAC=BCAD = BD2222adr人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 布置作业布置作业1、请你写出垂径定理的逆定理。、请你写出垂径定理的逆定理。2、在半径为、在半径为6 cm的圆中，已知两条互相垂直的弦，其中一条被另的圆中，已知两条互相垂直的弦，其中一条被另一条分成一条分成3 cm和和7 cm的两条线段，求圆心到两弦的距离。的两条线段，求圆心到两弦的距离。3、如图，已知、如图，已知AB是的直径，是的直径，CD是弦，若是弦，若AB=10 cm，CD=8 cm，求求A、B两点到直线两点到直线CD的距离之和。的距离之和。 D C O B A E F你能说出垂径定理你能说出垂径定理的逆定理吗？的逆定理吗？OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.
