【创新设计】2011届高三数学一轮复习 8-8抛物线课件 文 苏教版.ppt

掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质第第8 8课时课时 抛物线抛物线1高考对抛物线的考查时常出现，主要以抛物线定义的灵活运用、求抛物高考对抛物线的考查时常出现，主要以抛物线定义的灵活运用、求抛物 线的标准方程、抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系为主线的标准方程、抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系为主2题目类型有求抛物线的方程，求焦点的坐标，求抛物线的参数值或有关题目类型有求抛物线的方程，求焦点的坐标，求抛物线的参数值或有关参数的取值范围等，对抛物线的考查有时也会与椭圆、双曲线、数列等参数的取值范围等，对抛物线的考查有时也会与椭圆、双曲线、数列等相结合相结合3抛物线是近几年高考考查的热点，抛物线定义、几何性质多在填空题中出抛物线是近几年高考考查的热点，抛物线定义、几何性质多在填空题中出现标准方程的求解通常由待定系数法、定义法及轨迹法解决现标准方程的求解通常由待定系数法、定义法及轨迹法解决【命题预测】【命题预测】 1抛物线定义中的抛物线定义中的“平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F)距离相距离相等等”这个等量关系可以使解题过程简捷，应注意体会用待定系数法求抛物这个等量关系可以使解题过程简捷，应注意体会用待定系数法求抛物线方程，就是根据题设中的条件建立线方程，就是根据题设中的条件建立p的方程，求出的方程，求出p的值注意当不能确定的值注意当不能确定抛物线焦点所在的坐标轴时，要分类讨论抛物线焦点所在的坐标轴时，要分类讨论2利用好抛物线的准线方程及焦半径公式，是解决过焦点问题的一个重要途径，利用好抛物线的准线方程及焦半径公式，是解决过焦点问题的一个重要途径，应熟练掌握并能灵活运用焦点弦是比较特殊的线段，应能正确地把握住焦应熟练掌握并能灵活运用焦点弦是比较特殊的线段，应能正确地把握住焦点弦的特点并进行相关问题的解答求焦点弦的长时，设直线与抛物线的两点弦的特点并进行相关问题的解答求焦点弦的长时，设直线与抛物线的两个交点为个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，可用公式，可用公式|AB|x1x2p求解求解【应试对策】【应试对策】3抛物线与向量联系使解析几何与向量有机地结合起来，不仅增加了题目难度抛物线与向量联系使解析几何与向量有机地结合起来，不仅增加了题目难度还增加了灵活度，是近几年高考的重点考查内容将抛物线的几何性质与导还增加了灵活度，是近几年高考的重点考查内容将抛物线的几何性质与导数的几何意义、基本不等式求最值、其他圆锥曲线等知识融于一体，考查运数的几何意义、基本不等式求最值、其他圆锥曲线等知识融于一体，考查运用所学知识分析、解决问题的能力，也是高考重点考查内容用所学知识分析、解决问题的能力，也是高考重点考查内容抛物线的几个重要结论抛物线的几个重要结论1以焦半径为半径的圆以焦半径为半径的圆：以以P为圆心为圆心、FP为半径的圆必与准线相切所有这样为半径的圆必与准线相切所有这样的圆过定点的圆过定点F，且准线是它们的公切线且准线是它们的公切线2以焦半径为直径的圆：以焦半径以焦半径为直径的圆：以焦半径FP为直径的圆必与过顶点垂直于对称轴的直为直径的圆必与过顶点垂直于对称轴的直线相切所有这样的圆过定点线相切所有这样的圆过定点F，且过顶点垂直于对称轴的直线是公切线且过顶点垂直于对称轴的直线是公切线【知识拓展】【知识拓展】 3以焦点弦为直径的圆：以焦点弦以焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切所有这样的圆为直径的圆必与准线相切所有这样的圆的公切线是准线的公切线是准线4抛物线抛物线y22px上的动点可设为上的动点可设为P 或或P(2pt2,2pt)或或P(x0，y0)，其中，其中y 2px1抛物线的定义抛物线的定义 平平面内到一个定点面内到一个定点F和一条定直线和一条定直线l(F不在不在l上上)的距离相等的点的轨迹叫的距离相等的点的轨迹叫 做做 ，定点，定点F叫做抛物线的叫做抛物线的 ，定直线，定直线l叫做抛物线的叫做抛物线的 2抛物线的标准方程和几何性质抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示如下表所示)抛物线抛物线焦点焦点准线准线标准方程标准方程y22px(p0)y22px(p0)图图形形性性质质范围范围 准线准线方程方程xx焦点焦点对称轴对称轴关于关于 对称对称顶点顶点离心率离心率e 焦半径焦半径MFMF x轴轴(0,0)1x0，yRx0，yR标准方程标准方程x22py(p0)x22py(p0)图图形形性质性质范围范围准线方程准线方程yy焦点焦点对称轴对称轴关于关于 对称对称顶点顶点离心率离心率e焦半径焦半径MFMFy0，xRy0，xRy轴轴(0,0)1思考：思考：在求抛物线方程时，怎样建立坐标系才能使抛物线方程是标准方程？在求抛物线方程时，怎样建立坐标系才能使抛物线方程是标准方程？提示：提示：在求抛物线方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴在求抛物线方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样求出的方程是标准方程建立坐标系，这样求出的方程是标准方程1(2010洛阳市高三测试洛阳市高三测试)若若抛物线抛物线y22px的焦点与椭圆的焦点与椭圆 1的右焦的右焦点重合，则点重合，则p的值为的值为_解析：解析：抛物线的焦点为抛物线的焦点为 ，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为(2,0)，由题知，由题知， 2，p4.答案：答案：42已知点已知点(2,3)与抛物线与抛物线y22px(p0)的焦点的距离是的焦点的距离是5，则，则p的值为的值为_解析：解析：抛物线的焦点为抛物线的焦点为 .由由 5，得，得p4.答案：答案：43设抛物线设抛物线y2mx的准线与直线的准线与直线x1的距离为的距离为3，则抛物线的方程为，则抛物线的方程为_解析：解析：抛物线的准线方程为抛物线的准线方程为x ，则，则|1 |3，m8或或m16，故抛物线方程为故抛物线方程为y28x或或y216x.答案：答案：y28x或或y216x4若点若点P到点到点F(0,2)的距离比它到直线的距离比它到直线y40的距离小的距离小2，则，则P的轨迹方程为的轨迹方程为_解析：解析：由题意知由题意知P到到F(0,2)的距离比它到的距离比它到y40的距离小的距离小2，因此，因此P到到 F(0,2)的距离与到直线的距离与到直线y20的距离相等，故的距离相等，故P的轨迹是以的轨迹是以F为焦点，为焦点，y2为准为准线的抛物线，所以线的抛物线，所以P的轨迹方程为的轨迹方程为x28y.答案：答案：x28y5抛物线抛物线y x2(a0)的焦点坐标为的焦点坐标为_答案：答案：(0， )1抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此涉及抛物线的焦半径、抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化样就可以使问题简单化2利用抛物线的定义可以求抛物线的标准方程利用抛物线的定义可以求抛物线的标准方程【例【例1】 过过抛物线抛物线y22px(p0)的焦点的焦点F任作一条直线任作一条直线m，交抛物线于，交抛物线于P1、P2 两点，求证：以两点，求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切为直径的圆和该抛物线的准线相切 思路点拨：思路点拨：利用抛物线的定义证明圆的圆心到抛物线的准线的距离等于圆利用抛物线的定义证明圆的圆心到抛物线的准线的距离等于圆 的半径的半径证明证明：设：设P1P2的中点为的中点为P0，过，过P1、P2、P0分别向准线分别向准线l引垂线，垂足分别为引垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q0，根据抛物线的定义，得，根据抛物线的定义，得P1F=P1Q1，P2F=P2Q2，P1P2=P1F+P2F=P1Q1+P2Q2.P1Q1P0Q0P2Q2，P1P0=P0P2，P0Q0= (P1Q1+P2Q2)= P1P2.由此可知，由此可知，P0Q0是以是以P1P2为直径为直径 的圆的圆P 0的半径，且的半径，且P0Q0l.因此，圆因此，圆P0与准线相切与准线相切 解析：解析：过过P作作PKl(I I为抛物线的准线为抛物线的准线)于于K，则，则PF=PK. PA+PF=PA+PK. 当当P点的纵坐标与点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，点的纵坐标相同时，PA+PK最小此时最小此时P点的纵点的纵 坐标为坐标为1.把把y=1代入代入y2=-4x得得x= - ， 即当即当P点的坐标为点的坐标为 时，时，PA+PF最小最小 答案答案： 变式变式1：已已知点知点A(2,1)，y24x的焦点是的焦点是F，P是是y24x上的点，为使上的点，为使PA PF取得最小值，取得最小值，P点的坐标是点的坐标是_抛物线上一点与焦点抛物线上一点与焦点F连线的线段叫做焦半径连线的线段叫做焦半径过焦点过焦点F的直线与抛物线交于的直线与抛物线交于A，B，则线段，则线段AB称为焦点弦称为焦点弦通过焦点垂直于对称轴的抛物线的弦叫抛物线的通径，通径长为通过焦点垂直于对称轴的抛物线的弦叫抛物线的通径，通径长为2p，这是，这是 标准方程中标准方程中2p的一种几何意义，而的一种几何意义，而p的几何意义则是焦点到准线的距离的几何意义则是焦点到准线的距离设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：，则有：标准方程标准方程焦半径焦半径AF焦点弦长焦点弦长ABy22px(p0)AFx1ABx1x2py22px(p0)AF x1ABpx1x2x22px(p0)AFy1ABpy1y2x22py(p0)AF y1ABpy1y2【例【例2】 求求抛物线抛物线y22px的焦点弦长的最小值的焦点弦长的最小值 思路点拨：思路点拨：设焦点弦所在直线设焦点弦所在直线AB的倾斜角为的倾斜角为，把直线，把直线AB的方程的方程 写成写成ycos sin ，焦点弦长用，焦点弦长用表示，根据表示，根据的取值求最值的取值求最值解：解：设设焦点弦所在直线的倾斜角为焦点弦所在直线的倾斜角为，则直线则直线AB的方程为的方程为ycos =sin ，如右图所示，如右图所示设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，由 消去消去y，得，得sin2x2-p(2cos2+sin2)x+ sin2=0，x1+x2= .AB=AF+BF=x1+x2+p= ，当当sin2=1，即即= 时，时，AB取最小值取最小值2p.变式变式2：过过抛物线抛物线y22px(p0)的焦点的焦点F，引两条互相垂直的弦，引两条互相垂直的弦AC，BD，求，求 四边形四边形ABCD面积的最小值面积的最小值 解：解：由方程组由方程组 , 得得4k k2x24p(k k22)xp2k k20. 设设A(x1，y1)，C(x2，y2)，由公式，由公式AC|x1x2|p，得，得ACx1x2p ，同理可得同理可得 BD2p(k k21)四边形四边形ABCD的面积的面积S ACBD 2p2 8p2，当且仅当，当且仅当k k2 ，即，即k k1，Smin8p2.复习中应紧抓抛物线的定义、标准方程及几何性质复习中应紧抓抛物线的定义、标准方程及几何性质(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y22ax或或x22ay(a0)，此时此时a不具有不具有p的几何意义的几何意义(2)抛物线的离心率抛物线的离心率e1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离因此，涉及抛物线的焦半径，焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的离因此，涉及抛物线的焦半径，焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化【规律方法总结规律方法总结】(3)求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法，为避免开口不一定求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法，为避免开口不一定而分成而分成y22px(p0)或或y22px(p0)两种情况求解的麻烦，可以设成两种情况求解的麻烦，可以设成y2mx或或x2ny(m0，n0)，若，若m0，开口向右；，开口向右；m0，开口向左；，开口向左；n0，开口向上；开口向上；n0，开口向下，因此抛物线的标准方程有四个，开口向下，因此抛物线的标准方程有四个. 【例【例3】 (2009福建卷福建卷)过过抛物线抛物线y22px(p0)的焦点的焦点F作倾斜角为作倾斜角为45的直的直线交抛物线于线交抛物线于A，B两点，若线段两点，若线段AB的长为的长为8，则，则p_.分析：分析：根据条件写出直线方程，与抛物线方程联立，消元后根据直线被根据条件写出直线方程，与抛物线方程联立，消元后根据直线被曲线所截得的弦长公式求解曲线所截得的弦长公式求解【高考真题高考真题】规范解答：规范解答：设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知过焦点的直线方程为，由题意可知过焦点的直线方程为yx ，与抛物线方程联立，得，与抛物线方程联立，得 ，消元后得，消元后得x23px 0.又又AB 8，解得解得p2.答案：答案：2 本题属于以考查解析几何的基本方法为主的常规试题，试题可以看做是对教本题属于以考查解析几何的基本方法为主的常规试题，试题可以看做是对教材题目的适当加工改造，如人教材题目的适当加工改造，如人教A版选修版选修21第二章第二章2.4.2的练习第的练习第3题：过点题：过点M(2,0)作斜率为作斜率为1的直线的直线l，交抛物线，交抛物线y24x于于A，B两点，求两点，求AB.类似试题也经类似试题也经常出现在往年的高考中，如常出现在往年的高考中，如2007年宁夏、海南卷：已知抛物线年宁夏、海南卷：已知抛物线y22px(p0)的的焦点为焦点为F，点，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且在抛物线上，且2x2x1x3，则有则有【命题探源】【命题探源】【全解密全解密】AFP1FP2FP3 B C2FP2FP1FP3 D 答案：答案：C抛物线焦点弦的主要性质：抛物线抛物线焦点弦的主要性质：抛物线y22px(p0)过焦点过焦点F 的弦的弦AB，若，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则x1x2 ，y1y2p 2，弦长，弦长ABx1x2p.同样对同样对于抛物线于抛物线y 22px，x 22py，x 22py，也可得到类似的性质，也可得到类似的性质【知识链接】【知识链接】抛物线焦点弦长的求法抛物线焦点弦长的求法 求抛物线的焦点弦长有两种方法：一是根据直线被二次曲线所截得的一般的求抛物线的焦点弦长有两种方法：一是根据直线被二次曲线所截得的一般的弦长公式；二是根据抛物线的焦点半径直接得到弦长，用前面的方法在使用弦长公式；二是根据抛物线的焦点半径直接得到弦长，用前面的方法在使用根与系数关系整体代入时要用到两根之和和两根之积，用后面这个方法仅仅根与系数关系整体代入时要用到两根之和和两根之积，用后面这个方法仅仅用到两根之和，还省去了开方的麻烦，故在求抛物线的焦点弦长时一般是用用到两根之和，还省去了开方的麻烦，故在求抛物线的焦点弦长时一般是用后面这种方法后面这种方法【方法探究】【方法探究】 根据抛物线的焦点半径，可得到根据抛物线的焦点半径，可得到ABx1x2p3pp8，即，即p2.本题在用一般的直线被二次曲线所截得的弦长公式解答时，本题在用一般的直线被二次曲线所截得的弦长公式解答时，消掉消掉x解题更为简单，这是因为本题中的抛物线方程中，解题更为简单，这是因为本题中的抛物线方程中，x是一次的，但要是一次的，但要注意此时的弦长公式也发生了变化注意此时的弦长公式也发生了变化求解抛物线问题最容易出现的错误就是把焦点坐标、准线方求解抛物线问题最容易出现的错误就是把焦点坐标、准线方程弄错，解题时一定要注意，千万不要弄错了符号或是漏掉了分母程弄错，解题时一定要注意，千万不要弄错了符号或是漏掉了分母2. 【发散思维】【发散思维】【技巧点拨】【技巧点拨】【误点警示】【误点警示】点点C在抛物线的准线上，且在抛物线的准线上，且BCx轴证明：直线轴证明：直线AC经过原点经过原点O.分析：分析：证直线证直线AC经过原点经过原点O，即证，即证O，A，C三点共线，为此，只需证三点共线，为此，只需证k kOCk kOA.本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决1设抛物线设抛物线y22px(p0)的焦点为的焦点为F，经过点，经过点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A，B两点，两点，证明：证法一：证明：证法一：设设直线直线AB：xmy ，代入代入y22px，得得y22pmyp20.由根与系数关系，得由根与系数关系，得yAyBp2，即即yB .BCx轴，且轴，且C在准线在准线x 上，上，证法二：证法二：如图如图，记准线记准线l与与x轴的交点为轴的交点为E，过过A作作ADl，垂足为垂足为D，则则ADEFBC，连接连接AC交交EF于点于点N，则则 ， .|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，|EN|= =|NF|，即即N是是EF的中点的中点，从而点从而点N与点与点O重合重合，故直线故直线AC经过原点经过原点O.2已知抛物线已知抛物线C的顶点在原点，焦点的顶点在原点，焦点F在在x轴正半轴上，设轴正半轴上，设A，B是抛物线是抛物线C上的上的两个动点两个动点(AB不垂直于不垂直于x轴轴)，且，且|AF|BF|8，线段，线段AB的垂直平分线恒经过的垂直平分线恒经过定点定点Q(6,0)，求此抛物线方程，求此抛物线方程 分析：分析：从从“抛物线抛物线C的顶点在原点的顶点在原点”知该抛物线的方程为标准方程，由知该抛物线的方程为标准方程，由“焦焦点点F在在x轴正半轴上轴正半轴上”知标准方程的形式为知标准方程的形式为“y22px(p0)”由于点由于点A，B是动是动点，可设出两点的坐标，利用点，可设出两点的坐标，利用“|AF|BF|8”和和“线段线段AB的垂直平分线恒的垂直平分线恒经过定点经过定点Q”可得到两个相关的方程可得到两个相关的方程解：解：设设抛物线方程为抛物线方程为y22px(p0)，其准线为其准线为x . .设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由由|AF|BF|8得得x1x28p.Q在在AB的中垂线上，的中垂线上，|QA|QB|，即即 ，又又 (x1x2)(x1x2122p)0.AB与与x轴不垂直，轴不垂直，x1x2，则则x1x2122p0.p4，即抛物线的方程为即抛物线的方程为y28x.点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册