“高等数学（一）”考试大纲.doc

1高等数学高等数学 A考试大纲考试大纲. .适用专业：理科各专业适用专业：理科各专业 总体要求总体要求考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学 ”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程 的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为 “会”、 “掌握”和“熟练掌握 ”三个层次。考考核核内内容容及及要要求求一一、函函数数、极极限限和和连连续续（一）函数（1）理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值；会求分段函数的定义域、函数值；掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性；会判断所给函数的类别。（2）了解函数与其反函数之间的关系（定义域、值)(xfy )(1xfy域、图象），会求单调函数的反函数。（3）理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。2（4）掌握基本初等函数的简单性质及其图象；了解初等函数的概念；会建立简单实际问题的函数关系式。（二）极限（1）理解极限的概念；能根据极限概念分析函数的变化趋势；会求函数在一点处的左极限与右极限；了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（2）了解极限的有关性质；掌握极限的四则运算法则。（3）理解无穷小量、无穷大量的概念；掌握无穷小量的性质及无穷小量与无穷大量的关系；会进行无穷小量阶的比较；会运用等价无穷小量代换求极限。（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。（三）连续（1）理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数（含分段函数）在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系。（2）会求函数的间断点及确定其类型。（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题。（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。二二、一一元元函函数数微微分分学学（一）导数与微分（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用3定义求函数在一点处的导数。（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。（4）掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法。（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数。（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。（二）中值定理及导数的应用（1）了解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义；会用罗尔定理证明方程根的存在性；会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。（2）熟练掌握利用洛必达法则求各种未定型极限的方法。（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。（4）理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最大（小）值的方法，并且会解简单的应用问题。（5）会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。（6）会求曲线的斜渐近线与垂直渐近线；会作简单函数的图形三三、一一元元函函数数积积分分学学（一）不定积分4（1）理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理。（2）熟练掌握不定积分的基本公式。（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。（5）会求简单有理函数的不定积分。（二）定积分（1）理解定积分的概念与几何意义；掌握定积分的基本性质。（2）理解变上限积分的概念，掌握对变上限积分求导数的方法。（3）掌握牛顿 莱布尼茨公式；掌握定积分的换元积分法与分部积分法。（4）理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。（5）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积；会用定积分求平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积；会用定积分求沿直线运动时变力所作的功。四四、向向量量代代数数与与空空间间解解析析几几何何（一）向量代数（1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法；会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。（2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。（3）掌握二向量平行、垂直的条件。5（二）平面与直线（1）会求平面的点法式方程、一般式方程；会判定两平面的垂直、平行。（2）会求点到平面的距离。（3）了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程；会判定两直线平行、垂直。（4）会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。（三）简单的二次曲面了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。五五、多多元元函函数数微微积积分分（一）多元函数微分学（1）了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念（对计算不作要求）；会求二元函数的定义域。（2）理解偏导数概念，了解全微分概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。（3）掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法；掌握复合函数一阶偏导数的计算方法。（4）会求二元函数的全微分。（5）掌握由方程 F（x，y，z）=0 所确定的隐函数 z=z（x，y）的一阶偏导数的计算方法。（6）会求二元函数的无条件极值。6（二）重积分（1）理解二重积分的概念及其性质。（2）掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。（3）会用二重积分解决简单的应用问题（限于空间封闭曲面所围成的有界区域的体积、平面薄板质量） 。（4）了解三重积分的概念及其计算方法。（三）曲线积分与曲面积分（1）了解曲线积分、曲面积分的概念及其性质。（2）掌握曲线积分、曲面积分的计算方法。（3）了解格林公式及其应用。六六、无无穷穷级级数数（一）数项级数（1）理解级数收敛、发散的概念；掌握级数收敛的必要条件；了解级数的基本性质。（2）掌握正项级数的比值判别法；会用正项级数的比较判别法。（3）掌握几何级数、调和级数及P 级数的敛散性。（4）了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。（二）幂级数（1）了解幂级数的概念。（2）了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分） 。（3）掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法。7七七、常常微微分分方方程程（一）一阶微分方程（1）理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。（2）掌握可分离变量微分方程的解法。（3）掌握一阶线性微分方程的解法。（二）二阶线性微分方程（1）了解二阶线性微分方程解的结构。（2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。（3）掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。. .试试卷卷结结构构试卷总分： 100 分考试时间： 120 分钟试卷内容比例：函数、极限和连续 约 20%一元函数微分学 约 30%一元函数积分学 约 20%多元函数微积分（含向量代数与空间解析几何） 约 20%无穷级数、常微分方程 约 10%试卷题型比例：选择题 约 15%填空题 约 25%8计算题 约 40%应用题 约 10%综合题 约 10%试题难易比例：容易题 约 40%中等难度题 约 50%较难题 约 10% . .主主要要参参考考书书：高等数学 (第 2 版) （上、下册）上海交大数学系编著，上海交通大学出版社。