考研数学高等数学讲义（基础班）.doc

新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学20102010 考研基础班高等数学考研基础班高等数学主讲：主讲：汪诚义汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材欢迎使用新东方在线电子教材考研基础班高等数学讲义考研基础班高等数学讲义目录：第一章 函数、极限、连续 第二章 一元函数微分学第三章 一元函数积分学第四章 常微分方程第五章 多元函数微分学第六章 二重积分第一章第一章 函数、极限、连续函数、极限、连续§1.1 函数（甲）内容要点一、函数的概念新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学1.函数的定义设 D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规划 f，对每一个，都能对应惟一的一个实数 y，则这个对应规划 f 称为定义在 DxD上的一个函数，记以 y=f(x)，称 x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集|( ),Zy yf x xD称为函数的值域。2.分段函数如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。例如211xxyf xxx xx 是一个分段函数，它有两个分段点，x1 和 x1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数 y=f(x)在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。3.隐函数形如 y=f(x)有函数称为显函数，由方程 F（x，y）=0 确定的 yy(x)称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学4.反函数如果 y=f (x)可以解出是一个函数（单值），则称它为 f(x)的( )xy反函数，记以。有时也用表示。1( )xfy1( )yfx二、基本初等函数1.常值函数 yC（常数）2.幂函数 （ 常数）yx3.指数函数 （a0，a1 常数）xya（e2.7182，无理数）xye4.对数函数 （a0，a1 常数）logayx常用对数 10loglgyxx自然对数 loglneyxx5.三角函数 sin ;cos ;tan .yx yx yxcot ;sec ;csc .yx yx yx6.反三角函数 arcsin ;cos ;yx yarcxarctan ;cot .yx yarcx基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。例如以后经常会用；等等，就lim arctan xx lim arctan xx 10limx xe10limx xe0lim ln xx需要对，的图像很清晰。arctanyxxyelnyx三、复合函数与初等函数1.复合函数设 定义域 U( )yf u定义域 X，值域 U*( )ug x新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学如果，则是定义在 X 上的一个复合函数，其中 u*UU ( )yf g x称为中间变量。2.初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。四、函数的几种性质1.有界性：设函数 y=f(x)在 X 内有定义，若存在正数 M，使都有，则称 f(x)在 X 上是有界的。xX( )f xM2. 奇偶性：设区间关于原点对称，若对，都有XxX，则称在上是奇函数；若对，都有 fxf x f xXxX，则称在上是偶函数。奇函数的图像关于原点对称； fxf x f xX偶函数图像关于 轴对称。y3. 单调性：设在上有定义，若对任意 f xX都有，则称在上1212xXxXxx， 12f xf x 12f xf x f xX是单调增加的；若对任意都有单调减少的1212xXxXxx，则称在上是单调不减。 1212f xf xf xf x f xX单调不增的话，f（x）是单调增加的；的话，f（x）是单调0)('xf0)('xf减少的。（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。 ）4. 周期性：设在上有定义，如果存在常数，使得任意 f xX0T 新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学，都有，则称是周期函数，称 为xXxTX f xTf x f xT的周期。 f x由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中的最小正周期称为周期。例子：)0(sin)(xxf这个函数一定是周期函数。2T)0(cos)(xxf这个函数一定是周期函数。2T（乙）典型例题一、求函数的定义域【例 1】 求函数的定义域。 2lnlnln100f xxx解 要有定义，lnlnln xxe要有定义，2100x210010xx，因此，的定义域为 f x10e，【例 2】 求的定义域。1 ln5yxxx解 要有定义，和xx1x 0x 要有定义，1 ln5x546xxx，因此，定义域为 0144 55 66 ，【例 3】 设的定义域为，求的定义域。 f x0aaa，21f x 解 要求，则，21axa 211axa 新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学当时，则1a 10a21xa 1xa当时，01a10a11axa也即或11axa11axa 【例 4】 设 求的定义域，并 1022 24xg xx， 21f xgxg x求.3 2f解 的定义域为，要求，则；要求 g x0 4，024x02x，则，于是的定义域为。014x 15x f x21，又 3132 1322fgg 二、求函数的值域【例 1】 求的值域。3311xey解 我们先求出反函数，它的定义域就是原来函数的值域。3 33311ln,1,ln1yxyx 它的定义域，且, 1ln1 33yx0y 1y 所以原来函数的值域为。(0,1)(1,)三、求复合函数有关表达式1.已知 f(x)和 g(x)，求 fg(x).【例 1】 已知，求.( )1xf xx1 ( ) 1ff x 解 ， （）1( ) 1111xf xxx 11( ) 1xf x1x 新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学于是， （）111(1)( ) 1(1) 12xxff xf xxx1,2xx【例 2】 设，求.n 重复合2( ) 1xf x x ( )( )nfff xfx解 ，222222( )( )( )1111( )12f xxxxfxff xxxfxx若，则2( ) 1kxfx kx 21222( )( )1111( )k kkfxxxfxkxkxfx21 (1)xkx根据数学归纳法可知，对正整数 n，2( ) 1nxfx nx 2.已知 g (x)和 f g (x)，求 f (x).【例 1】 设，求 f (x).2(1)xxxf eeex解 令，1xeu ln(1)xu22( )(1)(1)ln(1)ln(1)f uuuuuuu于是 2( )ln(1)f xxxx【例 2】 已知，且，求 f(x).()xxfexe(1)0f解 令，因此，,lnxet xtln()( )xtfef tt22 11ln11( )(1)lnln22xxtf xfdttxt，(1)0f21( )ln2f xx四、有关四种性质【例 1】 设，则下列结论正确的是（ ）.( )( )F xf x（A）若 f (x)为奇函数，则 F (x)为偶函数新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学（B）若 f (x)为偶函数，则 F (x)为奇函数（C）若 f (x)为周期函数，则 F (x)为周期函数（D）若 f (x)为单调函数，则 F (x)为单调函数解 (B)不成立，反例3 2( ),( )13xf xxF x(C)不成立，反例( )cos1,( )sinf xxF xxx(D)不成立，反例2( )2 ,( )(,)f xx F xx 在内(A)成立。证明 为奇函数， 0( )(0)( ),xF xFf t dt f00()(0)( )(0)() ()xxFxFf t dtFfu du为偶函数。 0(0)( )( )xFf u duF x( )F x【例 2】 求1521()ln(1).xxIx xeexxdx解是奇函数， 1( )xxf xee是奇函数，2 112()( ),( )ln(1)xxfxeef xfxxx 1) 1(ln)1ln()(222 2 2 xxxxxxxf2 2ln1 ln(1)( )xxfx 因此是奇函数。2()ln(1)xxx eexx于是。1166102027Ix dxx dx 【例 3】 两个周期函数之和是否仍是周期函数？解 不一定（1）( )sincos23xxf x 周期为 41( )sin2xf x 新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学周期为 62( )os3xfxc4 和 6 的最小公倍数为 12是以 12 为周期的函数( )f x（2）( )sin2cosf xxx周期为 1( )sin2f xx周期为 22( )osfxcx 和 2 没有最小公倍数不是周期函数( )f x（3）( )sin2(1 sin2 )f xxx周期为 1( )sin2f xx周期为 2( )1 sin2fxx 虽然，不但都是周期函数，而且它们的周期有最1( )f x2( )fx小公倍数。但是，却不是周期函数。 （因为没有最小12( )( )( )1f xf xfx正周期。 ）【例 4】 设，是恒大于零的可导函数，且( )f x( )g x，则当时，下列结论成立的是（ ）( ) ( )( )( )0fx g xf x g xaxb(A) (B)( ) ( )( ) ( )f x g bf b g x( ) ( )( ) ( )f x g af a g x(C) (D)( ) ( )( ) ( )f x g xf b g b( ) ( )( ) ( )f x g xf a g a解 ，单调减少2( )1( ) ( )( )( )0( )( )f xfx g xf x g xg xgx( ) ( )f x g x于是 xN 时，就有.0nxA（2）lim( ) nf xA 任给，存在正整数 X，当 x>X 时，就有.0( )f xA（3）lim( ) nf xA 任给，存在正整数 X，当 x>X 时，就有.0( )f xA（4）lim( ) nf xA 任给，存在正整数 X，当|x|>X 时，就有.0( )f xA（5） 0lim xxf xA 任给，存在正数 ，当时，就有。000xx f xA（6）（用表示） 0lim xxf xA 00f x 任给，存在正数 ，当时，就有000xx f xA（7）（用表示） 0lim xxf xA 00f x 任給，存在正数 ，当时，就有。000xx f xA其中称为在处右极限值，称为在00f x f x0x00f x f x处左极限值。0x有时我们用表示上述六类函数的极限，它具有的性质， lim f xA新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学上述六类函数极限皆具有这种性质。有时我们把，即数列极 nxf n限也看作这种抽象的变量的极限的特例，以便于讨论。2. 极限的基本性质定理 1 （极限的惟一性）设，則。 lim f xA lim f xBAB定理 2 （极限的不等式性质）设， lim f xA limg xB若 变化一定以后，总有，则x f xg xAB反之，则 变化一定以后，有ABx f xg x（注：当情形也称为极限的保号性） 00g xB，定理 3 （极限的局部有界性）设，则当 变化一 lim f xAx定以后，有界的。 f x定理 4 设， lim f xA limg xB则 （1） lim f xg xAB（2） lim f xg xAB（3） lim f x g xA B:（4） limf xA g xB0B （5） limg xBf xA0A 二、无穷小量1. 无穷小量定义：若，则称为无穷小量 lim0f x f x（注：无穷小量与 的变化过程有关，当时为无x1lim0 xxx 1 x穷小量，而或其他时，不是无穷小量）0xx1 x2. 无穷大量定义：任給，当 变化一定以后，总有，0M x f xM新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学则称为无穷大量，记。 f x lim f x 3. 无穷小量与无穷大量的关系：在 的同一个变化过程中，若x为无穷大量，则为无穷小量，若为无穷小量且， f x 1 f x f x 0f x 则为无穷大量。 1 f x4. 无穷小量与极限的关系其中 lim f xAf xAa x lim0a x 5. 两个无穷小量的比较设，且 lim0 lim0f xg x， f xlg x(1)，称是比高阶的无穷小量，记以0l f x g x f xo g x称是比低阶的无穷小量， g x f x(2) ，称与是同阶无穷小量。0l f x g x(3)，称与是等价无穷小量，记以1l f x g x f xg x:6. 常见的等价无穷小量 当时0x sintanarcsinarctanxxxxxxxx:，（ 为实常数）。211 cos1ln 1112axxxexxxxax:，a7. 无穷小量的重要性质有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。三、求极限的方法1. 利用极限的四则运算和幂指数运算法则2. 两个准则准则 1 单调有界数列极限一定存在。新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学（1）若（ 为正整数），又（ 为正整数）1nnxxnnxmn则存在且limnnxA Am（2）若（ 为正整数），又（ 为正整数）1nnxxnnxmn则存在且limnnxA Am准则 2 （夹逼定理）设 g xf xh x若，则 limlimg xAh xA， lim f xA3. 两个重要公式公式 1 0sinlim1 xx x公式 2 ；1lim 1nnen1lim 1uueu10lim 1vvve 4. 用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换5. 用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻）当时0x 2 12!n xnxxexo xn 3521 21sin13!5!21 !nnnxxxxxo xn 242 2cos112!4!2!nnnxxxxo xn 231ln 1123nnnxxxxxo xn 3521 21arctan13521nnnxxxxxo xn （为 2111112!nnnxxxxo xn 实常数）6.洛必达法则新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学法则 1 设（1），0 0型 lim0f x lim0g x （2） 变化过程中，皆存在x fx gx（3） （或） limfxAgx则 （或） limf xAg x(注：如果不存在且不是无穷大量情形，则不能得出 limfx gx 不存在且不是无穷大量情形) limf x g x法则 2 设（1），型 lim f x limg x （2） 变化过程中，皆存在x fx gx（3） （或） limfxAgx则 （或） limf xAg x例子：xxxxxxln11lnlimlim 00) 1(1)111(limlim 00xxxx xexxe ex例子：0)()(30)(0)(2)(e)(10)(ln)()()(ln)()( xgxfxgxfxgxfxfeexfxgxfxxgxg，）（，）（，）（再解决 新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学7.利用导数定义求极限基本公式： 00 00lim xf xxf xfxx 如果存在8.利用定积分定义求极限基本公式： 111lim0nnkkff x dxnn如果存在9.其他综合方法10.求极限的反问题有关方法（乙）典型例题一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限【例 1】 设，求n0 b0ma ，1 110 1 110limmm mm nnxnna xaxa xa b xbxb xb 解 1 110 1 110limmm mm nnxnna xaxa xa b xbxb xb 11 11011 110limm nmm mmnnxnnxaaxa xa xbbxb xb x 0mnmn amnbmn 当时 当时当时【例 2】 设，求.0a 1r 1lim()nnaarar解 11lim()lim11n nnnraaarararr特例：（1）求23 12222lim( 1)3333n nn 解 例 2 中取，可知原式2 3a 2 3r 2 23 2513 新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学（2）1112422lim33111233nnn 【例 3】 求.1132lim23nnnnn 解 分子、分母用 3n除之，原式233lim 2213nnn 313（注：主要用当时，）1r lim0nnr 【例 4】 设 l 是正整数，求.11lim()nnkk kl解 11 11 ()k kllkkl11111111()21nkk klllnnl因此 原式11112ll特例：（1） （l1）11lim1(1)nnkk k（2） （l2）11113lim1(2)224nnkk k【例 6】 设 d0 为常数，求.222111 (1)lim ndnd nnn解 原式2) 1(1 121lim2ddnn nn 特例： (1)d 222121lim2nn nnn新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学(2)d 2221321lim1 nn nnn【例 7】 求下列各极限（1） （2） 011lim xxx x33011lim xxx x解 （1）解一 原式 0112lim1211xxxxxx 解二 原式 01111 lim xxxx01 22lim1 xxxx 等价无穷小量代换解三 用洛必达法则 1原式 0112 12 1lim11xxx（2）解一 原式 2203333112lim31111xxxxxxxx解二 类似（1）中解二用等价无穷小量代换解三 类似（1）中解三用洛必达法则【例 8】 求下列极限（1）设，1r 22lim(1)(1)(1)nnrrr （2）222111lim 11123nn解 （1）分子分母都乘 1-r，则原式1211lim11nnr rr（2）原式111111lim 1111112233nnn新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学21 21lim11 34 32 23 21limnn nn nnnn二、用两个重要公式【例 1】 求。limcoscoscos242nnxxx解 当 x=0 时，原式=1当 x0 时，原式=2 sincoscoscos2242lim 2 sin2n nnnn nxxxxxxx xxxx xxxxxxxnnnnnnnnnnnnsin2sin2sinlim2sin2sinlim2sin22sin2cos4cos2cos2 lim1112lim1 sin2nnnxx 【例 2】 求下列极限（1） （2）102lim 1xxx101lim1xxx x解 （1）2(10)10222lim 1lim 1xxxxnxxx 102 1222lim1xxxex 新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学（2）解一 111( 1)1 200 100lim 1lim 1 ()1lim1lim 1xxxxxx x xxxxeexeex :解二 1211 2120001122limlimlim 1111x xxxxxxxxxxxexxx【例 3】 求下列极限（1） （2）cot0lim(1tan )xxx 4 11limxxx（3）2cot0lim(cos )xxx 解 （1）令 则，当时tan xt1cot xt0x 0t 于是 1 cot00lim(1tan )lim(1)xtxtxte （2）令则，当时，1xt 1xt 1x 0t 于是 444141100limlim(1)lim1xtt xttxtte（3）22222cos1cos cot222sin2sin 000lim(cos )lim(1 sin)lim 1 ( sin)xx xxx xxxxxx :1 2e三、用夹逼定理求极限【例 1】 求.)212 65 43 21(limnnn解 令，nnxn212 65 43 21,122 54 32 nnyn则 001 cosxxxf xxxx 解 00sin2sin2(00)limlim 222xxxxfxx22002(00)limlim211 cos 2xxxxfxx 0lim( )2 xf x 【例 2】 求.1402sinlim 1xx xex xe解 1402sinlim2 11()1xxxex xe 43402sinlim0 11 1xxxxeex xe 1402sinlim1 1xx xex xe十一、求极限的反问题【例 1】 设，求 a 和 b.221lim3sin(1)xxaxb x解 由题设可知，1+a+b=021lim()0 xxaxb 再对极限用洛必达法则新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学2221122limlim3sin(1)2 cos(1)2xxxaxbxaa xxx4,5ab 【例 2】 设，求 a 和 b.2001lim1sinxxtdtbxxat解 把极限用洛必达法则原式左边，如果，则极限值为 0，今极限为 1，20limcosxxax bx 1b 则1b 因此原式左边axaxx xaxx22limcos11lim 020由，得出 a=4.21a§1.3 连续(甲)内容要点一、函数连续的概念1.函数在点处连续0x定义 1 设函数在点的某个邻域内有定义，如果当自变 yf x0x量的改变量（初值为）趋近于 0 时，相应的函数改变量也趋近x0xy于 0，即0lim0 xy 或 000lim0 xf xxf x 新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学则称函数在点处连续。 yf x0x函数在点处连续也可作如下定义。 yf x0x定义 2 设函数在点的某个邻域内有定义，如果当 yf x0x时，函数的极限值存在，且等于处的函数值，即0xx f x0x 0f x 00lim xxf xf x 则称函数在点处连续，此时有 yf x0x 000limlim xxxxf xf xf x 并且有 000limlim xxxxf xf xfx 即如果函数在点处连续，则在点处可以交换极限号和函数号0x0x的顺序。定义 3 设函数，如果，则函数在点 yf x 00lim xxf xf x f x处左连续；如果，则称函数在点处右连续。0x 00lim xxf xf x f x0x由上述定义 2 可知，如果函数在点处连续，则在 yf x0x f x处既左连续也右连续。0x2.函数在区间内（上）连续的定义如果函数在开区间内的每一点都连续，则称 yf xab，在内连续。 f xab，如果在开区间内连续，在区间端点 右连续，在区间端点 yf xa左连续，则称在闭区间上连续。b f xab，二、函数的间断点及其分类1. 函数的间断点的定义如果函数在点不连续，则称为的间断点。 yf x0x0x f x新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学2.函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设是函数的间断点，如果在间断点处的左、右极0x yf x f x0x限都存在，则称是的第一类间断点。0x f x第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。例如是的可去间断点，是的跳跃间断点，0x sin xf xx xf xx是的无穷间断点，是的振荡间断点。 1f xx 1sinf xx三、初等函数的连续性1在区间 连续的函数的和、差、积及商(分母不为零)，在区间I仍是连续的。I2由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。3在区间 连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单I调。4基本初等函数在它的定义域内是连续的。5初等函数在它的定义区间内是连续的。四、闭区间上连续函数的性质新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学在闭区间上连续的函数，有以下几个基本性质，这些ab， f x性质以后都要用到。定理 1 （有界定理）如果函数在闭区间上连续，则 f xab，必在上有界。 f xab，定理 2 （最大值和最小值定理）如果函数在闭区间上 f xab，连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。Mm其中最大值和最小值的定义如下：Mm定义 设是区间上某点处的函数值，如果对 0f xMab，0x于区间上的任一点 ，总有，则称为函数在ab，x f xMM f x上的最大值，同样可以定义最小值。ab，m定理 3 （介值定理）如果函数在闭区间上连续，且其 f xab，最大值和最小值分别为和，则对于介于和之间的任何实数，MmmMC在上至少存在一个 ，使得ab， fC推论 如果函数在闭区间上连续，且与异号， f xab， f a f b则在内至少存在一个点 ，使得ab， 0f这个推论也称为零点定理。口诀 11：函数为零要认证，界值定理定乾坤。思考题：什么情况下能保证推论中的 是惟一的？(乙)典型例题一、讨论函数的连续性新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学由于初等函数在它的定义区间内总是连续的，所以，函数的连续性讨论多是指分段函数在分段点处的连续性。对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。【例 1】 讨论函数 10 00 1sin0xex f xxxxx 在点处的连续性。0x 解 因 10000limlim0xxxff xe 00100limlimsin0 xxff xxx 00f即有，故在点连续. 00000fff f x0x 【例 2】 讨论函数在点的连续性.0110210)1ln()(xxxxxxxxf0x 解 100ln(1)00limlim ln(1)1xxxxfxx 00111100limlim211xxxfxx因，因而不存在，故在点不连0000ff 0lim xf x f x0x 续。新东方在线 www.koolearn.com 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学二、已知函数的连续性求未知参数【例 1】 设在处连续，求常数 k. 00sin )( kxxxx xf0x=解 00sinlimlim1 xxxf xx，由连续性可知 0fk1k 【例 2】如果函数，在处连续， 01sin00sin1)(qxxxpxxxx xf 0x=求常数 p 和 q.解 001limlimsin1,(0) xxf xxfpx由在处连续性可知 f