讲义平面向量与三角形四心的交汇.docx
讲义平面向量与三角形四心的交汇 讲义-平面对量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的随意点到角两边的距离相等； （4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）OA+OB+OC=0ÛO是DABC的重心.证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) x1+x2+x3ìx=ïì(x1-x)+(x2-x)+(x3-x)=0ï3Ûí ÛOOA+OB+OC=0Ûíy+y+y23î(y1-y)+(y2-y)+(y3-y)=0ïy=1ï3î是DABC的重心.证法2：如图 AQOA+OB+OC =OA+2OD=0 AO=2OD A、O、D三点共线，且O分AD 为2：1 OEO是DABC的重心 （2）OA×OB=OB×OC证明：如图所示O是三角形 BDC=OC×OAÛO为DABC的垂心. ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.OA×OB=OB×OCÛOB(OA-OC)=OB×CA=0 AÛOBAC E同理OABC，OCAB BOÛO为DABC的垂心 （3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是DABC的内心 aOA+bOB+cOC=0ÛO为DABC的内心.ABAC、分别为AB、AC方向上的单位向量， cbABAC+平分ÐBAC, cbABACbc+)，令l= AO=l(a+b+ccb证明：QDCAO=ABACbc+（) a+b+ccb化简得(a+b+c)OA+bAB+cAC=0 aOA+bOB+cOC=0 （4）OA=OB=OCÛO为DABC的外心。 三、典型例题： 例1：O是平面上肯定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满意OP=OA+l(AB+AC)，lÎ0,+¥) ，则点P的轨迹肯定通过DABC的（ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 例2：（03全国理4）O是平面上肯定点， A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满意OP=OA+l(ABAB+ACAC)，lÎ0,+¥) ，则点P的轨迹肯定通过DABC的（ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 例3：1)O是平面上肯定点， A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满意OP=OA+l(ABABcoBs+ACACcoCs)，lÎ0,+¥) ，则点P的轨迹肯定通过DABC的（ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 2)已知O是平面上的肯定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满意uuuruuuruuuruuurABACrrOP=OA+l(uuu+uuu),lÎ0,+¥), 则动点P的轨迹肯定通过ABC的( ) |AB|sinB|AC|sinCA.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 3)已知O是平面上的肯定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满意uuuruuuruuuruuuruuurOB+OCABACrrOP=+l(uuu+uuu), lÎ0,+¥), 则动点P的轨迹肯定通过ABC的( ) 2|AB|cosB|AC|cosCA.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 uuuruuuruuuruuuruuuruuurruuuruuuruuur例 4、已知向量OP12P31,OP2,OP3满意条件OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1，求证：PP是正三角形 uuuruuuruuuruuurDABC例 5、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = OH=m(OA+OB+OC)， 例 6、点 ） O是三角形ABC uuuruuuruuuruuuruuuruuur所在平面内的一点，满意OAgOB=OBgOC=OCgOA，则点 O是DABC的（ A三个内角的角平分线的交点 C三条中线的交点 B三条边的垂直平分线的交点 D三条高的交点 例7 在ABC内求一点P，使 AP2+BP2+CP2最小 uuur2uuur2uuur2uuur2uuur2uuur2例8已知O为ABC所在平面内一点，满意|OA|+|BC|=|OB|+|CA|=|OC|+|AB|，则O为ABC的 心 uuuruuuruuuruuuruuuruuur例9.已知O是ABC所在平面上的一点，若OA×OB=OB×OC=OC×OA，则O点是ABC的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 uuur2uuur2uuur2uuur2uuur2uuur2例10 已知O为ABC所在平面内一点，满意|OA|+|BC|=|OB|+|CA|=|OC|+|AB|，则O点是ABC的( ) A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur例11已知O是ABC所在平面上的一点，若(OA+OB)×AB=(OB+OC)×BC=(OC+OA)×CA= 0，则O点是ABC的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 uuuruuuruuur例12：已知O是ABC所在平面上的一点，若aOA+bOB+cOC= 0，则O点是ABC的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 uuuruuuruuuruuuraPA+bPB+cPC例13：已知O是ABC所在平面上的一点，若PO=(其中P是ABC所在平面内随意一点)， a+b+c则O点是ABC的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 四、配套练习： 1已知DABC三个顶点A、B、C及平面内一点 P，满意 PA+PB+PC=0，若实数l满意：AB+AC=lAP，则l的值为（ ） A2 B32 C3 D6 3 2若DABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OA+OB+OCA =0，则OA×OB=( ) 12 B0 C1 D-1 23点O在DABC内部且满意OA+2OB+2OC=0，则DABC面积与凹四边形A0 B ABOC面积之比是（ ） 32 C 54 D 43 是DABC的（ ） 4DABC的外接圆的圆心为O，若OH=OA+OB+OC，则HA外心 B内心 C重心 D垂心 5O是平面上肯定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OA+BC=OB222 +CA=OC+AB222，则O是DABC的（ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 6DABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH则实数m = 17（06陕西）已知非零向量与满意(+)=0且= , 则ABC为( ) 2A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形 8已知DABC三个顶点 =m(OA+OB+OC)， A、B、C，若AB=AB×AC+AB×CB+BC×CA，则DABC为（ ） 2A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形 uuuruuuruuuruuur9.已知O是平面上肯定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满意OP=OA+l(AB+AC), lÎ0,+¥).则P点的轨迹肯定通过ABC的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 uuuruuuruuur10.已知O是ABC所在平面上的一点，若OA+OB+OC= 0, 则O点是ABC的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 uuur1uuuruuuruuur11.已知O是ABC所在平面上的一点，若PO=(PA+PB+PC)(其中P为平面上随意一点), 则O点是ABC 3的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 讲义平面对量与三角形四心的交汇 平面对量中的三角形四心问题（定稿） 三角形四心的向量表示 向量与三角形的重心 向量中的三角形心的问题 三角形的四心的向量表示举荐 向量与三角形内心、外心、重心、垂心学问的交汇 中学数学：关于三角形的“四心”与平面对量的结合教案 苏教版必修5 三角形 与三角形有关的角 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第9页 共9页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页
