第5讲 矩形大法（解析版）.docx
第 5 讲 矩形大法一选择题 (共 6 小题)1 已知 | a | | | 2 ， | c | 1 ， (a c) ( c) 0 ，则 | a | 的取值范围是 ( )A 1 ， 1 B , C 1, 1 D , 【解析】解：如图所示，设 a ， ， c ，点 C 在圆 x2 y2 1上，点 A ， B 在圆 x2 y2 4 上，则 a c ， c ，因此 CA CB ，即点 C 在以 AB 为直径的圆M 上由于点 C 同时在圆 x2 y2 1上，故两圆有公共点设圆M 的半径为 r ，则有 | r 1 | | OM | r 1 ，由于M为 AB 的中点，所以 OM AB ，故| OM | ，解得： r ，又| a | | | 2r ，故有 | a | 1 ， 1 故选： C 2已知向量 a, , c 满足：| a | 1, (a c) ( c), a (a 2) ，若 | |n ，则 m n 等于 ( )372，| c| 的最大值和最小值分别为m ， A B C D 【解析】解： 由| a | 1, a (a 2) ， a (a 2) a2 2a 0 ，即 1 2a 0 ， a ，设 a (1, 0), (x1 , y1 ) ，则 a x1 ，且| | y12 ， y1 3 ，不妨取 ( ， 3) 设 c (x, y) ，则 a c (1 x , y ) ， c ( x ， 3 y) ，由题意 (a c) ( c) 0 ，(1 x)( x) y(3 y) 0 ，化简得， x2 y2 x 3y 0 ，即 (x )2 (y )2 则点 (x, y) 表示圆心在 ( ， ) ，半径为 的圆上的点，如图所示，4 4则|c | 的最大值为 m | OC | r 3 ，最小值为 n | OC | r m n 故选： D 3 在 ABC 中， C 90 ， | AB | 6 ，点 P 满足 | CP | 2 ，则PA PB 的最大值为 ( ) A 9 B 16 C 18 D 25【解析】解： C 90 ， | AB | 6 ， 0 ， | CA CB | CA CB | AB | 6 ， ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 4 ， 当 与 方向相同时， PC (CA CB) 取得最大值 2 6 12 ， PA PB 的最大值为 16故选： B 4 已知a, 为单位向量，且 a ，向量c 满足|c a | 3 ，则 |c | 的取值范围为 ( )A 1, 1 B 2 , 2 C , 2 D 3 , 3 【解析】解：根据题意，设 (a c) 与 (a ) 的夹角为 ，又由a, 为单位向量，且 a ，即 a 0 ，则| a |2 a2 2a 2 2 ，即| a | ，则 c (a c) (a ) ，则有 | c |2 (a c) (a )2 ( a c)2 2( a c) ( a ) (a )2 11 6 cos ， 则有11 6 | c |2 11 6 ，即3 | c | 3 ，即|c | 的取值范围为3 ， 3 ；故选： D 5 已知a ， 为单位向量，且 a ，向量c 满足|c a | 2 ，则|c | 的范围为 ( )A 1 ， 1 B 2 ， 2 C , 2 D 3 2 ， 3 2 【解析】解： 由 a ， 是单位向量， a 0 ，可设 a (1, 0) ， (0, 1) ， c (x, y) ，由向量c 满足 |c a | 2 ，| (x 1, y 1) | 2 ， (x 1)2 (y 1)2 2 ，即 (x 1)2 (y 1)2 4 ，其圆心 C(1, 1) ，半径 r 2 ，| OC | 2 | c | 2 故选： B 6 已知向量 a, , c ，满足 | a | 2 ， | | a 3 ，若 (c 2a) (c ) 0 ，则 | c | 的最小值是 ( )A 2 B 2 C 1 D 2【解析】解：根据条件，设 a (1, ), (3, 0) ，设 c (x, y) ，则：(c 2a) (c ) (x 2, y 2 ) (x 2, y) 0 ； (x 2)2 (y )2 3 ； c 的终点在以 (2, ) 为圆心， 为半径的圆上，如图所示：| c | 的最小值为： 2 故选： A 二填空题 (共 1 小题)7 已知| a | | | 1 ，向量c 满足| c (a ) | | a | ，则| c | 的最大值为 2 【解析】解：设 a ， ， c ，如图：c 的终点D 的几何意义是以a 的终点 A 为圆心， | a | 为半径的圆，则 |c | 的最大值为|a | |a | ， a2 b2 2ab ， 2(a2 b2 )a2 2ab b2 (a b)2 ，则 a b ， 则| a | | a | 2( |2 | a |2 ) 2(a2 2a 2 a2 2a 2 ) 4(| a |2 | |2 ) 2 ， 当且仅当 |a | | a | ，即 a 时取等号，即|c | 的最大值为 2 ，方法 2 :| c | | a | | c (a ) | | a | ，即| c | | a | | a | ，则| c |2 (| a | | a |)2 (| a |2 | a |2 2 | a | a | 2 | a |2 2 | |2 | (| a |2 | a |)2 4 | a |2 4 | |2 4 4 8 ， 即| c | 2 故答案为： 2
