专题01 函数与导数之构造函数（解析版）.doc

专题01 构造函数一、 考情分析函数与导数是高考必考的知识点，考试形式有选择题也有填空题，并且都以压轴题为主。题目难度都偏大，对学生的思维能力考查都要求比较高。构造函数，是我们高中数学处理和研究函数与导数的一种有效方法，通过分离变量和参数，构造新的函数去研究其新函数的单调性，极值点，从而使问题得到解决。二、 经验分享（常见函数构造类型）（1）.常见函数的变形1. 对于不等式，构造函数.2. 对于不等式，构造函数3. 对于不等式，构造函数4. 对于不等式，构造函数5. 对于不等式，构造函数6. 对于不等式，构造函数7. 对于不等式，构造函数8. 对于不等式，构造函数（2）.双变量函数的变形1.形如的函数，构造函数，令，求；2.对于,形如 的函数，要结合图像构造函数的切线方程，求斜率；3.形如或的函数不等式，（1）.可以构造函数，然后求的最大值和最小值；（2）.如果，我们也可以构造函数，求的最值 .三、题型分析(一) 与圆锥曲线（双参数）有关的构造函数例1.【四川省成都市2020届高三第一次诊断性考试，理科，12】设椭圆的左右顶点为A,B.P是椭圆上不同于A,B的一点，设直线AP,BP的斜率分别为m,n，则当取得最小值时，椭圆C的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，点P在双曲线上，得，所以，化简原式所以设，构造函数，求导可以得到： 时，函数取得最小值=，。【点评】（1）椭圆上关于原点对称的两点另一个动点，则；（2）双曲线上关于原点对称的两点另一个动点，则【变式训练1】已知函数，则，的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】由已知得：函数表示的是焦点在y轴上的双曲线的上支，渐近线方程为，故此函数上任意两点的连线的斜率范围在上，所以，【变式训练2】已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是 . 【答案】【解析】由题意得：恒成立，恒成立令，易得，所以，所以【变式训练3】设实数，满足则代数式（ ）A.有最大值 B.有最小值 C有最大值1 D.有最大值【答案】B【解析】：由已知得：代数式，设，原代数式，两边同时除以，故，设，原代数式，当，最大值为；当,最大值为(二) 与函数基本性质有关的构造函数例2.【四川省资阳市2020届高三第一次诊断性考试，文科，12】定义在R上的可导函数满足，记的导函数为，当时恒有若，则m的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】构造函数，所以构造函数，所以对称轴为，所以，是增函数；是减函数。，解得：【点睛】压轴题，考查导数与函数，涉及到构造函数以及对称轴的性质。难度比较大。【变式训练1】 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为为偶函数，所以，构造函数，所以函数是R上的减函数.根据题意：，因为所以，解之得，.【变式训练2】（2015新课标）设函数是奇函数的导函数，当时，则使得f (x)0成立的的取值范围是（ ）A BC D【答案】A【解析】令，因为为奇函数，所以为偶函数，由于，当时， ，所以在上单调递减，根据对称性在上单调递增，又，数形结合可知，使得成立的的取值范围是【变式训练3】已知函数满足：，则时，（ ）A. 有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值C.既有极大值，又有极小值 D.无极大值，也无极小值【答案】D【解析】由题意得：整理所以，构造函数，则，再次构造函数,令，所以，所以最大值，所以恒成立所以单减，既没有极大值也没有极大值小值。(三) 与分离常数法有关（压轴大题）的构造函数例3.已知函数(1) 试讨论的导函数的零点个数；(2) 若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数a的取值范围【解析】（1）(方法一)由题意得：定义域为（）， 所以， .当时，在单挑递减， 令时，；令时，（说明：在a取得具体数值时，是存在大于0的范围）， 只有一个零点。当时，在单挑递减，没有零点。当时，； 是增函数； 是减函数； 分三中情况：.令，,此时只有一个零点，.令，此时没有零点，令，此时有两个零点，综上所述，当时，此时只有一个零点；当，此时没有零点，此时有两个零点（方法二）由题意得：由题意得：定义域为（）， 所以， .当时，此时导函数没有零点；当时，有几个交点： 令，求导单调递增单调递减画出的图像：结合图像：当即时；只有一个交点，也就是函数只有一个零点；当即时；有两个交点，也就是函数有两个零点；当，即时，有一个交点，也就是函数有一个零点。综上所述：函数的零点个数为（2） 设 所以求导，第二题成立的一个必要条件，当时，所以是单调递减函数，从而在上单调递减；所以实数a的取值范围为【变式训练1】已知函数，其中m，a均为实数设，若对任意的，求a的取值范围.【解析】当时，在恒成立，在上为增函数 设，> 0在恒成立，在上为增函数 设，则等价于，即 设，则u(x)在为减函数在（3，4）上恒成立 恒成立 设，=，xÎ3，4，< 0，为减函数在3，4上的最大值为v(3) = 3 - a3 -，的最小值为3 - 【变式训练1】【2019浙江22】已知实数，设函数 （1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有 求的取值范围.【解析】（）当时，所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）（）由，得当时，等价于令，则设 ，则（i）当 时，则记，则.故10+单调递减极小值单调递增所以， 因此，（ii）当时，令 ，则，故在上单调递增，所以由（i）得所以，因此由（i）（ii）得对任意，即对任意，均有，综上所述，所求a的取值范围是四、迁移应用 1.已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）A B C D【答案】A【解析】：因为函数是偶函数，所以，所以，即函数是周期为4的周期函数.因为，所以.设，所以所以在上是单调递减，不等式等价于即，所以.所以不等式的解集为，故答案选.2.【四川省成都市2020届高三第一次诊断性考试，12】设椭圆的左右顶点为A,B.P是椭圆上不同于A,B的一点，设直线AP,BP的斜率分别为m,n，则当取得最小值时，椭圆C的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，点P在双曲线上，得，所以，化简原式所以设，函数，求导可以得到：时，函数取得最小值=，。3.设函数f（x）在R上存在导数，有，在上，若，则实数m的取值范围为（ ）A B C-3，3 D 【答案】B【解析】令，函数g（x）为奇函数，时，函数g（x）在上为减函数，又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，所以函数g（x）在R上为减函数，即，4. 设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】k为正数，对任意，不等式恒成立，由得，.同理，故选B.5.若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D 【答案】C、【解析】由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递增，且，故，所以，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，选项A,B无法判断，故选C6、 已知函数对任意的满足 (其中是函数 的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，由对任意的满足可得，所以函数在上为增函数，所以，即，所以，故选A7.设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是 （ ）（A）在单调递增 （B）在单调递减 （C）在上有极大值 （D）在上有极小值 【答案】B8.已知函数，若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是（ ） A B C D 【答案】B9.【2015新课标1理12】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）(A)-，1） (B)-，） (C)，） (D)，1） 【答案】D【解析】设=，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，0，当时，0，所以当时，=，当时，=-1，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得1，故选D.10. 曲线与有两条公切线，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】D【解析】设是的切点，是的切点，则直线切线为，即，由题意这两条直线重合，因此，消法得，由题意此方程有两个不等实根，记，则，时，时，因此时，所以，解得故选D11、函数为自然对数的底数）的值域是实数集R，则实数的取值范围是（ )A B C D0，1 【答案】B【解析】要函数为自然对数的底数）的值域是实数集R，则能取遍内所有的数，因为当时，恒有函数的值域是实数集R，故排除C、D.当时，令，则，当，函数为增函数；当，函数为减函数；所以的极小值（最小值）为.故有成立，当时，时，所以排除A,C， 故选B.12.设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是( ) （A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+) （D）(1,+)【答案】A试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即.分别令得又与的交点为，故选A13、若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】C【解析】根据题意，函数与函数在上有公共点，令得：设 则由 得： 当 时，函数在区间 上是减函数，当 时，函数在区间 上是增函数，所以当时，函数在上有最小值所以 ，故选C.14、设点P、Q分别是曲线是自然对数的底数）和直线上的动点，则P、Q 两点间距离的最小值为 【答案】 【解析】 ，令，即，令，显然是增函数，且，即方程只有一解，曲线在处的切线方程为，两平行线和间的距离为.15、已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意得，因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又因为，当且仅当是取等号，所以，故选C16、设函数f（x）=ln（1+|x|），则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围是（ ）A（，1） B（1，+） C（） D【答案】A 因为函数为偶函数，且在时，的导数为，既有函数在单调递增，所以等价于，即，平方得，解得，故选A17、已知函数=，若|，则的取值范围是（ ）A. B. C.-2,1 D.-2,0【答案】D【解析】如图，作出函数的图象，当时，因此当时，不能满足 时，不等式显然成立，当时，记，即在切线斜率为2，因此当时，直线与函数在时有两个交点，不合题意，当时满足题意，所以18、已知定义在R上的可导函数满足，若，则实数的取值范围是_【答案】【解析】令,则,故函数在上单调递减,又由题设可得,故,即,答案为19、若对区间D上的任意都有成立，则称为到在区间D上的“任性函数”，已知 ，若是到在上的“任性函数”，则的取值范围是 【答案】试题分析：由题意，对区间D上的任意都有成立，即对上的任，都有.由，设，因此在上单调递增，由，设，因此在上单调递减，在上单调递增，即是的极小值点，也是最小值点，故. 综上，.20.【2019天津理20】设函数为的导函数.（）求的单调区间；（）当时，证明；（）设为函数在区间内的零点，其中，证明.【解析】 （）由已知，有.因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增.所以，的单调递增区间为的单调递减区间为.（）记.依题意及（），有，从而.当时，故.因此，在区间上单调递减，进而.所以，当时，.（）依题意，即.记，则，且.由及（），得.由（）知，当时，所以在上为减函数，因此.又由（）知，故.所以，.