138道 同构练习题-导数（教师版）.docx

138 道 同构 练习题1.已知函数 f(x) aex Inx(a 0) ，若x (0,1) ， f(x) x2 xIna ，求 a 的取值范围.解析： 由 x2 xIna aex Inx 对x (0,1) 恒成立。 构造 h(x) , x (0,1) ， h(x) 单增，所以： x aex a a max ， 因为 x (0,1) a 2.已知 f(x) ex aInx ，若对任意 x (0,) ，不等式 f(x) aIna 恒成立，求正实数 a 的取值范围.解析： ex aInx aIna ex Ina Inx Ina ex Ina x Inx x Inx eInx Inx 构造 g(x) ex x ，单增，所以： x Ina Inx Ina x Inx Ina x Inxmin x (x 1) 13.设实数 0 ，若对任意的 x (0, ) ，不等式 ex 0 恒成立，则 的取值范围是( ) 解： ex 0 xex xInx InxeInx ，即 x Inx 恒成立， max ，4.已知 ex 1 恒成立，则实数 a 的最大值为( )。Inx ax答案：15.设实数 m 0 ，若对任意的 x e ，若不等式x2 ln x me 0 恒成立，则 m 的最大值为( ) m m m m解： x2 ln x me x 0 x2 ln x me x x ln x me x eln x ln x me x m ln x ，x x x得 m x ln x min e (注意定义域) .6.对任意的 x (0, ) ，不等式 2x3 ln x me 0 恒成立，求实数 m 的最大值 .m m m解：由题意得 2x3 ln x me x x2 ln x2 e x eln x2 ln x2 e x ，即 ln x2 ， m x ln x2 min .7.已知函数 f x m ln x 1 3x 3 ，若不等式 f x mx 3ex 在 x 0 , 上恒成立，则实数 m 的取值范围是 ( )解：由题意得： m ln x 1 3x 3 mx 3e x 3 e x x 1 mx m ln x 1 ，右边凑 1，得3 ex x 1 m x 1 ln x 1 1 3 ex x 1 m e ln x 1 ln x 1 1 得 m 3 . (说明：定义域大于零，所以 x ln x 1 ， m 3 成立) .8.对 x 0 ，不等式 2ae2x ln x ln a 0恒成立，则实数 a 的最小值为_ . 解：由题意得： 2ae2x ln x ln a 0 2ae2x ln x ln a In 2xe2x In In eIn 2x In a ()min 9.若 x (0, ), x Inx a 恒成立，则 a 的最大值 ( C )A.1 B. C.0 D. e解析： ex Inx 1 x Inx a ex Inx 1 x Inx 1 1 a a 010.已知关于 x 的不等式 x aInx 1对于任意的x (1, ) 恒成立，则实数 a 的取值范围 ( B )A.( ,1 e B.( , 3 C.( ,2 D.( ,2 e2 解析： x aInx 1 ex Inx-3 x Inx-3 1 x 3Inx 1 x aInx 1 . 3Inx aInx, x 1 a 311.已知不等式 x Inx x ，对 x (1, ) 恒成立，则实数 a 的最小值为 ( )A. B. C. e D. 2e解析： x Inx e x x x e x Inx x Inx e (Inx)令 g(x) x e x g(x) 1 e x g (x) g (Inx ) x Inx , (x 1) e12.对任意的 x (0 , ) ，恒有 a eax 1 2 x ln x ，求实数 a 的最小值 解：由题意得： ax eax ax 2x2 ln x 2 ln x x2 ln x2 ln x2即 ax eax ax ln x2 e ln x 2 ln x2 ， x max e .得 ax ln x2 a 2 ln x 213.已知 x0 是方程 2x2 e2x + ln x = 0 的实根，则关于实数 x0 的判断正确的是 ( ) A x In2 B x C 2x0 + ln x0 = 0 D 2ex0 + ln x0 = 0解析： 2x2 e2x + ln x = 0 2xe2x Inx In In eIn 2x In 1 2x Inx 0x14.已知函数 f x x ln x 1 ，g x ex x 1 ，若 g x kf x 对x 0 , 恒成立， 求实数 k 的取值范围解析： 由题意得： ex x 1 k x ln x 1 右边式子凑 1 得 ex x 1 k x 1 ln x 1 1即 ex x 1 k eln(x 1) ln x 1 1 ， 因为x ln x 1当且仅当 x 0 等号成立，所以满足k 1 即可当且仅当 ex x 1 1 ，即 x 0 等号成立，所以k 1 .15.已知函数 f x x ex 1 ，g x k lnx k x 1 设h x f x g x ，其中 k 0 ，若 h x 0 恒成立，求 k 的取值范围.解析：由题意得： x ex 1 k ln x x 1 eln x x 1 k ln x x 1 因为 eln x x 1 k ln x x 1 ，当且仅当 x 1 时等号成立因为 ex ex ，所以等价于证: e ln x x 1 k ln x x 1 当且仅当 x 1 时等号成立，所以k e .16.已知函数 f(x) xlnx ， f (x) 为 f(x) 的导函数证明： f(x) 2ex 2解析： 由题意得： x ln x 2ex 2 ， 因为ln x (当且仅当 x e 时等号成立)等价于证明 x 2ex 2 2e 1 ，构造 g x 则 g x ，易知 g x max g 2 2e 117.若函数 f(x) x(e2x a) Inx 1无零点，则整数 a 的最大值是 ( )A.3 B.2 C.1 D. 0 解析： f(x) x(e2x a) Inx 1 0 e2x Inx ax Inx 1 2x Inx 1 ax Inx 1 (2 a)x 0 a 2 a 118.已知f x ln x ax a 若 g x ex 1 f x 的最小值为M ，求证M 1 解析：构造 f x ex x 1 ，则 f x 0则 f x 1 f ln x e x 1 x x ln x 1 ，g x ex 1 ln x a x 1 f x 1 f ln x a x 1 1 f x 1 f ln x min 0 ， g x ex 1 ag 1 a ，接下来分类讨论：1.当 a 0 ，则 g x min 1 ，成立；2.当 a 0 ，则 g 1 a 0 ，得 g x min g 1 1 ，成立；3.当 a 0 ，则 g 1 a 0 ，得 g x min g 1 1；19.已知函数 f x a ln x bex 1 (a 2)x a ( a , b 为常数) 若b 2 ，若对任意的 x 1 , ， f x 0 恒成立，求实数 a 的取值范围.解析： 由题意得： a ln x 2ex 1 a 2 x a 0 x 1 即 a ln x a 2 x a 2e x 1 a ln x ax 2x a 2e x 1 ， a ln x x 1 2 e x 1 x 右边凑 1，得 a ln x x 1 2 x 1 e x 1 1 a eln ln x eln x 1 2 eln x 1 ex 1 1 ，构造g x eln x ex 1 ，则g x 0 ，即 a g ln x 2 g x 1 当且仅当 x 1 时取等号，所以只需满足 a 2 .20.若 a e ax 恒成立，求实数 a 的取值范围【解析】 a e ax 1 ln x ax xe ax xe ax ln x ax 1而 xe ax e ln x ax ln x ax 1 ，故 a R21.已知函数 f(x) ax, x (0, ) ，当 x2 x1 时，不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围为( D)A ( ， e B ( , e) C ( , ) D ( ， 22.设函数 f(x) xex a(x Inx) ，若 f(x) 0 恒成立，则实数 a 的取值范围 ( )A. 0，e B. 0，1 C. , e D. e, 解析： 同构思想： ex Inx a(x Inx) ex ex a 0, e23. (2020 成都二诊) 已知函数 f(x) ，g (x) x e x ，若存在 x1 (0 ， ) ，x2 R ，使得 f(x1 ) g (x2 ) k(k 0) 成立，则( )2 ek 的最大值为 ( )A. e2 B. e C. D. 解析： f(x) ，g (x) x e x k 0 k 0构造 F(x) ，做出图像： 因为k 0 容易知道： 0 x1 1,0 ex2 1 又因为 F(x) 在(0,1) 单增所以： x1 ex2 x2 Inx1 ()2 ek k 2 ek k2 ek max 24. (重庆渝中区模拟) 若关于 x 的不等式 x a ln x xa (a 0) 对任意的 x 1， 恒成立，则实数 a 的最小值是 ( ) .解析 1： x e x xa aInx e (Inxa ) Inxa ，令 g(x) x e x ， 因为单增所以： x Inxa a min a e 。答案： e解析 2： x e x xa aInx Ine x e x xa Inxa构造 g(x) x Inx ， 因为单增。所以 e x xa a e .25. (名校联考) 已知对任意的 x (0 ， ) ，都有k(ekx 1) (1 ) ln x 0 ，则实数 k 的取值范围是 .解析： k(ekx 1) (1 ) ln x 0 kekx k (1 ) ln x kxekx kx ln xeln x ln x构造函数： g (x) xex x ，容易知道g(x) 单增kx Inx k ()max 26.对任意 x 0 ，不等式 2ae2x Inx Ina 0恒成立，则实数 a 的最小值为 ( )解析： 2ae2x Inx Ina 0 2xe2x In In eIn令 g(x) xex ，在 x 0 ，单增所以： 2x In ，即 2x Inx Ina, Ina Inx 2x Ina Inx 2xmax In a 27.若函数 f(x) x(e2x a) ln x 1无零点，则整数 a 的最大值是 ( )A. 3 B. 2 C. 1 D. 0解析： x(e2x a) ln x 1 0 eInx 2x ax Inx 1 0 eInx 2x Inx 2x 1 Inx 2x 1 ax Inx 1 0 eInx 2x Inx 2x 1 (2 a)x 0eInx 2x Inx 2x 1 0 (2 a)x 0 x 0 2 a 0 a 2 a 128.若 x 0 时，恒有 x2 e3x (k 3)x 2 ln x 1 0 成立，则实数 k 的取值范围是 .解析： x2 e3x (k 3)x 2 ln x 1 0e2Inx 3x (2Inx 3x) 1 (2Inx 3x) 1 (k 3)x 2Inx 1 0 e2Inx 3x (2Inx 3x) 1 kx 0e2Inx 3x (2Inx 3x) 1 0 kx 0 ， x 0 k 029. (2019衡水金卷) 已知 a < 0 ，不等式 xa 1 ex aInx 0对任意的实数 x > 1 恒成立，则实数 a 的最小值是 ( )A B 2e C D e解析： xa 1 ex aInx 0 xex In eInInx aInx a 1 min e a e令 g(x) xex 单增函数， Inxx30.(2019 武汉调研，2020 安徽六安一中模考)已知函数 f(x) ex aIn(ax a) a(a 0) ， 若关于 x 的不等式 f(x)> 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ( )A. (0 ，e B (0 ，e2 ) C 1 ，e2 D (1 ，e2 )解法一： f(x) ex aIn(ax a) a(a 0) ex aIna(x 1) a ex Ina Ina In(x 1) 1 ex Ina x Ina Ina In(x 1) 1 x Ina In(x 1) 1 x eIn( x 1) In(x 1) ,令 g(x) ex x ，单增 x Ina In(x 1) Ina x In(x 1) Ina x In(x 1) 2 Ina 2 a e2解法二： ex aIna(x 1) a 0, (x 1) (x 1)ex a(x 1)Ina(x 1) a(x 1) (x 1)ex (Ina(x 1) 1) a(x 1) (x 1)ex (Ina(x 1) 1) eIn a ( x 1)构造 g(t) (t 1)et g (x) g (Ina(x 1) ， 因为 g(t) 单增， x Ina(x 1) Ina x In(x 1) ，所以 a e2 Ina x In(x 1)min 231.已知 x0 是函数 f(x) x2 ex 2 Inx 2 的零点，则 e2 x0 Inx0 为 ( )解析： x2 ex0 2 Inx 2 0 x2 ex 2 Ine2 Inx x2 ex e2In xex In xex In eIn令 g(x) xex 可知 x 0, g (x) 单增，所以0 0 0 0 0 0x In e2 2 Inx x 2 Inx e2 x0 x e2 x0 Inx x Inx 2x32.对任意的实数 x 0 ，不等式 2ae2x Inx Ina 0恒成立，则实数 a 的最小值为 ( )A. B. C. D. 解析： 。2ae2x Inx Ina 0 2ae2x In 2xe2x In eIn 2x In因为Inx x In x x 2x a ；33.已知函数 f(x) ，则不等式f(x) ex 得解集为 ( )A. (0,1) B. ( ,1) C. (1, e) D. (1, )解析： ex 构造 g(x) , (x )g (x) 在 (0,1) 单调递减， (1, ) 单调递增当 x ( ,1) 时， 1 Inx 1 , g (x) 递减 1 Inx x x 1 Inx x 0 所以取交集： x ( ,1)当 x (1, ) 时， 1 Inx 1 , g (x) 递增 1 Inx x x 1 Inx x 所以取交集： x 无解.34.已知函数 f(x) x Inx求函数f(x) 的单调性当x ，证明： e 1若不等式 x aInx xa 对 x (1, ) 恒成立，求实数 a 的最小值 解析： f(x) 在 (0,1) 单减， (1, ) 单增。要证： e 1即证： ex Inex ex x ex x ex Inex ex Inex ex Inex 又 ex ex 1 由 (1) 可得： f(x) 在(1, ) 单增，故 f(ex ) f(ex)故原不等式成立。 x aInx xa x xa aInx e x Ine x xa aInx e x Ine x xa Inxa f(e x ) f(xa )又因为0 e x 1 , f(x) 在(0,1) 单减 e x xa a x e . Inx max35.不等式 x 3ex aInx x 1对任意x (1, ) 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( D )A. ( ,1 e B. ( ,2 e2 C. ( ,2 D. ( , 3解析： ex 3Inx aInx x 1 ex 3Inx (x 3Inx) 1 aInx 3Inx (a 3)Inxex 3Inx (x 3Inx) 1 0 (a 3)Inx 0 a 3 0 a 336.已知不等式 ex x 1 mx In(x 1)对一切正数x 都成立，则实数 m 的取值范围是 ( C )A. ( , B. ( , C. ( ,1 D. ( , e 解析：设 h(x) ex x 1 ， h(x) 恒增， h(x) mh(In(x 1) x In(x 1) x 0 取等号， m 1 。37.若不等式 mxemx2 Inx 恒成立，则实数 m 的取值范围为 ( )A. , ) B. , ) C. , ) D. , )解析： 当 m 0 ，显然不成立. m 0 时， mxemx2 Inx .(i) 当 x (0,1) 时，显然成立( i i) 当 x (1, ) ， mxemx2 Inx ，mxemx2 Inx mx2 emx2 xInx InxeInx构造函数 h(x) xex ,在x (1, ) h(x) 单增mx2 Inx m max 38.设 m 0 ，若任给 x 0 都有 emx 成立，则实数 m 的最小值为( )A. B. C. D. 解析：原不等式等价于 memx ln x ，两边乘以x得 mxemx x ln x设 f(x) xex ，上述不等式等价于 f(mx) f(ln x) 由于 f(x) 是增函数所以转化为 mx ln x 恒成立即： m 恒成立，设 g(x) ，求导可知 g(x)max ，所以 m 39.若对任意 x (0, ) ，不等式 2e2x aIna aInx 0恒成立，则实数 a 的最大值为 ( )A. B.e C. 2e D.e2 解析： 同构： 2xe2x axInax Inax eInax又因为 xex 在 (0, ) 单增， 2x Inax a min 2e40.已知对任意 x (0, ) ，都有 k(ekx 1) (1 ) ln x 0 ，则实数 k 的取值范围为_解析：对任意 x (0, ) ，都有 k(ekx 1) (1 ) ln x 0可得 kx(ekx 1) (1 x)lnx ，即 (1 ekx )lnekx (1 x) ln x ，可设 f(x) (1 x)lnx ，可得上式即为 f(ekx ) f(x)由 f (x) ln x ，令h(x) f (x) ，则 h (x) ，当 x 1 时， h (x) 0 ， h(x) 单调递增当 0 x 1 时， h (x) 0 ， h(x) 单调递减，则 f (x) 在 x 1 处取得极小值 且为最小值 2，则 f (x) 0 恒成立，可得 f(x) 在(0, ) 上单调递增则 ekx x 恒成立，即有k 恒成立，可设 g(x) ， g(x) 当 x e 时， g(x) 0 ， g (x) 单调递减当 0 x e 时， g(x) 0 ， g (x) 单调递增，可得 g(x) 在 x e 处取得极大值，且为最大值 ，则 k 即 k 的取值范围是( ， ) 故答案为： ( ， ) 41 函数 f(x) x In(ax) 2(a 0) ，若函数f(x) 在区间(0, ) 内存在零点，则实 数 a 的取值范围是 ( )A. (0,1 B.1, ) C. (0, e D.3, )解析： f(x) eInax 1 x x Inax 2 eInax 1 x (Inax 1 x) 1 0当Inax 1 x 0 Inax x 1 ax 1 ，即 a 142.已知函数 f(x) Inx ex (ea 1)x a(a R) ，若不等式 f(x) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围 ( )解析：不等式即： xea a Inx ex x 在 (0, ) 恒成立，等价于： ea Inx a Inx ex x 在 (0, ) 恒成立构造函数： (x) ex x ，知在R 上单增，所以(a Inx) (x) a Inx x a x Inx a x Inxmax 1 a 143.已知函数 e 1 x aInx ， a R 恒成立，则 a 的取值范围是 ( )解析： ex aInx (x aInx) e 1 构造函数(x) ex x 知在 R 上单增所以(x aInx) (1) x aInx 1 a a min 144. (浙江新高考模拟卷学军中学) 已知函数 x3e2x (k 2)x 3Inx 1 恒成立，求 k 的 取值范围 ( )解析： x3e2x e3Inx 2x 3Inx 2x 1要使， x3e2x (k 2)x 3Inx 1只需要： 3Inx 2x 1 (k 2)x 3Inx 1 ，即： k 045. (2020 年山东) f(x) aex Inx Ina ，若 f(x) 1 ，求 a 的取值范围 ( ) 解析：方法一：同构构造h(x) xexaex Inx Ina 1 aex 1 In xex In In eIn x In 1 Inx Ina Ina 1 Inx x Ina 0 a 1 方法二：构造h(x) x ex . aex 1 Inx Ina 1 aex 1 Ina 1 Inx eIna x 1 Ina x 1 Inx x Inx eInx ，Ina x 1 Inx Ina Inx x 1 Ina 0 a 146.已知函数 xex x Inx (b 2)x 1 恒成立，求b 的取值范围 ( )解析： ex Inx (x Inx) 1 (b 2)xxex Inx (x Inx) 1 0 b 2 0 b 247. 已知函数 xex ax axa Inx aInx (a 1)x, x (1, ) 时恒成立，则 a 的取值范围( )答案： a , e提示： xex x axa Inx aInx ， e 48.设函数 f(x) axex ax 1 (a R). 若不等式 f(x) ln x 在区间 1 , 上恒成立，求 a 的取值范围解析：axex ax 1 Inx a(ex Inx x) 1 Inx a(ex Inx x Inx 1) 1 a(Inx 1) Inxa(ex Inx x Inx 1) 1 a(Inx 1) Inx a(ex Inx x Inx 1) (a 1)(Inx 1) 0a(ex Inx x Inx 1) 0 (a 1)(Inx 1) 0 a(ex Inx x Inx 1) 0 (a 1)(Inx 1) 0 0 a 1 0 a 149.若函数 f(x) x ex b b(x x2 xInx) 有零点，则b 的取值范围.解析： x ex b b(x x2 xInx) 1 ex bInx b(1 x Inx) ex x 1 b(1 x Inx) x b Inx 2 b(2 x Inx) x Inx 2 x Inx 2 0 b 150.已知函数 f(x) aInx 2ex 1 (a 2)x a 0 ,对任意 x 1, ) 恒成立，则实数 a 的 取值范围 .答案： a ( ,2解析： 2ex 1 (a 2)x a aInx 2ex 1 ax 2x a aInx2ex 1 2x aInx ax a 2ex 1 2(x 1) 2 a(Inx x 1)2ex 1 2(x 2ex 1 (x 1) 1 ax 1 Inx 2ex 1 (x 1) 1 0 ax 1 Inx 0 a 251.若 x 0 证明： (ex 1)In(x 1) x2解：需证： (ex 1)In(x 1) x2即证： 令 h(x) , (x 0)h(x) h(ex 1) h(x) 在 (0, ) 单减，即证： x ex 1即证 ex x 1 0(x 0) 显然成立。52.已知函数 f(x) x2 ex a(x 2Inx) 有两个零点，则 a 的取值范围 ( )解析： f(x) e2Inx x a(x 2Inx) ，令 t x 2Inx容易知t 单增， f(t) et at ， f (t) et a a 0 , f(t) f(t)至多有一个根，不符合题意。 a 0, f(t) et at 0 et at (0, ) a (e, )符合题意53.若不等式 x(ex 1) Inx 1 t 对任意x (0, ) 恒成立，则实数 t 的取值范围 ( )答案： ( ,2)54.已知函数 f(x) x2 ex a(x 2Inx) ，讨论f(x) 的零点的个数解析： x2 ex a(x 2Inx) ex 2Inx a(x 2Inx)令t x 2Inx et at a 0 a e ， f(x) 无零点； a 0 & a e f(x) 只有一个零点a e f(x) 有两个零点55.已知函数 f x a ln x bex 1 (a 2)x a ( a , b 为常数) 若b 2 ，若对任意的 x 1 , ， f x 0 恒成立，求实数 a 的取值范围.解析： 由题意得： aInx 2ex 1 (a 2)x a 0, (x 1) ；a(Inx x 1) 2(ex 1 x) a(Inx x 1) 2(x 1 ex 1 1) 即： 2(ex 1 (x 1) 1) a(x