专题17圆锥曲线与内心问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破（全国通用）（解析版）.docx
专题17 圆锥曲线与内心问题一、单选题1已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，是的内心，当时（其中，分别为点与内心的纵坐标），椭圆的离心率为（ ）ABCD【解析】设，不妨设，如图，设三角形内切圆的半径为r，由三角形内切圆的性质可得:，解得：，,因为，所以，解得，所以，故选：C2已知点P是双曲线（a>0，b>0）右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，M是PF1F2的内心，若成立，则双曲线的离心率为（ ）A3B2CD【解析】如图，设圆M与的三边分别相切于点E，F，G，连接ME，MF，MG，则，设r为内切圆M的半径，化简得：，由双曲线的定义可得：，离心率，故选：D.3已知椭圆为C的左右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（ ）ABCD3【解析】由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，即，解得或（舍），.又，解得.故选：C.4已知A、B是抛物线的两点，为坐标原点，若且的内心恰是此抛物线的焦点，则直线的方程是（ ）ABCD【解析】因为A、B是抛物线的两点，为坐标原点， ，所以A、B两点关于轴对称，设点A在轴上方，坐标为（），则，所以,设交轴于点,则,因为,所以,因为的内心恰是此抛物线的焦点，所以平分，所以由三角形角平分线的性质得,即，化简得, ,解得,因为,所以,所以直线的方程为，故选：C.5双曲线的渐近线与抛物线交于点，若抛物线的焦点恰为的内心，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【解析】作出双曲线与抛物线的大致图像，如图： 双曲线的渐近线方程为：，即，联立，解得或，当时，则，所以焦点到的距离为，焦点到渐近线的距离为，所以，整理可得，即，整理可得，两边同除以可得，又，即，解得.故选：D6已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）ABCD【解析】不妨设直线的斜率大于0如图:连接，设的内切圆与三边分别切于点，则，所以，即，同理可得，所以，设直线的倾斜角为，在中，在中，又，所以，即，解得，所以，即直线的斜率为，由题意，直线与双曲线右支交于两点，故，所以.故选:D7已知分别为双曲线的左右焦点，点在双曲线上，为的内心，点满足，若且，记的外接圆半径为，则的值为（ ）ABCD1【解析】设，由题意得，因为点满足，所以点G是的重心，则，又因为，所以轴，则的纵坐标是，所以，设，则，所以，即，则，由余弦定理得，即，解得或，所以，则，解得，故选：A8已知椭圆的方程为，为椭圆的左右焦点，为椭圆上在第一象限的一点，为的内心，直线与轴交于点，若，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【解析】如图所示，连接，是的内心，可得分别是和的角平分线，由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，则为的角平分线，则到直线的距离相等，所以，同理可得，由比例关系性质可知.又因为，所以椭圆的离心率.故选：A.二、多选题9已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ）A双曲线C的离心率为B的面积为C的内心在直线上D内切圆半径为【解析】对于C，设的内心为I，作过作的垂线，垂足分别为，如图，则，所以，所以的内心在直线上，故C正确；为等边三角形,若在同一支，由对称性知轴，.,；, 设的内切圆半径为r，则，解得；若分别在左右两支，则，则，解得，离心率，设的内切圆半径为r，则，解得；所以结论一定正确的是BC.故选：BC.10若双曲线， 分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（ ）A双曲线的离心率为B点的运动轨迹为双曲线的一部分C若，则.D存在点，使得【解析】由题意，双曲线，可得，则离心率为，所以A正确；设，的内切圆与边切于点，与边切于点，与边切于点，可得，由双曲线的定义可得，即，又由，解得，则的横坐标为，由与的横坐标相同，可得的横坐标为，可得在定直线上运动，所以B不正确；由且，解得，则，可得，所以，同理可得，设直线，直线，联立方程组，求得，设的内切圆的半径为，则，解得，即有，可得，由，可得，解得，可得，所以C正确；设，则，设的内切圆的半径为，则，于是，可得，若，可得，即，又由，联立可得，因此，解得，即存在点，使得，所以D正确.故选：ACD.11已知为双曲线（，）右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，是的内心，双曲线的离心率为，的面积分别为，且，下列结论正确的为（ ）ABC在定直线上D若，则或【解析】如图所示：设三角形内切圆半径为，因为，则，所以，得，故A错误，B选项正确，D选项显然错误；C选项中，设圆与三边，切点分别为，则，由双曲线定义有，从而.又，所以，设，（为双曲线的半焦距），所以，解得，即点在定直线上，所以C选项正确，故选：BC.12已知，分别为双曲线的左右焦点，分别为其实轴的左右端点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，则下列结论正确的有（ ）A离心率B点的横坐标为定值C若成立，则D若垂直轴于点，则【解析】A. ，故有，则左右两边同除得，解得，故A对B.设圆与轴相切于点，与相切于点，与相切于点，则如图有，故，则有，则有,又，故，则，故，点的横坐标为定值，则B对.C. 若成立，设内切圆半径为 ，则有，则，则，故C对D. 若垂直轴于点，设，则，则，又，故，故，故D错故选：ABC三、填空题13已知点P为双曲线心（，）右支上一点，点、分别为双曲线的左右焦点，点I是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的渐近线方程是_【解析】设的内切圆的半径为，由双曲线的定义可得，则，因为，所以，可得，故，可得，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：.14已知直线l过点，l与抛物线交于E、F两点，当l不与y轴垂直时，在y轴上存在一点，使得的内心在y轴上，则实数_【解析】设直线l：并代入并整理得：，设，则，设内心，直线PE：，内心I到直线PE的距离，同理可得内心I到直线PF的距离，依题意，即距离，15已知椭圆的方程为，为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为的内心，直线PI与x轴交于点Q，椭圆的离心率为，若，则的值为_.【解析】如图所示，连接，是的内心，所以分别是和的角平分线，由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，则为的角平分线，则到直线的距离相等，所以，同理可得，由比例关系性质可知.又椭圆的离心率.所以，所以，故，故答案为：4.16椭圆：的右焦点为，点，在椭圆上，点到直线的距离为，且的内心恰好是点，则椭圆的离心率_【解析】如图所示，的内心恰好是点，由对称性可知，,所以关于轴对称，所以轴，设PQ交x轴于点,则，所以点是椭圆的左焦点，将代入椭圆的方程得，所以，过点M作MEPF，垂足为E，则，所以.四、解答题17双曲线：的左右两个焦点分别为、，为双曲线上一动点，且在第一象限内，已知的重心为，内心为.（1）若，求的面积；（2）若，求点的坐标.【解析】（1）设， ， ，解得，.（2）设，则.设的内切圆半径为，则，于是，.由知，即.又，可得.因此，又点在第一象限，解得，（舍负），故.18如图，已知椭圆的上、右顶点分别为，是椭圆的右焦点，是椭圆上的点，且（是坐标原点）（1）求，的值；（2）若不过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试问：当点在直线的上、下方时，的内心是否分别位于某条定直线上？若是，请求出两条定直线的方程；若不是，请说明理由【解析】（1）设点，因为，所以，所以，又是椭圆上的点，所以即，所以，所以，；（2）由题意设直线，即，设，由（）得椭圆方程为，则，消去x得，由可得，则，因为，所以；所以当点在直线的上方时，的平分线为直线，所以此时内心位于定直线上；当点在直线的下方时，的平分线为直线，所以此时内心位于定直线上.19如图，已知椭圆：，离心率为，为椭圆的左右焦点，为椭圆上一动点，为的内心，连接并延长交轴于点.（1）求椭圆的方程；（2）设，的面积分别为，求的取值范围.【解析】（1）因为离心率为，故，又因为，为椭圆的左右焦点，故，所以椭圆：.（2）因为为的内心，故为各内角角平分线的交点，故根据角平分线定理可知，.设以为底边的高为，以为底边的高为，设，同理，.为椭圆上一动点，且与构成三角形，故，.20已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为（1）求抛物线的方程；（2）若斜率为的直线与抛物线交于两点，且点在直线的右上方，求证：的内心在直线上；（3）在（2）中，若，求的内切圆半径长【解析】（1）根据抛物线定义可得，解得所以抛物线的方程为 （2）证明：由（1）得，设直线方程为， ，由 得，所以，又， 所以因此的角平分线为，即的内心在直线上（3）由（II）得，直线的倾斜角分别为，所以，直线，所以，解方程得，同理 因为设的内切圆半径为，所以所以21如图所示，作斜率为的直线与抛物线相交于不同的两点B、C，点A（2,1）在直线的右上方（1）求证：ABC的内心在直线x=2上；（2）若，求ABC内切圆的半径【解析】（1）设BC直线为,由得， 的平分线为，即内心在定直线上（2）,由（1）知直线AB：,直线AC: ,由解得,同理可得22在双曲线C：x24-y25=1 中，F1、F2分别为双曲线C的左、右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内的点，PF1F2的重心为G，内心为I.（1）是否存在一点P，使得IGF1F2 ？（2）设A为双曲线C的左顶点，直线l过右焦点F2，与双曲线C交于M、N两点.若AM、AN的斜率k1、k2满足k1+k2=-12，求直线 l的方程.【解析】(1)假设存在点Px0,y0x0>0,yo>0使得IG/F1F2由G为PF1F2的重心,知Gx03,y03.而I为PF1F2的内心,设PF1F2的内切圆半径为r.则SPF1F2=12F1F2y0=12PF1+PF2+F1F2r 12×2cy0=12PF1+PF2+2cr r=2cy0PF1+PF2+2c由IG/F1F2,知2cy0PF1+PF2+2c=y03PF1+PF2=4c=12,又PF1-PF2=2a=4,解得PF2=4 .从而, x-32+y02=16,x024-y025=1.由点P在第一象限,解得:x0=4,y0=15(舍负).故存在点P4,15,使得IG/F1F2.(2)由题意,设过点F23,0的直线方程为y=kx-3,直线与椭圆交于点Mx1,y1,Nx2,y2由y=kx-35x2-4y2=20，5-4k2x2+24k2x-36k2-20=0.由韦达定理得x1+x2=24k24k2-5,x1x2=36k2+204k2-5又k1+k2=y1x1+2+y2x2+2=kx1-3x1+2+x2-3x2+2=k2-51x1+2+1x2+2，1x1+2+1x2+2=x1+x2+4x1x2+2x1+x2+4=24k2+44k2-536k2+20+48k2+44k2-5=2k2-15k2，则k1+k2=k2-5×2k2-15k2=1k=-12k=-2.故所求直线l的方程为y=-2x+6.18原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
