新高考艺术生数学基础复习讲义 考点47 直线与曲线的最值问题（教师版含解析）.docx

考点47 直线与曲线的最值问题知识理解一.圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：1.是几何法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2.是代数法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解二解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数值域的求法，确定参数的取值范围考向分析考向一 最值问题【例1】(2021·漠河市高级中学高三月考(文)如图，已知椭圆上一点，右焦点为，直线交椭圆于点，且满足， (1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆相交于两点，求四边形面积的最大值【答案】(1)；(2).【解析】(1)为椭圆上一点，又 ，可得，即所以椭圆的标准方程是.(2)由(1)知，直线的方程为，联立 ，整理得：，解得：，设点，到直线的距离为和，则，直线与椭圆相交于两点，联立，整理得：，解得：.设四边形面积为，则.设，则，当，即，即时，四边形面积有最大值.【举一反三】1(2021·四川成都市·高三二模(理)已知椭圆：经过点，其长半轴长为2()求椭圆C的方程；()设经过点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围【答案】()；().【解析】()由已知，即椭圆的方程为椭圆经过点，解得椭圆的方程为()由题意，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，由，消去，得，为点关于轴的对称点，直线的方程为，即令，则的面积令，则，的面积的取值范围为2(2021·浙江省宁海中学高三月考)已知点，在直线：上(在上方)，斜率为的直线交抛物线：于点，直线交抛物线于点，.(1)求的取值范围；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意可设：，由于与抛物线，直线均有交点，故，联立与的方程得到，得，而，得到，得，由于与抛物线、直线均有交点，故得，综上，.(2)设，则，故，记，到直线的距离分别为，则，设：，其中，与抛物线联立得，由韦达定理得，同理设：，由韦达定理得故，由(1)可知，故，当且仅当，即等故的取值范围是.考向二 综合运用【例2】(2021·浙江高三其他模拟)如图，椭圆的左顶点为，离心率为，长轴长为4，椭圆和抛物线有相同的焦点，直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点(1)求抛物线的方程；(2)若点，满足，求的取值范围【答案】(1)；(2)【解析】(1)因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以，因为椭圆和抛物线有相同的焦点，所以，即，所以抛物线的方程为(2)由(1)知椭圆，由得，得，设，则，所以易知，所以由得，得设，则，所以，所以所以，易知函数在上单调递减，所以【举一反三】1(2021·辽宁铁岭市·高三一模)已知椭圆方程，直线与轴相交于点，过右焦点的直线与椭圆交于，两点(1)若过点的直线与垂直，且与直线交于点，线段中点为，求证：(2)设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否垂直，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)是垂直；证明见解析【解析】(1)由椭圆方程为知，右焦点坐标，直线方程为，点坐标由知，直线斜率不为0，故设直线的方程为，从而，直线的方程为，令得，点坐标为，故直线的方程来，联立方程组，消去得：，设，即，从而，线段的中点，综上可知，(2)()当直线的斜率为0时，点即为点，从而()当直线的斜率不为0时，由(1)知，所以，则，直线的方程为，又，令，得，所以点的坐标为，即2(2021·浙江期末)如图，已知A，B，C，D是抛物线上四个不同的点，且，设直线与直线相交于点P，设(1)求证：A，P，B三点的横坐标成等差数列；(2)当直线经过点，且时，若面积的为，求直线的方程【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)由题意，点A，B，C，D是抛物线上四个不同的点，设，因为所以，即，化简得：， 因为，所以，解得，因为，所以，于是，所以， 由可知，即A，P，B三点的横坐标成等差数列(2)设直线的方程为，代入，得，所以，且，所以，由(1)可知，且，可得，同理由，得，即，同理可得，所以是方程的两个实根，于是，又因为，所以，解得，设线段的中点为M，则，所以，于是，因为面积的为，所以，解得，所以直线的方程为强化练习1(2021·天津高三月考)已知椭圆的左焦点为F，离心率，长轴长为4.()求椭圆的方程；()过点F的直线l与椭圆交于M，N两点(非长轴端点)，的延长线与椭圆交于P点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.【答案】()；()2，或.【解析】()因为椭圆长轴长为4，所以， 因为椭圆的离心率为，所以， 又，解得， 所以椭圆C的方程为； ()法一：设的方程为， 联立方程组 ， ，原点到直线的距离点P到直线的距离为 ，令 ， ，当时，面积取到最大值2，此时，直线l的方程为或. 法二：当k不存在时， ；当k存在且时，设直线方程为，与椭圆方程联立，可得， 显然， ， ， 令 ，上式，上式，当且仅当，即时，取到最值. 综上，当时，取得最大值2.此时，直线l的方程为或.2(2021·湖北武汉市)已知椭圆过点，离心率.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆相交于，两点.当直线，的斜率之和为时(其中为坐标原点)，求直线的斜率；求的取值范围.【答案】(1)；(2)；【解析】(1)由题意得，解得，.设椭圆E的方程为，又因为点在椭圆E上，所以，所以椭圆E的方程为；(2)设直线l方程为：，代入椭圆E的方程可得，因为直线l与椭圆E有两个交点，所以，即.设，则，.又解得，经检验成立.所以，直线l的斜率；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，将代入，解得，则，当直线l的斜率存在时，由(2)得因为，所以的范围为综上，得的取值范围是3(2021·内蒙古高三月考(文)已知椭圆的离心率，其左，右集点为，过点的直线与椭圆交于两点的周长为.(1)求椭圆的标准方程：(2)过右焦点的直线互相垂直，且分别交椭圆于和四点，求的最小值【答案】(1)；(2)最小值为.【解析】(1)由椭圆的定义知，的周长为，由，即，得，故椭圆的方程为：(2)由(1)得，椭圆右焦点为，设，当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时， 直线，此时；直线，此时；当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，；当直线，的斜率都存在，设直线的方程为，则直线的方程为联立，整理得恒成立，则同理可得则令，则当时，则所以综上可知，的最小值为4(2021·江西上高二中)已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点，分别以为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.(1)求动点的轨迹方程；(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程.【答案】(1)；(2)1，.【解析】(1)设，则以A为切点的切线为，整理得：，同理：以为切点的切线为：，联立方程组：，解得，设直线的方程为：，联立方程组，整理得：，恒成立， 由韦达定理得：，故，所以点的轨迹方程为；(2)由(1)知：， 到直线的距离为：， ， 时，取得最小值，此时直线的方程为.5(2021·浙江)如图，点在抛物线外，过点作抛物线的两切线，设两切点分别为、，记线段的中点为(1)证明：线段的中点在抛物线上；(2)设点为圆上的点，当取最大值时，求点的纵坐标【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)设直线的方程为，联立，可得，所以，直线的方程为，即，同理可知直线的方程为.联立，解得，即点，线段的中点为，所以，线段的中点为，因此，因此，线段的中点在抛物线上；(2)由(1)知，令，则，所以，所以，当时，即当时，取最大值，此时，解得，因此，当取最大值时，点的纵坐标为.7(2021·深州长江中学)已知直线：与轴交于点，且，其中为坐标原点，为抛物线：的焦点.(1)求拋物线的方程；(2)若直线与抛物线相交于，两点(在第一象限)，直线，分别与抛物线相交于，两点(在的两侧)，与轴交于，两点，且为中点，设直线，的斜率分别为，求证：为定值；(3)在(2)的条件下，求的面积的取值范围.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).【解析】(1)由已知得，且为的中点，所以 .所以，解得，故抛物线的方程为.(2)证明：联立，解得 ，由为的中点得.不妨设，其中 .则，.所以，即为定值.(3)由(2)可知直线的方程为，即 ，与抛物线联立，消 x可得，解得或(舍)，所以，即 ，故点到直线的距离.设过点的抛物线的切线方程为，联立得 ，由，得，所以切线方程为，令，得 ，所以要使过点的直线与抛物线有两个交点，则有，又，所以，即，故 的面积的取值范围为.8(2021·浙江高三其他模拟)已知椭圆：的左、右焦点分别是，且经过点，直线与轴的交点为，的周长为(1)求椭圆的标准方程；(2)若是坐标原点，两点(异于点)是椭圆上的动点，且直线与直线的斜率满足，求面积的最大值【答案】(1)；(2)【解析】(1)的周长为，将代入，得，解得椭圆的标准方程是(2)由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，将与联立并消去，整理得，则，化简得，或(舍去)当时，则，得，原点到直线的距离，当且仅当，即时取等号，经验证，满足题意面积的最大值是9(2021·全国高三月考(理)如图，已知椭圆的右焦点为，原点为，椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为，椭圆在点处的两切线的交点为.(1)求证：三点共线；(2)求的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)椭圆的右焦点为，设所在的直线的方程为，且联立方程组可得：则，点的坐标为，所在的直线的方程为，设在点处的切线为：，与椭圆联立后由，可得，整理得：椭圆在处的切线方程为，联立方程组，解得点的坐标为，故三点共线.(2)由(1)可知，当且仅当即时，等号成立.10(2021·浙江高三其他模拟)设为坐标原点，是轴上一点，过点的直线交抛物线：于点，且(1)求点的坐标；(2)求的最大值【答案】(1)；(2)2【解析】(1)设，则，解得，设直线，联立方程，得得，由根与系数的关系知，所以，故点的坐标为(2)由(1)知，易知，所以，则令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即的最大值是2，当且仅当时取等号