2022年高二数学人教A必修5练习：3.4 基本不等式√ab≤（a+b）2 Word版含解析试题（试卷）.docx
本文档为独家精品文档尊重原创 切勿盗版以下资源均为最新版感谢您的支持课时训练19根本不等式:aba+b2一、对根本不等式的理解及简单应用1.假设a,bR,且ab>0,那么以下不等式中,恒成立的是()A.a+b2abB.1a+1b>2abC.ba+ab2D.a2+b2>2ab答案:C解析:因为ab>0,所以ba>0,ab>0,即ba+ab2ba·ab=2,所以选C.2.设0<a<b,那么以下不等式中正确的选项是()A.a<b<ab<a+b2B.a<ab<a+b2<bC.a<ab<b<a+b2D.ab<a<a+b2<b答案:B解析:0<a<ba2<ab<b2a<ab<b,0<a<b2a<a+b<2ba<a+b2<b,又ab<a+b2,所以a<ab<a+b2<b.3.x+1x2;x+1x2;x2+y2xy2;x2+y22>xy;|x+y|2|xy|.其中正确的选项是(写出序号即可). 答案:解析:当x>0时,x+1x2;当x<0时,x+1x-2,不正确;x与1x同号,x+1x=|x|+1|x|2,正确;当x,y异号时,不正确;当x=y时,x2+y22=xy,不正确;当x=1,y=-1时,不正确.故填.二、利用根本不等式求最值4.(2022河南郑州高二期末,8)a>0,b>0,且2是2a与b的等差中项,那么1ab的最小值为()A.14B.12C.2D.4答案:B解析:2是2a与b的等差中项,2a+b=4.又a>0,b>0,2ab2a+b22=422=4,当且仅当2a=b=2,即a=1,b=2时取等号.1ab12.应选B.5.(2022福建厦门高二期末,8)a>0,b>0,假设不等式2a+1bm2a+b恒成立,那么m的最大值等于()A.7B.8C.9D.10答案:C解析:a>0,b>0,不等式2a+1bm2a+b恒成立,m(2a+b)2a+1bmin.(2a+b)2a+1b=5+2ba+2ab5+2×2ba×ab=9,当且仅当a=b时取等号.m的最大值等于9.应选C.6.设x>0,那么y=3-3x-1x的最值为. 答案:大3-23解析:x>0,3x+1x23.-3x+1x-23.y=3-3x-1x3-23.y有最大值3-23,当且仅当3x=1x时,即当x=33时等号成立.7.(2022河北邯郸三校联考,15)设x,y满足x+4y=40且x>0,y>0,那么lg x+lg y的最大值是. 答案:2解析:因为x,y满足x+4y=40且x>0,y>0,所以lg x+lg y=lg(xy)=lg(x·4y)-lg 4lgx+4y22-lg 4=lg 400-lg 4=2.当且仅当x=4y,即x=20,y=5时,等号成立.8.设常数a>0,假设9x+a2xa+1对一切正实数x成立,那么a的取值范围为. 答案:15,+解析:x>0,a>0,9x+a2x6a,当且仅当9x=a2x,即x=a3时取等号.从而由原不等式对x>0恒成立得6aa+1,a15.三、利用根本不等式解决实际问题9.(2022江西吉安联考,20)新余到吉安相距120 km,汽车从新余匀速行驶到吉安,速度不超过120 km/h,汽车每小时的运输本钱(单位:元)由可变局部和固定局部两局部组成:可变局部与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定局部为a元.(1)把全程运输本钱y(元)表示为速度v(km/h)的函数;并求出当a=50,b=1200时,汽车应以多大速度行驶,才能使得全程运输本钱最小;(2)随着汽车的折旧,运输本钱会发生一些变化,那么当a=1692,b=1200,此时汽车的速度应调整为多大,才会使得运输本钱最小.解:(1)由题意知,汽车从新余匀速到吉安所用时间为120v,全程本钱为y=(bv2+a)·120v=120bv+av,v(0,120.当a=50,b=1200时,y=1201200v+50v240·1200v·50v=120(当且仅当v=100时取等号).所以汽车应以100 km/h的速度行驶,能使得全程运输本钱最小.(2)当a=1692,b=1200时,y=1201200v+1692v,由双勾函数的单调性可知v=120时,y有最小值.所以汽车应以120 km/h的速度行驶,才能使得全程运输本钱最小.(建议用时:30分钟)1.0<x<1,那么x(3-3x)取最大值时x的值为()A.12B.34C.23D.25答案:A解析:0<x<1,1-x>0,那么x(3-3x)=3x(1-x)3×x+1-x22=34,当且仅当x=1-x,即x=12时取等号.2.以下结论正确的选项是()A.当x>0且x1时,lg x+1lgx2B.当x>0时,x+1x2C.当x2时,x+1x的最小值为2D.0<x2时,x-1x无最大值答案:B解析:选项A,当x(0,1)时,lg x<0,不满足根本不等式恒为正数的要求;选项B中满足“一正、二定、三相等的条件,是正确选项;选项C,当x>0时,x+1x2,等号成立的条件为x=1,当x2时,x+1x52(利用函数单调性处理);对于D,设f(x)=x-1x,那么f'(x)=1+1x2>0,函数为增函数,因而最大值为32.3.假设正数x,y满足x+3y=5xy,那么3x+4y的最小值是()A.245B.285C.5D.6答案:C解析:x+3y=5xy,15y+35x=1.3x+4y=(3x+4y)15y+35x=45+95+3x5y+12y5x135+23x5y·12y5x=135+125=5.当且仅当3x5y=12y5x,即x=2y时等号成立.4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,那么()A.a<v<abB.v=abC.ab<v<a+b2D.v=a+b2答案:A解析:v=21a+1b=2aba+b<2ab2ab=ab.因为2aba+b-a=2ab-a2-aba+b=ab-a2a+b>a2-a2a+b=0,所以2aba+b>a,即v>a.应选A.5.函数y=x-4+9x+1(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,那么a+b=()A.-3B.2C.3D.8答案:C解析:y=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5,因为x>-1,所以x+1>0,9x+1>0.所以由均值不等式得y=x+1+9x+1-52(x+1)×9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即(x+1)2=9,所以x+1=3,x=2时取等号,所以a=2,b=1,a+b=3,选C.6.函数y=loga(x-1)+1(a>0,且a1)的图象恒过定点A,假设点A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m,n>0,那么1m+2n的最小值为. 答案:8解析:由题意,得点A(2,1),那么1=2m+n,又m,n>0,所以1m+2n=2m+nm+2(2m+n)n=4+nm+4mn4+24=8.当且仅当nm=4mn,即m=14,n=12时取等号,那么1m+2n的最小值为8.7.x>0,那么xx2+4的最大值为. 答案:14解析:因为xx2+4=1x+4x,又x>0时,x+4x2x·4x=4,当且仅当x=4x,即x=2时取等号,所以0<1x+4x14,即xx2+4的最大值为14.8.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为元. 答案:1 760解析:设池底的长和宽分别为a,b,那么2ab=8,ab=4,总造价y=(2a+2b)×2×80+120ab=320(a+b)+480320×2ab+480=1 760(当且仅当a=b=2 m时取等号).9.设a,b,c都是正数,求证:12a+12b+12c1b+c+1c+a+1a+b.证明:a,b,c都是正数,1212a+12b12ab1a+b.同理可证1212b+12c1b+c,1212c+12a1c+a.三式相加得12a+12b+12c1b+c+1c+a+1a+b,当且仅当a=b=c时取等号.10.(如图)某村方案建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,温室内沿左右两侧与后墙内侧各保存1 m宽的通道,沿前侧内墙保存3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?解:设矩形的一边长为x m,那么另一边长为800xm,因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)m,长为800x-2m.由x-4>0,800x-2>0,得4<x<400,所以其面积S=(x-4)·800x-2=808-2x+3 200x808-22x·3 200x=808-160=648(m2).当且仅当2x=3 200x,即x=40(4,400)时等号成立.因此当矩形温室的两边长为40 m,20 m时蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是648 m2.
