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高等数学教案12 - ¥3.余项rn=s-sn=un+1+un+2+L.åaq=a+aq+aq+L+aq¥n2n-1: 例1.推断等比级数(几何级数) n=0+L (a¹0) 的敛散性 . a-aq解:q<1时，sn=， 1-q¥na，收敛，和为limsn=aqån®¥1-qn=0a.1-q -高等数学教案 - na-aqq>1时，sn=， 1-qlimsn=¥，åaq发散； n®¥nn=0¥¥nsn=¥，q=1时，sn=na，limn®¥n=0åaq发散.nq=-1时，ì0 , n为偶数limsn不存在，sn=í ，n®¥îa , n为奇数n=0åaq发散.n¥n+1例2推断级数åln是否收nn=1¥ -高等数学教案 - 敛，若收敛求其和.解: sn=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+ L+ln(n+1)-lnn =ln(n+1).P.3225sn=¥，所以原级数发散.由于limn®¥sn=11111(1-)+(-)+23235111L+(-) 22n-12n+111=(1-).22n+1 -高等数学教案 - 1sn=，所以原级数收敛 由于limn®¥24.收敛级数的性质: 假如åun收敛和为s，则åkunn=1n=1¥¥也收敛，其和为ks；若åun发散， n=1¥则åkun (k¹0)也发散.n=1¥假如åun、åvn均收敛，其和n=1n=1¥n=1¥¥s，分别为s、则å(un±vn)也收敛，其和为s±s. -高等数学教案 - 在级数中去掉、加上或变更有限项，不会变更级数的收敛性. 假如åun收敛，则对这级数n=1¥的项随意加括号后所成的级数 (u1+L+un)+(un+1+L+un)+L+ (un+1+L+un)+L 112k-1k也收敛，且其和不变.假如一个级数发散，则加括号后所成的级数可能收敛，也可能发散. 假如一个正项级数发散，则加 -高等数学教案 - 括号后所成的级数肯定发散. 级数收敛的必要条件: 若n=1un=0.åun收敛，则limn®¥¥例3证明调和级数 1111+L+L 23n是发散的.证: 假设调和级数收敛，部分 sn=s.和为sn，和为s，则limn®¥im(s2n-sn)=s-s=0. 一方面，ln®¥另一方面， -高等数学教案 - 111s2n-sn=+L+ n+1n+22n111>+L+ 2n2n2n1=， 2(s2n-sn)¹0，冲突，故调所以limn®¥和级数发散. 1P.由于调和级数å发散， n=1n¥1所以å也发散.n=13n¥14P225.由于级数ån是公比为 n=124225¥ -高等数学教案 - 11q=的几何级数，而q=<1，所22¥1¥1以ån收敛；由于级数ån是公比n=12n=1311为q=的几何级数，而q=<1，33¥1所以ån收敛.n=13¥1¥1由于ån与ån都收敛，所以n=12n=13¥11å(n+n)收敛.n=123§12.2 常数项级数的审敛法 -高等数学教案 - 1.正项级数: åun (un³0). n=1¥2.正项级数åun的部分和数列 n=1¥sn单调增加.3.正项级数åun收敛Û部分和 n=1¥数列sn有界.4.比较审敛法: 设åun、åvn都 n=1n=1¥¥是正项级数，且un£vn. 若åvn收敛，则åun收敛； n=1¥n=1¥¥¥ 若åun发散，则åvn发散.n=1n= 1 -高等数学教案 - 5.比较审敛法的推论: 设åun、 n=1n=1¥åvn都是正项级数. ¥n=1¥ 若åvn收敛，且存在自然数N，使当n³N时有un£kvn (k>0)成立，则åun收敛.n=1¥ 若åun发散，且存在自然数n=1¥N，使当n³N时有un£kvn (k>0)成立，则åvn发散.n= 1 -高等数学教案 - ¥例1.推断p-级数 1111+p+p+L+p+L 23n的敛散性.解: 当p£1时，由于1np³而å¥1发散，所以¥n=1nå1n=1np发散.当p>1时，对于级数 1+1112p+3p+L+np+L 加括号后: -高等数学教案 - 1n，1111111+(p+p)+(p+p+p+p)+L234567 它的各项均不大于级数 1111111+(p+p)+(p+p+p+p224444 11=1+p-1+p-1+L 24的对应项，而后一个级数是收敛的几何级数，所以级数 -高等数学教案 - 1111111+(p+p)+(p+p+p+p)+L2345671收敛，故正项级数åp收敛.n=1n¥1例2.推断级数ålnn的敛散性.n=12¥1111解: 由于lnn³logn=，而ånn=1n22¥1发散，所以ålnn发散.n=12¥1例3.推断级数ålnn的敛散性.n=13¥¥¥111解:由于ålnn=åln3，而åln3n=13n=1nn=1n¥1p=ln3>1，是p-级数，所以åln3n=1n¥1收敛，从而ålnn收敛.n=13¥ 2 -高等数学教案 - 例4.若正项级数åan与åbn均 n=1n=1¥¥收敛，则下列级数也收敛.åanbn；å(an+bn)； 2n=1n=1¥¥an.ån=1n¥证: 由于åan与åbn均收敛， n=1n=1¥¥所以å(an+bn)收敛，而n=1¥an+bn³2anbn， 故åanbn收敛. n=1¥由于 -高等数学教案 - (an+bn)=an+2anbn+bn，而åan、2¥n=1n=1¥åbn与åanbn均收敛，所以n=12¥¥å(an+bn)收敛.n=11由于åan与å2均收敛，所n=1n=1n¥11an以å(an+2)收敛，而an+2³2， n=1nnn¥an故å收敛.n=1n¥¥例5.若åan与åbn均收敛，且¥¥n=1n=1an£cn£bn，求证:åcn收敛. n= 1 -高等数学教案 - ¥证:由于åan与åbn均收敛，所n=1n=1¥¥以å(bn-an)收敛.n=1¥由于an£cn£bn，所以 ¥n=1¥bn-an³cn-an³0，而å(bn-an)收敛，故å(cn-an)收敛，而åan收敛，从n=1¥n=1而åcn收敛.n=1¥6.比较审敛法的极限形式: 设n=1åun、åvn均是正项级数， n=1¥¥ -高等数学教案 - ¥un=0，且åvn收敛，则若limn®¥n=1vnåun收敛.n=1¥¥un=l (0<l<+¥)，则åvn 若limn®¥n=1vn与åun同时收敛和同时发散.n=1¥un=+¥，且åvn发散，若limn®¥n=1vn¥则åun发散.n=1¥1例6.推断级数ån的敛散 n=1n×n¥ -高等数学教案 - 性. 1¥n1n×n解:由于l=lim，而=1ån®¥1n=1nn¥1发散，所以ån发散.n=1n×n¥1n+1例7.推断级数åln的敛 n-1n=2n散性. 1lnn+1nn-1解:由于l=lim=2，而n®¥12n¥¥11n+1收敛.å2收敛，所以ålnn-1n=2nn=2n -高等数学教案 - 例8.推断级数å(2-1)的敛散 nn=1¥性.解: 由于 nn2-12×ln2l=lim=lim=ln2n®¥n®¥11n， ¥¥1n而å发散，所以å(2-1)发散. n=1n=1n7.比值审敛法(达朗贝尔判别法): 设åun为正项级数，且n=1¥ -高等数学教案 - un+1lim=r.n®¥un 若r<1，则åun收敛； n=1¥ 若r>1或r=+¥，则åun发 n=1¥散； 若r=1，则åun可能收敛也 n=1¥可能发散. 1例9.推断级数å的敛散 n=1(n-1)!¥性. -高等数学教案 - 1n!=0<1解: 由于r=lim，n®¥1(n-1)!¥1所以å收敛.n=1(n-1)!¥n!例10.推断级数ån的敛散性.n=110: 由于(n+1)!n+1n+110r=lim=lim=+¥，所n®¥n®¥10n!n10¥n!以ån发散.n=110 -高等数学教案 - 解8.根值审敛法(柯西判别法): 设åun为正项级数，且n=1nu=r.limnn®¥¥ 若r<1，则åun收敛； n=1¥ 若r>1或r=+¥，则åun发 n=1¥散； 若r=1，则åun可能收敛也 n=1¥可能发散. 2n-1n例11.推断级数å()的 n=13n-1¥ -高等数学教案 - 敛散性.解: 由于 2n-1nn(r=lim)n®¥3n-12n()3n-1=limn®¥nn3n-1， 2n-1n所以å()收敛.n=13n-110.交织级数: ¥u1-u2+u3-u4+L， 或 -u1+u2-u3+u4-L， 其中u1，u2都是正数. -高等数学教案 - 11.莱不尼兹定理: 假如交织级数å(-1)un满意条件: n-1n=1¥ un³un+1； i¥mun=0， ln®则å(-1)un收敛，其和s£u1，其余n-1n=1¥项的肯定值rn£un+1.例12.推断级数å(-1)n=1¥n-11的敛 n散性 .解: 由于 -高等数学教案 - 11³，即un³un+1； nn+11=0，即limu=0 lim， nn®¥n®¥n¥n-11所以å(-1)收敛.n=1n12.肯定收敛: 假如åun收敛， n=1¥则称åun肯定收敛.n=1¥例如，级数å(-1)n=1¥n-11肯定收 2n敛.13.条件收敛: 假如åun收敛， n= 1 -高等数学教案 - ¥而åun发散，则称åun条件收敛.n=1n=1¥¥例如，级数å(-1)n=1¥n-11条件收敛. n¥n=114.假如随意项级数åun的肯定值收敛，则åun收敛. n=1¥1 证: 令Vn=(un+un)，21Wn=(un-un)，则un³Vn³0，2un³Wn³0. 由于åun收敛，所以åVn、åWnn=1n=1n= 1 -高等数学教案 - ¥¥¥均收敛，故å(Vn-Wn)=åun也收 n=1n=1¥¥敛.15.设åun是随意项级数，n=1¥un+1nu=r，假如lim=r或limnn®¥un®¥nr>1，åun发散，则åun发散.n=1n=1¥¥n例13.判别级数å(-1)是n+1n=1否收敛，若收敛是条件收敛，还 ¥n-1是肯定收敛. -高等数学教案 - 解: 由于lim(-1)n®¥以å(-1)n=1¥n-1n-1n¹0，所 n+1n发散.n+1¥1np例14.判别级数ånsin是否 5n=12收敛，若收敛是条件收敛，还是肯定收敛. ¥1np11£n，解: 由于nsin而ån 522n=121(是公比为q=<1的几何级数)2¥1np收敛，所以ånsin收敛，故 5n=1 2 -高等数学教案 - 1npånsin肯定收敛.5n=12¥1例15.判别级数å(-1)ln(1+)nn=1是否收敛，若收敛是条件收敛， ¥n还是肯定收敛. 11解: 由于ln(1+)<ln(1+)，而 n+1n1limln(1+)=0，所以交织级数n®¥n¥1nå(-1)ln(1+) 收敛. n=1n由于 -高等数学教案 - 1(-1)ln(1+)1 nlim=limnln(1+)n®¥n®¥1nnn1n=limln(1+) n®¥n=1， ¥1¥1n而å 发散，所以å(-1)ln(1+) 发n=1nn=1n¥1n散，故å(-1)ln(1+) 条件收敛.n=1n§12.3 幂级数 1.区间I上的函数项级数: u1(x)+u2(x)+L+un(x)+L. -高等数学教案 - 对于x=x0ÎI，常数项级数 u1(x0)+u2(x0)+L+un(x0)+L ¥n=1收敛，则称x0为åun(x)的收敛点.收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域.2.(x-x0)的幂级数: n=0åan(x-x0)¥n=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0) 2n+L+an(x-x0)+L -高等数学教案 - 3.x的幂级数: n=0åanx=2n¥na0+a1x+a2x+L+anx+L.4.阿贝尔定理: 假如åanx当 nn=0¥则当x<x0x=x0 (x0¹0)时收敛，时åanx肯定收敛.反之，假如nn=0n=0¥¥åanx当x=x0时发散，则当nx>x0时åanx发散. nn=0¥ 5.阿贝尔定理的推论: 假如 -高等数学教案 - n=0åanx不是仅在x=0一点收敛，n¥也不是在整个数轴上收敛，则存在R>0，使得 当x<R时，幂级数肯定收敛； 当x>R时，幂级数发散； 当x=R与x=-R时，幂级数可能收敛也可能发散. )为 称R为收敛半径，称(-R , R )、收敛区间，收敛域是(-R , R-R , R)、(-R , R或-R , R这四 -高等数学教案 - 个区间之一 (由x=±R处的收敛性确定). 规定幂级数仅在x=0处收敛时R=0，幂级数对一切x都收敛时R=+¥.6.对于幂级数åanx，假如 nn=0¥an+1lim=r，则 n®¥an -高等数学教案 - ì1 , r¹0且r¹ïrïR=í+¥ , r=0 ,ï0 , r=+¥ .ïî (-1)x例1.求å的收敛域.n=1nn(-1)n+1=1解: 由于r=lim，所n-1n®¥(-1)n1以R=1.¥n-1nr -高等数学教案 - (-1)x1当x=-1时，å=å(-)nnn=1n=1发散. ¥(-1)n-1xn¥(-1)n-1当x=1时，å=ånnn=1n=1¥(-1)n-1xn条件收敛.因此，å的收 nn=1敛域为(-1 , 1.¥n1例2.求å2(3x) 的收敛域.n=01+nn¥¥nn13解: å2(3x)= å2x.n=01+nn=01+n¥¥n-1n -高等数学教案 - 321+(n+1)r=lim=3nn®¥321+nn+1， 1R=.31当时，x=-3¥¥(-1)nn1(3x)= 肯定收敛.åå22n=01+nn=01+n1当时，x=3¥¥n11å2(3x)= å2收敛. n=01+nn=01+n¥n1因此，å的收敛域为(3x) 2n=01+n -高等数学教案 - 11- , .33(-1)n例3.求å2(x-3) 的收敛n=1n¥n域.解: 令x-3=t，则 (-1)(-1)nnå2(x-3)= å2t.n=1nn=1n¥(-1)nn对于， å2tn=1nn+1(-1)2(n+1)r=lim=1R=1，.nn®¥(-1)2n¥¥ -高等数学教案 - nn(-1)n1当t=-1时， å2t=å2收n=1nn=1n¥¥n敛. (-1)n¥(-1) å2t=å2绝当t=1时，n=1nn=1nn¥(-1)n对收敛.因此， å2t的收敛 n=1nn¥(-1)n区间为-1 , 1，故å2(x-3) n=1n的收敛域为2 , 4.¥2n+11例4.求ånx 的收敛域.n=03¥nn -高等数学教案 - 1x2(n+1)+1n+1213=x解: lim. n®¥1x2n+13n321令x<1，得-3<x<3，收3敛半径为R=3.发散.散. 2n+11当x=-3时，ånx= å-3n=03n=0¥¥2n+11当x=3时，ånx= å3发n=03n=0¥¥2n+11因此，ånx 的收敛域为n=03(-3 , 3).¥ -高等数学教案 - 7.幂级数的运算: s(x)=åanxn=0¥nn=0¥n和s(x)=åbnx的收敛半径分别为R和R¢，则 n=0¥¥¥åanx±nnn=0åbnx=nn=0å(an±bn)x=s(x)±s(x) 的收敛半径为R=minR , R¢.8.幂级数的性质: åanx的和函数s(x)在其收nn=0¥敛域I上连续. -高等数学教案 - åanx的和函数s(x)在其收nn=0¥敛域I上可积，并有逐项积分公式 ò0s(x)dx=ò0åanxdxn=0xx(¥n)=åò0anxdx nn=0¥xann+1=åx (xÎIn=0n+1¥， ann+1¥nx与åanx的收敛半径相ån=0n=0n+1同.¥ -高等数学教案 - åanx的和函数s(x)在其收nn=0¥敛区间 (-R , R)内可导，并有逐项求导公式 ¢¥¥nns¢(x)=åanx=å(anx)¢ (n=0)n=0 =ånanx (x<R)， n-1n=1n=1¥ånanx¥n-1与åanx的收敛半径相 nn=0¥同. n1例5.求åx的和函数.n=1n¥ -高等数学教案 - 1n+1R=1.=1解: r=lim， n®¥1n¥¥n1n1当x=-1时，åx=å(-1)收nn=1n=1n敛. n11当x=1时，åx=å发散.因 n=1nn=1n¥n1此，åx的收敛域为-1 , 1).n=1n¥n1令s(x)=åx (-1£x<1)，则 n=1n¢¥¥nn11s¢(x)=åx=å(x)¢n=1nn=1n¥¥() -高等数学教案 - =åx n-1n=1¥1= (-1<x<1).1-xs(x)=ò x 0s¢(x)dx+s(0) =òx10dx+0 =-1ln(-1x-x) (-1£x<1).例6.求å¥1xn+1在其收敛n=1n-1 , 1)上的和函数.解å¥1xn+1=xå¥1xn=x×-ln(1-x) n=1nn=1n -高等数学教案 - : 域 =-xln(1-x)xÎ-1 , 1). 例7.求å(n+1)x在其收敛域 nn=1¥(-1 , 1)上的和函数.解: 令s(x)=å(n+1)x，则 nn=1¥ò0s(x)dx=åò0(n+1)xdx nn=1x¥x=åx n+1n=1¥x= 1-x (-1<x<1). -高等数学教案 - 2s(x)=ò 0s(x)dx¢ xx=()¢ 1-x22x-x=2(1-x) (-1<x<1). 2例8.求ånx在其收敛域(-1 , 1)nn=1¥上的和函数.解: ånx=ånx+åx-åx nnnnn=1n=1n=1nn=1n¥¥¥¥=å(n+1)x-åx n=1n=1¥¥ -高等数学教案 - 2x-xx= -2(1-x)1-xx .(-1 , 1)=2(1-x)2例9.求å(n+2)x在其收敛区 nn=1¥间(-1 , 1)上的和函数.解n=1: ¥nn=12å(n+2)x=å(n+1)x+åx nnn=1¥¥2x-x=2(1-x)x +1-x -高等数学教案 - 3x-2x=2(1-x)2 (-1 , 1).§12.4 函数绽开成幂级数 1.设f(x)在x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，幂级数 ¢¢(x0)f2f(x0)+f¢(x0)(x-x0)+(x-x0) 2!f(x0)n+L+(x-x0)+L n!称为f(x)的泰勒级数. (n) 假如泰勒级数收敛于f(x)，则 -高等数学教案 - 高等数学教案12 高等数学教案 高等数学电子教案12 高等数学教案ch 8.48.8 高等数学教案ch 9 重积分 高等数学教案ch 11 无穷级数 高等数学教案ch 8.2 偏导数 高等数学上教案 10011023高等数学12(经管)大纲 高等数学 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第20页 共20页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页