九年级数学下册 7.3特殊角的三角函数教材深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+知识整合+能力提升评估pdf） 新人教版.pdf
特殊角的三角函数学 习 目 标 导 航知道 、 、 等特殊角的三角函数值, 并会求一些简单的含有特殊角的三角函数的表达式的值能根据特殊锐角的正弦值和余弦值知道该锐角的大小教 材 知 识 详 析要点熟记特殊锐角 、 、 的三角函数值() 利用特殊的直角三角形来对特殊锐角 、 、 的三角函数值进行理解记忆;() 利用表格把特殊锐角的三角函数值按一定规律记忆例填写下列表格:三角函数值三角函数 s i nc o st a n精析: 这些特殊锐角三角函数应熟练记忆解答:三角函数值三角函数 s i nc o st a n 、 、 的正弦值的分母可以全看成、 分子依次为,; 、 、 的余弦值的分母可以全看成、 分子依次为,; 、 、 的正切值逐渐增大, 且 与 的正切值互为倒数要点应用特殊锐角 、 、 的三角函数值进行有关运算() 特殊角的三角函数在中考中主要是考查基本运算, 常以计算题出现;() 把特殊角的三角函数值融入到二次根式、 一元二次方程等其他的知识体系中进行检测, 是当今中考命题的着眼点例计算:s i n c o s t a n t a n c o s 精析: 此题主要考查特殊三角函数值的记忆情况, 熟悉记牢即可解答: 原式 例计算:c o s t a n s i n 精析: 本题依然考查特殊三角函数值的记忆情况, 熟悉记牢即可解答:对于特殊角的三角函数值, 必须熟练准确地记住, 记忆时可借助三角板上的直角三角形拉 分 典 例 探 究综合应用例( 要点) 在A B C中, 若t a nA ,s i nB, 则A B C的形状是()A等腰三角形B等腰直角三角形C直角三角形D一般锐角三角形精析:熟记特殊角的三角函数值, 可以逆用特殊值求得角的度数解答:B技法规律: 对特殊角的三角函数值记忆不牢, 导致“ 张冠李戴”例( 要点,) 在一次数学活动中, 李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪, 去测量学校内一座假山的高度C D如图() , 已知李明距假山的水平距离B D为 m, 他的眼睛距地面的高度为 m, 李明的视线经过量角器零刻度线O A和假山的最高点C, 此时, 铅垂线O E经过量角器的 刻度线, 则假山的高度为()()()图 A( )mB( )mC( )mD m精析: 如图() , 过点A作A FC D于点F, 则A FB D m,F DA B m再由O EC F可知CA O E 所以, 在R t A C F中,C FA Ft a n m, 那么C DC FF D( )m解答:A技法规律: 通过作高将问题转化为解直角三角形问题是解答关键, 其间需要具有良好的阅读理解能力, 能将对应线段和角之间的关系理清例( 要点,) 如图, 一艘货轮在A处发现其北偏东 方向有一海盗船,立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号, 并向海警舰靠拢, 海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援, 此时距货轮 海里, 并测得海盗船位于海警舰北偏西 方向的C处图 ()() 求海盗船所在C处距货轮航线A B的距离;() 若货 轮 以 海 里/时 的 速 度 向A处 沿 正 东 方 向 海 警 舰 靠 拢, 海 盗 以 海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截, 问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮? ( 结果保留根号)精析: () 由条件可知A B C为斜三角形, 所以作A C上的高, 转化为两个直角三角形求解() 求得海盗船到达D处的时间, 用B D的长度除以求得的时间即可得到结论解答: () 作C DA B于点D,图 ()在直角三角形AD C中,C AD ,ADC D在直角三角形C D B中,C B D ,D CB D t a n B D C DADB DC D C D ,C D ()()海盗以 海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截,海盗到达D处用的时间为 () ()警舰的速度应为 () () 千米/时技法规律: 本题考查了学生把实际问题转化为数学问题的能力以及利用方程思想求值的能力, 在解直角三角形的过程中, 作垂线构造直角三角形是常用的方法, 这就要求学生不仅要会读题, 还要会看图例( 要点) 如图 , 某高速公路建设中需要确定隧道A B的长度在离地面 m高度C处的飞机上, 测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为 和 求隧道A B的长( 参考数据: )精析: 由于条件中具有特殊角 、 、 , 因而可以利用这些特殊角构造直角三角形, 从而使问题得到解决解答: 在R t O A C中,O A t a n ,O BO C ,A B (m)故隧道A B的长约为 m归纳演绎: 正确识别 、 所在的直角三角形是解决此题的关键探究创新例( 要点) 求t a n 的值精析: 方法一: 如图 () , 根据 角来构造 角, 可以把 角当作外角, 延长C A至点D, 使ADA B, 此时D , 再结合定义求t a n 方法二: 如图 () , 作B A C的平分线, 构造 角, 再结合勾股定理等知识求解()()图 解答: 解法一: 如图 () , 画一个直角三角形, 使B A C ,C ,延长C A至点D, 使DAA B, 则D , 令B C, t a n B CA C,A C 根据A BB Cs i n , 可知DA,D C t a n B CD C 解法二: 如图 () , 作B A C的平分线AD交B C于点D, 再作D EA B,垂足为E, 令B C,则易求得A C ,A B, 再令D Cx,AD平分B A C, 且D EA B,D CA C,D ED Cx,A EA C B E B Dx, 在R t B E D中, 根据勾股定理, 得B ED EB D(x)( )x解得x t a n D CA C 归纳演绎: 本例除需要熟记特殊角的三角函数值外, 还需注意与其他知识点的结合, 否则不易完成误 区 警 醒【 误区】混淆特殊角的三角函数值导致出错例计算: c o s t a n 错解: 原式 正解: 原式警醒: 结合特殊角的三角函数值进行实数的综合运算, 是各地中考题中常见的计算题型学生往往因记错一个特殊角的三角函数值导致计算出错, 解决的关键是熟记特殊角的三角函数值知 能 提 升 训 练夯基固本( 要点)s i n 的值是()ABCD ( 要点,) 若t a n , 且为锐角, 则c o s等于()ABCD( 第题)( 要点,) 如图是教学用的直角三角板, 边A C c m,C ,t a n B A C, 则边B C的长为()A c mB c mC c mD c m( 要点,)如图所示, 在数轴上点A所表示的数x的范围是()( 第题)As i n xs i n B c o s xc o s Ct a n x t a n Dc o t xc o t ( 要点) 在R t A B C中,C ,A , 则s i nB,t a nA( 要点) 观察下列等式s i n ,c o s ;s i n ,c o s ;s i n ,c o s 根据上述规律, 计算s i ns i n( )( 要点) 如图, 以O为圆心, 任意长为半径画弧, 与射线OM交于点A, 再以A为圆心,A O长为半径画弧, 两弧交于点B, 画射线O B, 则c o sA O B的值等于( 第题)( 第题)( 要点,) 如图, 在R t A B C中,A B C ,A C B , 将A B C绕点A按逆时针方向旋转 后得到A BC,BC交A C于点D, 如果AD , 则A B C的周长等于综合应用( 要点) 计算:()t a n c o s t a n t a n ;()s i n c o s t a n t a n t a n ;()t a n s i n c o s ;() c o s s i n ()( ) ( 要点) 已知是锐角, 且s i n( )计算 c o s( )t a n()的值 ( 要点) 超速行驶是引发交通事故的主要原因之一上周末, 小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速, 如图, 观测点设在A处, 离益阳大道的距离(A C) 为 米这时, 一辆小轿车由西向东匀速行驶, 测得此车从B处行驶到C处所用的时间为秒,B A C () 求B、C两点的距离;() 请判断此车是否超过了益阳大道 千米/小时的限制速度?( 计算时距离精确到米, 参考数据:s i n ,c o s ,t a n , , 千米/小时 米/秒)( 第 题)探究创新 ( 要点,) 某广告公司在甲建筑物上从点A到点E挂上了一个长条幅, 某同学站在乙楼顶部测得条幅顶端点A的仰角为 , 测得条幅底端点E的俯角为 ( 如图) , 由此他认为自己可以求出条幅A E的长了你的看法如何? 如果你认为仅由上述数据无法确定条幅A E的长度的话, 你认为还需要一个什么条件? 不妨把你认为需要的条件补上后, 确定出条幅A E的长( 注意: 你所补充的条件必须符合题意)( 第 题)( 第 题) ( 要点,) 校车安全是近几年社会关注的重大问题, 安全隐患主要是超载和超速某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验: 先在公路旁边选取一点C, 再在笔直的车道l上确定点D, 使C D与l垂直, 测得C D的长等于 米, 在l上点D的同侧取点A、B, 使C AD ,C B D () 求A B的长; ( 精确到 米, 参考数据: , )() 已知本路段对校车限速为 千米/小时, 若测得某辆校车从A到B用时秒, 这辆校车是否超速? 说明理由 答案全析全解 BA C D () 原式 ;() 原式 ;() 原式 ;() 原式 由s i n( ), 得 原式 () 解法一:t a nA B CA CB C, 在R tA B C中,A C B ,B A C ,A C , B CA Ct a nB A C t a n ( 米)解法 二: 在B C上 取 一 点D, 连 接AD, 使D A BB, 则ADB D,B A C ,D A BB ,C DA 在R tA C D中,A C D ,A C ,C DA ,AD ,C D ,B C ( 米)() 此 车 速 度 ( 米/秒) ( 米/秒) ( 千米/小时) ,此车没有超过限制速度( 第 题) 仅由该同学提供的信息无法求出条幅的长度, 要想求出条幅的长度需补充的条件可以是:C与D之间的距离为 (m)( 第 题)如图, 过 点B作B FA C, 垂 足 为F, 则B FC D m,由t a n E FB F,所以E FB Ft a n t a n (m)又t a n A FB F,所以A FB F (m)故A EA FE F (m) () 由题意, 得在R t AD C中,ADC Dt a n ,在R tB D C中,B DC Dt a n ,所以A BADB D ( 米)() 汽车从A到B用时秒,所以 速 度 为 ( 米/秒)因为 ,所以该车速度为 千米/小时大于 千米/小时,所以此校车在A B段超速迷 你 数 学 世 界韩 信 点 兵韩信点兵又称为中国剩余定理, 相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说, 每人一列余人、人一列余人、人一列余人、 人一列余人刘邦茫然而不知其数我们先考虑下面的问题: 假设兵不满一万, 每人一列、人一列、 人一列、 人一列都剩人, 则兵有多少? 首先我们先求, , 之最小公倍数 ( 注: 因为, , 为两两互质的整数, 故其最小公倍数为这些数的积) , 然后再加, 得 ( 人)中国有一本数学古书 孙子算经 也有类似的问题: 今有物, 不知其数, 三三数之, 剩二; 五五数之, 剩三; 七七数之, 剩二; 问物几何? 答曰: 二十三术曰: 三三数之剩二, 置一百四十; 五五数之剩三, 置六十三;七七数之剩二, 置三十; 并之, 得二百三十三, 以二百一十减之, 即得凡三三数之剩一, 则置七十; 五五数之剩一, 则置二十一; 七七数之剩一, 则置十五, 即得 孙子算经 的作者及确实著作年代均不可考, 不过根据考证, 著作年代不会在晋朝之后, 以这个考证来说上面这种问题的解法, 中国人发现得比西方早, 所以这个问题的推广及其解法, 被称为中国剩余定理中国剩余定理(C h i n e s eR e m a i n d e rT h e o r e m) 在近代抽象代数学中占有非常重要的地位P 练习() 原式() 原式 C DA B,B C,B D ,c o sBB DB CB 又A C B ,A 又C DA B,A C D B C D P 习题 () 原式 () 原式() 原式() c o s,c o s () s i n ,s i n 在R tA B C中,B C c m,B A C , t a n B CA C, 即 A CA C c m又DA C ,c o s A CAD, 即 ADAD c m
