高中数学 2.3平面向量的基本定理及坐标表示教学设计 新人教A版必修4.docx
高中数学 2.3平面向量的基本定理及坐标表示教学设计 新人教A版必修4 2.3平面对量的基本定理及坐标表示教学设计 【教学目标】 1了解平面对量基本定理； 2理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步驾驭应用向量解决实际问题的重要思想方法； 3能够在详细问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.【导入新课】 复习引入： 1 实数与向量的积 实数与向量a的积是一个向量，记作：a.（1）|a|=|a|；（2）>0时，a与a方向相同； 3.向量共线定理 rrrr向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使b=a.新授课阶段 一、平面对量基本定理：假如e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a=1e1+2e2.探究： (1) 我们把不共线向量、叫做表示这一平面内全部向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a在给出基底、的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一.1，2是被a，e1，e2唯一确定的数量. 二、平面对量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为rrr 1 基底.任作一个向量a，由平面对量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 1 a=xi+yj1我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作 2 a=(x,y)2 2其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，2式叫做向量的坐标表示.与a相等的向量的坐标也为(x,y).特殊地，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0).如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定.设OA=xi+yj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面对量都是可以用一对实数唯一表示. 三、平面对量的坐标运算 （1）若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2,y1-y2).两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i、j，则a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2,y1+y2)，同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2). （2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=(x2-x1,y2-y1).一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB=OB-OA=( x2，y2) -(x1，y1)= (x2- x1，y2- y1).（3）若a=(x,y)和实数l，则la=(lx,ly).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i、j，则la=l(xi+yj)=lxi+lyj，即la=(lx,ly). 2 例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标.例2 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2，1)，B(-1，3)， C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD时，由AB=DC，得D1=(2，2).当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(-6，0).例4 已知三个力F1(3，4)， F2(2，-5)，F3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标.解：由题设F1+F2+F3=0，得：(3，4)+ (2，-5)+(x，y)=(0，0)， 即：íì3+2+x=0,ìx=-5, í F3(-5，1).4-5+y=0,y=1.îîrrrrrrrr例5 已知a=(2,1), b=(3,4),求ab，ab，3a4b的坐标.rr解：ab（2,1）+（-3,4）=(1，5)， rrab（2,1）-（-3,4）=(5，3)， rr3a4b3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(6，19).点评：利用平面对量的坐标运算法则干脆求解.例6 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D的坐标.解：设点D的坐标为（x,y）, AB=(-1,3)-(-2,1)=(1,2), DC=(3,4)-(x,y)=(3-x,4-y), 且AB=DC,(1,2)=(3-x,4- y). 即 3- x=1,4-y=2.解得x=2,y=2.所以顶点D的坐标为（2，2）. 3 另解：由平行四边形法则可得 BD=BA+BC =(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3) =(3,-1), OD=OB+BD =(-1,3)+(3,-1)=(2,2). 例7 经过点M(-2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A,B，且|AB|=3|AM|，求点A,B的坐标.解：由题设知，A,B,M三点共线，且|AB|=3|AM|，设A(x,0),B(0,y)， 点M在A,B之间，则有AB=3AM， (-x,y)=3(-2-x,3).解之得：x=-3,y=3， 点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,3).点M不在A,B之间，则有AB=-3AM，同理，可求得点A,B的坐标分别为(-3,0)， 2(0,-9).综上，点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,3)或(-3,0)，(0,-9).2例8.已知三点A(2,3),B(5,4),C(7,10)，若AM=lAB-AC，试求实数l的取值范围，使M落在第四象限.解：设点M(x,y)，由题设得(x-2,y-3)=(3l,l)-(5,7)=(3l-5,l-7)， x=3l-3,y=l-4， 要使M落在第四象限，则x=3l-3>0,y=l-4<0， 解之得1<l<4.例8 已知向量a=(8,2),b=(3,3),c=(6,12),p=(6,4)，问是否存在实数x,y,z同时满意两个条件：(1)p=xa+yb+zc;(2)x+y+z=1？假如存在，求出x,y,z的值；假如不存在，请说明理由. 4 1ìx=,ï2ì8x+3y+6z=6,ï1ïï解：假设满意条件的实数x,y,z存在，则有í2x+3y+12z=4,解之得：íy=, 3ïx+y+z=1.ïî1ïz=.ï6î满意条件的实数x=课堂小结 （1）理解平面对量的坐标的概念； （2）驾驭平面对量的坐标运算； （3）会依据向量的坐标，推断向量是否共线.作业 见同步练习 拓展提升 1.设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（ ） A.e1，e2 B.e1+e2，e2 C.e1，2e2 D.e1，e1+e2 2.设e1,e2是同一平面内全部向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（ ） A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-2e2和4e1-6e2 C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1+e2和e2 111,y=,z=.236rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr3.已知e1,e2不共线，a =l1e1+e2，b=4 e1+2e2，并且a，b共线，则下列各式正确的是（ ） A.l1=1， B.l1=2， C.l1=3， D.l1=4 rrrrrr4.设AB=a+5b，BC=-2a+8b，CD=3a-3b，那么下列各组的点中三点肯定共线的是（ ） A.A，B，C B.A，C，D C.A，B，D D.， 下列说法中，正确的是（ ） 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内全部向量的基底； 一个平面内有多数多对不共线的向量可作为表示该平面内全部向量的基底； 零向量不行作为基底中的向量. 已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是（ ） l1e1+l2e2（l1，l2为实数）可以表示该平面内全部向量； rrrrrrr若有实数l1，l2使l1e1+l2e20，则l1l2. 以上都不对 rr已知的边上的中线，若ABa，ACb，则AM（ ） rrrr11aa（ b） （ b） 22rrrr11（ ab） （ ab） 22rr已知是正六边形，ABa，AEb，则BC（ ） rrrr11（ a b） （ a b） 22r1rrr1ab （ ab） 22rrrrrrrrr假如e1+e2a，e1+e2b，其中a，b为已知向量，则e1 ，re2 .已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，且ABe1+e2，CBe1+e2，CDe1e2，假如，三点共线，则的值为 .rrrrrrrrrrrrrrrr当为何值时，向量ae1+e2，be1e2共线，其中e 1、e2是同一平面内两个不共线的向量. rrrrrrr已知：e 1、e2是不共线的向量，当为何值时，向量ae1+e2与be1e2共线？ r 6 参考答案 1C 2.B 3.B 4.C 5C 6.C 7.D 8.D 9.2a+3b,11 12.k=2 79a-b 10.8 44 8 中学数学 2.3平面对量的基本定理及坐标表示教学设计 新人教A版必修4 中学数学 2.3.4平面对量共线的坐标表示教案 新人教A版必修4 中学数学必修4教案 平面对量基本定理、平面对量的正交分解和坐标表示及运算 中学数学 第2章 平面对量 2.3 向量的坐标表示学案苏教版必修4 教案精品新课标中学数学人教A版必修四全册教案2.3平面对量基本定理及坐标表示(三) 教案精品新课标中学数学人教A版必修四全册教案2.3平面对量基本定理及坐标表示(二) 中学数学 其次章平面对量的正交分解和坐标表示及运算教案 新人教A版必修4 中学数学 其次章 平面对量向量的概念教学设计 新人教B版必修4 北师大版中学数学(必修4)2.6平面对量数量积的坐标表示教案 中学数学必修4平面对量复习5正弦定理余弦定理 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页
