【创新设计】2011届高三数学一轮复习 7-6空间向量及其运算课件 理 苏教版.ppt

第第6 6课时空间向量及其运算课时空间向量及其运算 1理理解直线的方向向量与平面的法向量解直线的方向向量与平面的法向量2能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理包括三垂线定理)4能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面夹角的计算问题能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面夹角的计算问题5了解向量方法在研究几何问题中的作用了解向量方法在研究几何问题中的作用【命题预测】【命题预测】 1以向量为载体，运用向量的线性运算，尤其数量积的应用，证明平行、垂直以向量为载体，运用向量的线性运算，尤其数量积的应用，证明平行、垂直问题，是高考的热点问题，是高考的热点2以各种题型，尤其是以解答题为主进行考查，利用空间向量数量积求解相应以各种题型，尤其是以解答题为主进行考查，利用空间向量数量积求解相应几何问题几何问题3预测预测2011年高考将利用向量的数量积的有关知识解决几何问题年高考将利用向量的数量积的有关知识解决几何问题【应试对策】【应试对策】 1空间向量的概念及其运算是从平面向量延伸过来的，要通过类比的方法来掌空间向量的概念及其运算是从平面向量延伸过来的，要通过类比的方法来掌握在进行空间向量的线性运算时可以沿用平面向量的线性运算的方法进握在进行空间向量的线性运算时可以沿用平面向量的线性运算的方法进行空间向量的基本定理与平面向量的基本定理相比较，只是多了一维在行空间向量的基本定理与平面向量的基本定理相比较，只是多了一维在进行向量分解时，常进行三个方向的分解进行向量分解时，常进行三个方向的分解2空空间向量的坐标、空间点的坐标是进行空间向量运算的基础坐标的求法与平间向量的坐标、空间点的坐标是进行空间向量运算的基础坐标的求法与平面坐标的求法相似空间向量的数乘，设面坐标的求法相似空间向量的数乘，设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，那么那么k ka(k kx1，k ky1，k kz1)，是判断两个向量共线的依据空间向量平行的充要，是判断两个向量共线的依据空间向量平行的充要条件：对非零向量条件：对非零向量a和和b有有abak kb(x1，y1，z1)k k(x2，y2，z2)x1y2x2y1，x1z2x2z1，y1z2y2z1三个等式中有两个成立三个等式中有两个成立对应坐标成比例对应坐标成比例3空空间向量的数乘，是证明线线平行、线面平行、面面平行的依据空间向量的间向量的数乘，是证明线线平行、线面平行、面面平行的依据空间向量的数量积，是解决线线垂直、线面垂直、面面垂直的依据常用公式数量积，是解决线线垂直、线面垂直、面面垂直的依据常用公式cosa，b进行线线角的求解，并运用本公式以及平面的法向量进行线线角的求解，并运用本公式以及平面的法向量进行线面角、面面角的求解，两个向量垂直进行线面角、面面角的求解，两个向量垂直abab0.【知识拓展】【知识拓展】 用向量的有关知识解综合题用向量的有关知识解综合题(1)对空间向量有如下结论对空间向量有如下结论ab表示以a、b为方向向量的直线平行或重合为方向向量的直线平行或重合a平面表示以表示以a为方向向量的直线与平面为方向向量的直线与平面平行或在平面平行或在平面内内共面向量定理共面向量定理：如果两个向量如果两个向量a、b不共线不共线，则向量则向量 p 与 a、b 共面共面存在实数存在实数对对 x、y 使使 pxayb.空间向量基本定理空间向量基本定理：若向量若向量 a、b、c 不共面不共面，则空间任一向量则空间任一向量 p，存在唯一的存在唯一的有序实数组有序实数组 x、y、z ，使使 pxaybzc.利用上述性质，可顺利地处理立体几何中的线线平行、线面平行等问题利用上述性质，可顺利地处理立体几何中的线线平行、线面平行等问题(2)常常见空间关系与向量运算之间的关系见空间关系与向量运算之间的关系利用利用abab0来求证线线垂直来求证线线垂直利用利用ab|a|b|cos，求，求cos ，求两直线的夹角，求两直线的夹角利用利用|a|2aa，求解有关线段的长度问题或利用，求解有关线段的长度问题或利用 (其中，其中， a，e是与是与l同方向的单位向量同方向的单位向量)，求求 在在l上的射影长上的射影长(3)向量作为沟通向量作为沟通“数数”和和“形形”的桥梁，是利用数形结合解题的一种重要载的桥梁，是利用数形结合解题的一种重要载体因此，我们必须掌握向量运算的各种几何意义，才能较好地利用向量这一工体因此，我们必须掌握向量运算的各种几何意义，才能较好地利用向量这一工具来解决一些实际问题具来解决一些实际问题1空间向量空间向量(1)在在空间，既有大小又有方向的量，叫做空间，既有大小又有方向的量，叫做 (2)运算律运算律abba；(ab)ca(bc)；(ab)ab(R)2共线向量共线向量(1)如如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做叫做 或或 (2)共线向量定理：对空间任意两个向量共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a0)，b与与a共线的充要条件是存共线的充要条件是存在实数在实数，使，使ba.空间向量空间向量共线向量共线向量平行向量平行向量3共面向量共面向量(1)能平移到同一平面内的向量叫做能平移到同一平面内的向量叫做 向量向量(2)共面向量定理：如果两个向量共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量不共线，那么向量p与向量与向量a，b共面的共面的充要条件是存在有序实数组充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得，使得p .这就是说，向量这就是说，向量p可以可以由两个不共线的向量由两个不共线的向量a，b线性表示线性表示共面共面xayb4空间向量基本定理空间向量基本定理(1)空空间向量基本定理：如果三个向量间向量基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对于空间任一向不共面，那么对于空间任一向量量p，存在唯一的有序实数组，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使，使p .(2)基向量：如果三个向量基向量：如果三个向量e1，e2，e3不共面，我们把不共面，我们把e1，e2，e3称为空间的称为空间的一个一个 ，e1，e2，e3叫做叫做 如果空间的一个基底的三个基向量是两如果空间的一个基底的三个基向量是两两互相垂直的，那么这个基底叫做两互相垂直的，那么这个基底叫做 基底当一个正交基底的三个基向量基底当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为都是单位向量时，称这个基底为 基底基底(3)空间向量基本定理推论：设空间向量基本定理推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一是不共面的四点，则对空间任一点点P，都存在惟一的有序实数组，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得，使得 基底基底基向量基向量正交正交单位正交单位正交xe1ye2ze3思考：思考：对空间任意一点对空间任意一点O，若，若 且且xy1，则，则P，A，B三点三点共线吗？共线吗？提示：提示：P，A，B三点共线三点共线 ， P，A，B三点共线三点共线5两个向量的数量积两个向量的数量积非零向量非零向量a、b的数量积的数量积ab|a|b|cosa，b(1)向量的数量积的性质：向量的数量积的性质：ae ，e为单位向量为单位向量；ab ；|a|2 .(2)向量的数量积满积满足如下运算律：(a)b ；ab (交换换律)；a(bc) (分配律)|a|cosa，eab0aa(ab)baabac6空间向量的直角坐标运算空间向量的直角坐标运算设设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则则ab( )；ab( )；ab ，特殊地特殊地aa ；ab ab ；A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2) a1b1，a2b2，a3b3a1b1，a2b2，a3b3a1b1a2b2a3b3(x2，y2，z2)(x1，y1，z1)(x2x1，y2y1，z2z1)a1b1，a2b2，a3b3(R，b0)a1b1a2b2a3b30(a0，b0)7向量向量a与与b的夹角的夹角设设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则则cosa，b8.两点距离公式两点距离公式设设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间两点，为空间两点，则则 1在在长方体长方体ABCDA1B1C1D1中，若中，若E为矩形为矩形ABCD对角线的交点，则对角线的交点，则 中的中的x、y值应为值应为x_，y_.答案：答案：2已已知知e1、e2、e3为两两垂直的三个向量，并且实数为两两垂直的三个向量，并且实数x、y、z满足满足xe1ye2ze3，则，则xyz_.解析：解析：假设假设x0，则，则e1 ，e1、e2、e3共面，这与共面，这与e1、e2、e3不共不共面矛盾面矛盾x0.同理同理y0， z0. x y z= =0.答案：答案：03若若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，且，且ab，求，求x，y.解：解：ab， ， 4已知已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4，1)，求向量，求向量 的夹角的夹角解：解： (0,3,3)， (1,1,0) 向向量量 的夹角为的夹角为60.5已已知知a(2,3，1)，b(2,1,3)，则以，则以a、b为邻边的平行四边形的面积是为邻边的平行四边形的面积是_解析：解析：|a| ，|b| ，ab4，cosa，bsina，b 以以a、b为邻边的平行四边形面积为邻边的平行四边形面积S|a|b|sina，b答案：答案： 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形可从以下角度入手用已知向量表示未知向量，一定要结合图形可从以下角度入手(1)要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘乘(3)注意应用以下结论：注意应用以下结论：A为为BC中点，中点，O为空间任一点，则为空间任一点，则 A、B、C三点共线，三点共线，O为空间任一点，则为空间任一点，则 等等【例【例1】 如如图所示，在平行六面体图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设中，设 M、N、P分别是分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用的中点，试用a、b、c表示以下各表示以下各向量：向量： 思路点拨：思路点拨：根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可解：解：(1)P是是C1D1的中点，的中点， (2)N是是BC的中点，的中点， (3)M是是AA1的中点的中点 变式变式1：空空间四边形间四边形OABC中，中，G、H分别是分别是ABC、OBC的重心，设的重心，设 试用向量试用向量a、b、c表示向量表示向量解：解： 应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面1证明空间任意三点共线的方法证明空间任意三点共线的方法对空间三点对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线可通过证明下列结论成立来证明三点共线(1) (2)对空间任一点对空间任一点O， (3)对空间任一点对空间任一点O， 2证明空间四点共面的方法证明空间四点共面的方法对空间四点对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面可通过证明下列结论成立来证明四点共面(1)(2)对空间任一点对空间任一点O， (3)对空间任一点对空间任一点O， (4)【例【例2】 如如图所示，在平行六面体图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F、G分别是分别是A1D1、D1D、D1C1的中点的中点求证：平面求证：平面EFG平面平面AB1C.思路点拨：思路点拨：证证 证明：证明：设设 则则 ab 又又EG与与EF相交，相交，AC与与B1C相交，相交，平面平面EFG平面平面AB1C.变式变式2：设设A，B，C及及A1，B1，C1分别是异面直线分别是异面直线l1，l2上的三点，而上的三点，而M，N，P，Q分别是线段分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点，求证：的中点，求证：M，N，P，Q四点共面四点共面证明：证明：由题意得由题意得 又又A，B，C及及A1，B1，C1分别共线，分别共线， 又又 M，N，P，Q四点共面四点共面用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点间距离或线段长度以及证明线线垂直、线面垂直等问题间距离或线段长度以及证明线线垂直、线面垂直等问题【例【例3】设向量设向量a(3,5，4)，b(2,1,8)，计算，计算2a3b,3a2b，ab以及以及a与与b所所成角的余弦值，并确定成角的余弦值，并确定、的关系，使的关系，使ab与与z轴垂直轴垂直思路点拨：思路点拨：要计算要计算2a3b,3a2b及及ab，只要代入向量坐标运算的公式即，只要代入向量坐标运算的公式即可求可求a与与b所成的角应先求出所成的角应先求出|a|及及|b|，代入公式，代入公式cosa，b ，求出所成角的余弦再求出角，而要使求出所成角的余弦再求出角，而要使ab与与z轴轴j垂直，只要使垂直，只要使(ab)(0,0,1)0，从而转化为，从而转化为，的方程组进而求出的方程组进而求出，的值的值解：解：2a3b2(3,5，4)3(2,1,8)(12,13,16)，3a2b3(3,5，4)2(2,1,8)(5,13，28)，ab(3,5，4)(2,1,8)32514821， cosa，b由由(ab)(0,0,1)(32，5，48)(0,0,1)480知，知，只要只要，满足满足480即可使即可使ab与与z轴垂直轴垂直变式变式3：在在空间四边形空间四边形ABCD中，中，求证：求证：ABCD的充要条件是的充要条件是 证明：证明： 1熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量问题的基础，特熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量分解定理、数量积的性质等别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量分解定理、数量积的性质等2利用向量解立体几何题的一般方法，把线段或角度转化为向量表示，用已知利用向量解立体几何题的一般方法，把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题在这里，恰当向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题在这里，恰当地选取基底可使向量运算简捷，或者是建立空间直角坐标系，使立体几何问地选取基底可使向量运算简捷，或者是建立空间直角坐标系，使立体几何问题成为代数问题，在这里，熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题题成为代数问题，在这里，熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础的基础3用向量坐标运算证明线线或线面垂直是向量的一个重要应用，要熟练掌握，用向量坐标运算证明线线或线面垂直是向量的一个重要应用，要熟练掌握，关键是建系，求点的坐标，其中建系的恰当与否决定解题的繁简程度关键是建系，求点的坐标，其中建系的恰当与否决定解题的繁简程度4在计算和证明立体几何问题时，如果能够在原图中建立适当的空间直角坐标在计算和证明立体几何问题时，如果能够在原图中建立适当的空间直角坐标系，将图形中有关量用坐标来表示，利用空间向量的坐标运算来处理，则往系，将图形中有关量用坐标来表示，利用空间向量的坐标运算来处理，则往往可以在很大程度上降低对空间想象的要求；求向量坐标的常用方法是先设往可以在很大程度上降低对空间想象的要求；求向量坐标的常用方法是先设出向量坐标，再待定系数出向量坐标，再待定系数. 【规律方法总结】【规律方法总结】【例【例4】 如如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，中，P是是CA1的中点，的中点，M是是CD1的中点，的中点，N是是C1D1的中点，点的中点，点Q在在CA1上，且上，且CQ QA14 1，设，设 用基底用基底a，b，c表示以下向表示以下向量：量：(1)解本题易出错的地方就是对空间向量加减法的运算错误，特别是减法运算，解本题易出错的地方就是对空间向量加减法的运算错误，特别是减法运算，如把如把 误认为是误认为是 ；另一个错误是向量的数乘表示不准，；另一个错误是向量的数乘表示不准，如把如把 ，误认为，误认为 连结连结AC，AD1.【错因分析错因分析】【答题模板答题模板】空间向量基本定理空间向量基本定理a，b，c是空间不共面的三个向量，对空间任一向量是空间不共面的三个向量，对空间任一向量p，存在一个唯一的有序，存在一个唯一的有序实数组实数组(x，y，z)，使，使pxaybzc.根据空间向量基本定理，在确定了空间根据空间向量基本定理，在确定了空间的一组基底后，任何一个向量都可以用基底表示，这样就为用向量法解决立的一组基底后，任何一个向量都可以用基底表示，这样就为用向量法解决立体几何问题提供了依据在根据空间向量基本定理表示空间的其他向量时要体几何问题提供了依据在根据空间向量基本定理表示空间的其他向量时要注意正确应用向量加减法和向量的数乘意义，防止出现错误注意正确应用向量加减法和向量的数乘意义，防止出现错误.【状元笔记】【状元笔记】 1已已知点知点A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，若，若 的值的值是是_分析：分析：求向量的长度，先用坐标表示出向量，再用公式求出长度求向量的长度，先用坐标表示出向量，再用公式求出长度解析：解析：设点设点P(x，y，z)，则由，则由 得得(x1，y2，z1)2(1x,3y,4z)，即即 解得解得 答案：答案：2已已知平行四边形知平行四边形ABCD，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 求证：求证：(1)四点四点E，F，G，H共面；共面；(2)平面平面AC平面平面EG.分析：分析：(1)利用共面定理证明点共面利用共面定理证明点共面(2)先利用向量的数乘证明线线平行，再先利用向量的数乘证明线线平行，再利用两个平面平行的判定定理证明面面平行利用两个平面平行的判定定理证明面面平行证明：证明：(1)四四边形边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， E，F，G，H共面共面(2) EFAB，EGAC.平面平面AC平面平面EG.点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册