34基本不等式（1）.ppt

3.43.4基本不等式基本不等式中国古代的数学家们不仅很早就发现中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期定理进行证明的，是三国时期吴国的吴国的数学家赵爽数学家赵爽。赵爽创制了一幅。赵爽创制了一幅“勾股勾股圆方图圆方图”，用形数结合得到方法，给，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。出了勾股定理的详细证明。 在这幅在这幅“勾股圆方图勾股圆方图”中，以弦中，以弦为边长得到正方形为边长得到正方形ABCDABCD是由是由4 4个相等个相等的直角三角形再加上中间的那个小正的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积方形组成的。每个直角三角形的面积为为ab/2ab/2；中间的小正方形边长为；中间的小正方形边长为b-ab-a，则面积为则面积为(b-a)(b-a)2 2。于是便可得如下的式。于是便可得如下的式子：子：4 4(ab/2(ab/2）+(b-a)+(b-a)2 2=c=c2 2化简后便可得：化简后便可得：a a2 2+b+b2 2=c=c2 2一一 、探究探究 左图是在北京召开左图是在北京召开的第的第2424届国际数学家大届国际数学家大会的会标，会标是根据会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情车，代表中国人民热情好客。你能在这个图中好客。你能在这个图中找出一些相等关系或不找出一些相等关系或不等关系吗等关系吗? ?ba比较大正方形的面积与比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积和个直角三角形的面积和, ,你会得到怎样的不等式？你会得到怎样的不等式？1.思考：思考：一一 、探究探究(当且仅当当且仅当a=b时时, 等号成立等号成立)正方形正方形ABCD的面积的面积 4个直角三角形面积之和个直角三角形面积之和22ab2aba=bADCBc22ab2. .得到结论得到结论：3. .思考思考: :你能给出它的证明吗？你能给出它的证明吗？ 证明证明: :因为因为 2222()ababa b所以所以 即即222()02ababab ， 二二、新课讲解新课讲解22, 2a babab一般地一般地, ,对于对于任意任意实数实数 , ,我们有我们有当且仅当当且仅当 时，等号成立。时，等号成立。ab22 ()0 ()0,abababab 当当 时，时， 当当 时，时，abEDBOAC2.几何意义：几何意义：半弦长小于等于半径半弦长小于等于半径(0,0)2ababab（当且仅当当且仅当a=b时时，等号成立等号成立）二二、新课讲解新课讲解ab2ab1.1.思考思考: :如果用如果用 去替换去替换 中的中的 , , 能得到什么结论能得到什么结论? ? 必须要满足什么条件必须要满足什么条件? ?,ab222 ,ababa b,a b3.代数意义：代数意义：几何平均数小于等于算术平均数几何平均数小于等于算术平均数算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数 构造条件构造条件三三、应用应用0,02ababab（）20,0abab ab（）例例1、若若 ,求求 的最小值的最小值.10 xyxx变变3:若若 ,求求 的最小值的最小值.13 3xyxx 变变1:若若 求求 的最小值的最小值120, 3xyxx变变2:若若 ,求求 的最小值的最小值.0,0 baabyab发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用不等式问问:在结论成立的基础上在结论成立的基础上,条件条件“a0,b0”可以变化吗可以变化吗？0,02ababab（）0,02ababab2（）三三、应用应用例例2、已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.01 (1)xyxx 变式变式:已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.10 (12 )2xyxx 发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用不等式（1）基本不等式的条件及结构特征基本不等式的条件及结构特征（2）基本不等式在几何、代数两方面的意义基本不等式在几何、代数两方面的意义 u知识要点：知识要点：u思想方法技巧：思想方法技巧：（1）数形结合思想数形结合思想（2）换元法换元法、作差法作差法（3）配凑等技巧配凑等技巧 四四、课堂小结课堂小结