131单调性与最大(小)值课件.ppt
问题问题1画出画出f(x)=xf(x)=x的图像，并观察其图像。的图像，并观察其图像。2、在区间、在区间 _ 上，随着上，随着x的增大，的增大，f(x)的值的值随着随着 _. o5-5-55f(x)=x1、从左至右图象上升还是下降、从左至右图象上升还是下降 _?上升上升(- ,) 增大增大1、在区间、在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _.问题问题2画出画出 的图像，并观察图像的图像，并观察图像. .2f(x) = xo5-5-552、 在区间在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _. (-,0(0,+)减小减小2f(x) = x增大增大,21xx在给定区间上任取12xx令)f(x)f(x21 函数函数f (x)在给定区间上为在给定区间上为增函数。增函数。Oxy) x( fy如何用如何用x与与 f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？)x( f11x如何用如何用x与与 f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？,21xx在给定区间上任取12xx令 函数函数f (x)在给定区间上为在给定区间上为减函数。减函数。)f(x)f(x21)x( f1)x ( f2) x ( fyOxy1x2x)x ( f22x函数单调性的概念：函数单调性的概念： 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对于，如果对于定义域定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2，当当x1x2时，时，都有都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在区间在区间D上是上是增函数增函数,如图如图1 .1 1. .增函数增函数yx0 x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图图1 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对于，如果对于定义域定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2 ，当当x1f(x2) ，那么就说，那么就说f(x)在区间在区间D上是上是减函数减函数 ,如图如图2.yx0 x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图图22.2.减函数减函数 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，区间，区间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间.函数单调性定义函数单调性定义用定义证明函数单调性的步骤是：（1）设元）设元(取量）取量）（2）作差）作差-变形变形（3）判号）判号（4）结论）结论根据单调性的定义得结论根据单调性的定义得结论 即取即取 是该区间内的任意两个值且令是该区间内的任意两个值且令12x ,x12x x 即求即求 ，通过因式分解、配方、有理，通过因式分解、配方、有理化等方法化等方法12f(x )-f(x ) 即根据给定的区间和即根据给定的区间和 的符号的确定的符号的确定 的符号的符号21x -x12f(x )-f(x ). ()21fxx 证 明 函 数在 区 间（，） 上 是 增 函 数 。例例 1 1内任意是区间设),(x,x 21)x2(x) 1x2() 1x2()x( f)x( f2121210 xx ,xx21210)x(f)x(f21)x(f)x(f21即),(1x2)x(f在区间则函数证明：证明：12 x .x两个实数，且令是增函数。 （条件）（条件）（论证结果）（论证结果）（结论）（结论） 【练习练习】 求证：函数求证：函数 在区间在区间 上是单调增函数上是单调增函数1f(x) = -1x0 +， 则则证明：在区间（证明：在区间（0，+）上任取两个值）上任取两个值 ，且令，且令 12x ,x12x x12121212x -x11f(x )-f(x ) = -+=xxx x又因为又因为 ， ，所以说，所以说12x -x 012)f(x ).12f(x )-f(x ) 0, f(x即 即函数即函数 在区间（在区间（0，+）上是单调）上是单调增函数增函数.1f(x) = -1x（取量）（取量）（作差）（作差）（判号）（判号）（结论）（结论） 【思考思考】：判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：（1）已知函数）已知函数f(x)在区间在区间D上是增函数，对于区间上是增函数，对于区间D内的任意内的任意两个自变量两个自变量x1，x2，若，若f(x1)f(x2)，则，则x1f(2),则函数则函数f(x)在在R上是增上是增函数；函数；（3）定义在）定义在R上的函数上的函数f(x)满足满足f(8)f(2),则函数则函数f(x)在在R上一定上一定不是减函数；不是减函数；（4）定义在）定义在x|x0上的函数上的函数f(x) 在上在上(0,+)是减函数是减函数,在在(- -,0)也上是减函数，则函数也上是减函数，则函数f(x)在在x|x0上是减函数上是减函数( (正确正确) )( (错误错误) )( (正确正确) )( (错误错误) )【练习】1.在已知函数在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在在(-，-2上递减，上递减，在在-2,+)上递增，则上递增，则f(x)在在1,2上的值域为上的值域为_.2.函数函数f(x)=x2+4ax+2在区间在区间(-，6内递减，内递减，则则a的取值范围是的取值范围是 ( ) A、a3 B、a3 C、a-3 D、a-321,4921,49D3.求证：求证：f(x)x31在在(，)上是减函数上是减函数 例例2. 画出函数画出函数yx22|x|3的图象，的图象，并指出函数的单调区间并指出函数的单调区间分析 函数解析式中含有绝对值号，因而需先去掉绝对值号写成分段函数形式，然后，逐段画图根据图象指出单调区间 解析yx22|x|3 函数图象如图所示函数图象如图所示函数在函数在( (，11，0,10,1上是增函数；上是增函数；函数在函数在 1,01,0，11，) )上是减函数上是减函数所以函数的单调增区间是所以函数的单调增区间是( (，11和和0,10,1，单调减区间是单调减区间是 1,01,0和和11，) ) 例例2. 画出函数画出函数yx22|x|3的图象，的图象，并指出函数的单调区间并指出函数的单调区间画出下列函数的图象，并指出它们的单调区间：画出下列函数的图象，并指出它们的单调区间：(1)y|x|1;解析(1).如图如图(1)，函数的单调减区间是，函数的单调减区间是(，0，单调增区间是，单调增区间是0，)【练习练习】(2)y|x21|.函数的图象如图函数的图象如图(2)所示所示函数函数y|x21|在在(，1，0,1上都是减函数，上都是减函数，在在1,0，1，)上都是增函数上都是增函数(2)y|x21|. 例：设f（x）是定义在R上的函数，对m，nR，恒有f（m+n)=f(m).f(n),且当x0时，0f(x)0 (3)求证f（x）在R上是减函数。下列两个函数的图象：下列两个函数的图象： 图图1ox0 xMyyxox0图图2M观观 察察 观察这两个函数图象，图中有个最高点，观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？M是函数是函数y= f (x)的最大值（的最大值（maximum value）：）：0 xI 一般地，设函数一般地，设函数y= f (x)的定义域为的定义域为I，如果存在，如果存在实数实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的x I，都有，都有f (x) M;（2）存在）存在 ，使得，使得 .0f(x ) = M 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果实，如果实数数M满足：满足：（1）对于任意的的）对于任意的的xI，都有，都有f(x) M;（2）存在）存在 ，使得，使得 ，那么我们称那么我们称M是函数是函数y=f(x)的最小值（的最小值（minimun value）.0 xI0f(x ) = M 能否仿照函数的最大值的定义，给出函数能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？的最小值的定义呢？例例1.(1) 求函数求函数f(x)=-2x+3在在-2,3上的最大值上的最大值与最小值与最小值（2）求函数）求函数 在在-5,-1上的最大值与上的最大值与最小值最小值（3）求函数）求函数f(x)=-x2-2x+1的最大值与最小值的最大值与最小值2( )fxx(4)求函数求函数f(x)=-x2-2x+1在在-2,3上的最大值与上的最大值与最小值最小值(5)求函数求函数f(x)=-x2-2x+1在在0,3上的最大值与上的最大值与 最小值最小值 (6)和最值。的单调区间 10 , 2,16)( xxxxf 例例2 求求 f(x) =x2-a-ax+a在区间在区间- -1，1上的最小值。上的最小值。解：解：f(x)=(x- - )2+a- - ，对称轴为，对称轴为x=2a4a22a (1)若若 ，即，即a- -2时，时， f(x)min=f(- -1)=1+2a1+2a，f(x)max=f(1)=1;12a (4)若若 , 即即a2时，时， f(x)min=f(1)=1， f(x)max=f(- -1)=1+2a;12a (2)若若- -1 0 ,即即- -2a0时，时，f(x)min=f( )=a-a2/4，f(x)max=f(1)=1;2a2a2a (3)若若0 1 ,即即0 0a2时时,f(x)min=f( )= a-a2/4,f(x)max=f(- -1)=1+2a;2a 课堂小结课堂小结 2、函数单调性的定义；、函数单调性的定义；3、证明函数单调性的步骤；、证明函数单调性的步骤；1、单调函数的图象特征；、单调函数的图象特征；4、函数的最值：、函数的最值：最大值最大值最小值最小值
