123角的平分线的性质.pptx
八年级数学八年级数学上上 新课标新课标 人人 第十二章第十二章 全等三角形全等三角形 学习新知学习新知检测反馈检测反馈 工人师傅常常用一种简易平分角的仪器(如图所示),其中 AB =AD,BC =DC,将点 A 放在角的顶点, AB和 AD沿着角的两边放下,沿 AC 画一条射线 AE, AE 就是DAB 的平分线.你能说明它的道理吗?学学 习习 新新 知知问题思考画法：画法：以为圆心，适当长为以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交半径作弧，交于，交于于分别以，为圆分别以，为圆心大于心大于 的长为半的长为半径作弧两弧在径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求一、角平分线的画法12你能说明oc为什么是AOB 的平分线吗?OM=ON,OCM OCN(SSS).证明:连接 CM、CNOC=OCCM=CNCOM=CON即OC为AOB的平分线 当AOB两边成一直线时(AOB=180),你会作这个角的平分线吗?这时的角平分线与直线AB是什么关系?你会作吗?设已知直线为设已知直线为ABAB, ,直线外一点为直线外一点为C.C.(1)(1)任意取一点任意取一点K K, ,使使K K和和C C在在ABAB的两旁的两旁; ;(2)以点以点C为圆心为圆心,CK长为长为半径作弧半径作弧,交交AB于点于点D和和E;(3)分别以点分别以点D和点和点E为圆为圆心心,大大于于 DE的长为半的长为半径作弧径作弧,两弧交于点两弧交于点F;(4)作直线作直线CF,直线直线CF就是所就是所求的垂线求的垂线.A AB BC C12K KDEF 如图所示,任意作一个角AOB,作出AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB 的垂线,分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较,你能得到什么结论?在OC上再取几个点试一试.你能证明这个结论吗?二、角平分线的性质和判定 一般情况下,我们要证明一个几何命题,可以按照类似于以下的步骤进行,即:1.明确命题中的已知和求证.2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证.3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.证明PDO=PEO=90,PDO PEO (AAS),证明:PDOA,PEOB,求证:PD=PE.OC是AOB的平分线,AOC=BOC.已知:如图所示,OC是AOB的平分线,点P在OC上,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E.PD=PE. 角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等. 利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写。 以后涉及角平分线上的点到角的两边的垂线段时,可直接得到其相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.谁能说出它的逆命题?到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 如图所示,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路与铁路的交叉处500 m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为120000)? 从实践中可知:角平分线上的点到角的两边的距离相等,将条件和结论互换:到角的两边的距离相等的点也在角的平分线上.证明由题意易得PDO=PEO=90.DOP=EOP,即AOC=BOC,证明:经过点P作射线OC,如图所示.求证:点P在AOB的平分线上.RtPDORtPEO(HL),已知:如图所示,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E,PD=PE.OC是AOB的平分线.点P在AOB的平分线上.（一） 角平分线的判定可帮助我们证明角相等,使证明过程简化.需要注意的是:在推导过程中应注意垂直关系的书写,指明垂线段,并由垂线段相等直接得到角相等,而不必再去证明三角形全等了.（二） 角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合.（三） 三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等. 因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段的长度表示距离,而证明它们相等必须标出它们,所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段的长,那么图中画实线,在证明中就可以不写.1.如图所示,ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证点P到三边AB,BC,CA的距离相等.BM是ABC的角平分线,点P在BM上,同理PE=PF.证明:过点P作PD,PE,PF分别垂直于 AB,BC,CA,垂足分别为D,E,F.PD=PE=PF.证明过程PD=PE,即点P到三边AB,BC,CA的距离相等. 在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,可以用“同理”二字概括,省略详细证明过程. 点P 在A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系? (点P在A的平分线上,三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三角形三条边的距离都相等)1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.作用:直接证明两条线段相等.使用的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”.作用:证明角相等.3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性,即:只要是角平分线上的点,它到此角两边一定等距离,而无一例外;判定反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的点,都一定在角平分线上,而绝不会漏掉一个.实际应用中,前者用来证明线段相等,后者用来证明角相等(角平分线).知识小结A1.如图所示,AD是ABC中BAC的平分线,DEAB于点E,SABC=7, DE=2,AB=4,则AC 长 是 ( )A.3 B.4 C.6 D.5检测反馈检测反馈解析:OP平分AOB,PAOA,PBOB,PA=PB,OPAOPB,APO=BPO,OA=OB,选项A,B,C均正确,设PO与AB相交于E,如图所示,OA=OB,AOP=BOP,OE=OE,AOEBOE,AEO=BEO=90,OP垂直AB,而不能得到AB平分OP,故D不成立.故选D.D2如图所示,OP平分AOB,PAOA,PBOB,垂足分别为A,B,连接AB.下列结论中不一定成立的是()A.PA=PB B.PO平分APBC.OA=OB D.AB平分OP解析:角平分线AD,BE相交于O点,CO平分ACB.故选C.C3.如图所示,在ABC中,角平分线AD,BE相交于O点,连接CO,则下列成立的是()A.CEOCDOB.OE=ODC.CO平分ACBD.OC=OD解析:过点M 作MDAB 于D,先求出CM 的长,再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可求得DM 的长.4.如图所示,ABC中,C=90,AM平分CAB,BC=16 cm,CMMB=35,求点M到AB的距离.D解：如图所示,过点M作MDAB于D,BC=16 cm, CMMB=35,CM=3/(3+5)16=6(cm),C=90,AM平分CAB,DM=CM=6 cm,即点M到AB的距离为6 cm.必做题 教材第50页练习第1,2题.选做题 教材第51页习题12.3第1,2,3题.布置作业
