向量在平面几何中的应用.ppt
2.4.1 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 向量的概念和运算，都有明确的物理背景和向量的概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为量的运算就可以完全转化为“代数代数”的计算，的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。方法可以解决平面几何中的一些问题。 例如，向量数量积对应着几何中的长度例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：如图： 平行四边行平行四边行ABCD中，中， 设设 ，则，则 ,ABa ADb ACABBCab DBABADab 222|ADbAD222|ABaAB 向量向量 的夹角为的夹角为 BAD.,AB AD 例例1.如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD中，中，E、F在在对角线对角线BD上，并且上，并且BE=FD，求证，求证AECF是平是平行四边形。行四边形。 证明：由已知设证明：由已知设,ABDCa BEFDb AEABBEab FCFDDCba AEFC 即边即边AE、FC平行且相等，平行且相等，AECF是平行四边形是平行四边形（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步三步曲曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形例例2. 求证平行四边形对角线互相平分求证平行四边形对角线互相平分 ?M?D?C?B?A证明：如图，已知平行四边形证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条的两条对角线相交于对角线相交于M，设，设,AMxAC BMyBD 则则,AMxACxAB xAD () (1)AMABBMAByBDABy ADABy AByAD 根据平面向量基本定理知，这两个分解根据平面向量基本定理知，这两个分解式是相同的，所以式是相同的，所以1xyxy 解得解得1212xy 所以点所以点M是是AC、BD的中点，即两条对的中点，即两条对角线互相平分角线互相平分.例例3.已知正方形已知正方形ABCD，P为对角线为对角线AC上任意上任意一点，一点，PEAB于点于点E，PFBC于点于点F，连接，连接DP、EF，求证，求证DP EF。 PFEDCBA证明：选择正交基底证明：选择正交基底 ,AB AD 在这个基底下在这个基底下(1,0),(0,1)ABAD 设设( , )APa a (1,0),(0, )EBaBFa ?P?F?E?D?C?B?A(1, )EFa a ( ,1)DPAPADa a (1, ) ( ,1) (1)(1) 0DP EFa aa aa aa a 所以所以DPEF 因此因此DPEF.例例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaAB ,解：解：设 ，则 baDBbaACaDAbBC;,分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。bADaAB ,)( 2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB例例5 如图，如图， ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD 、 DC边的中点，边的中点，BE 、 BF分别与分别与AC交于交于R 、 T两点，你能发现两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：猜想：AR=RT=TC,ABa ADb ARr A Cab 由于由于 与与 共线，故设共线，故设ARAC(),rn ab nR又因为又因为 共线，共线，所以设所以设E RE B与与12()ERmEBm ab 因为因为 所以所以A RA EE R 1122()rbm ab 1122()()n abbm ab 因因此此ABCDEFRT解：设解：设则则102()()mnm anb 即即,a b由由于于向向量量不不共共0102nmmn 线线，1 1解解 得得 ： n n= = m m = =3 3111333,ARACTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是故故AT=RT=TCABCDEFRT
