22椭圆及其标准方程(第1、2课时).ppt
2.2 2.2 椭圆及其标准方椭圆及其标准方程程 用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线； 当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考： 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？椭圆椭圆双曲线双曲线抛物线抛物线探究 ：椭圆有什么几何特征？活动1：动手试一试数学史：1、椭圆的定义、椭圆的定义：1F2FM 平面内到平面内到两两个定点个定点F1、F2的距离之的距离之和和等于等于常数常数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆椭圆。 这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两焦点间的距离，两焦点间的距离叫做椭圆的叫做椭圆的焦距焦距。cFF221为椭圆时,022 ca2a2aMFMFMFMF2 21 1思考：是否平面内到两定点之间的距离和为定长的点的轨迹就是椭圆？ 结论：（若 PF1PF2为定长） ）当动点到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1PF2 F1F2时，P点的轨迹是椭圆。 ）当动点到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1PF2 F1F2时，P点的轨迹是一条线段F1F2 。 ）当动点到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1PF20)，M与与F1、F2的距离的和为的距离的和为2a12121 21 2如如图图，以以经经过过椭椭圆圆两两焦焦点点F ,FF ,F的的直直线线为为x x轴轴，线线段段FFFF的的垂垂直直平平分分线线为为y y轴轴，建建立立直直角角坐坐标标系系xOy.xOy.12121212设设M(x,y)M(x,y)是是椭椭圆圆上上任任意意一一点点，椭椭圆圆的的焦焦距距为为2c(c0),2c(c0),那那么么焦焦点点F ,FF ,F 的的坐坐标标分分别别为为(-c,0),(c,0).(-c,0),(c,0).又又设设MM与与F ,FF ,F 的的距距离离的的和和等等于于2a.2a.1212由由椭椭圆圆的的定定义义，椭椭圆圆就就是是集集合合P = M MF + MF = 2a .P = M MF + MF = 2a .22222222121222222222因因为为 MF =(x+c) +y , MF =(x-c) +y ,MF =(x+c) +y , MF =(x-c) +y ,所所以以(x+c) +y + (x-c) +y =2a.(x+c) +y + (x-c) +y =2a.1F2FxyO),( yxM22222222222222将将这这个个方方程程两两边边平平方方，得得（x+c) +y =4a -4ax+c) +y =4a -4a（x-c) +y +x-c) +y + （x+c) +y ,x+c) +y ,22222222为为化化简简这这个个方方程程，将将左左边边的的一一个个根根式式移移到到右右边边，得得（x+c) +y =2a-x+c) +y =2a-（x-c) +y ,x-c) +y ,4 42 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2上上边边两两式式再再平平方方，得得a a - -2 2a a c cx x+ +c c x x = =a a x x - -2 2a a c cx x+ +a a c c + +a a y y , ,2 22 22 2整整 理理 得得 a a- - c cx x = = a a( (x x - - c c) ) + + y y , ,2 22 22 22 22 22 22 22 2整整理理得得 ( (a a - -c c ) )x x + + a a y y = = a a ( (a a - -c c ) ), ,令22222222222222222222xyxy+=1.+=1.aa -caa -c由由椭椭圆圆的的定定义义可可知知，2a 2c,2a 2c,即即a c,a c,所所以以a -c 0.a -c 0. b = a -c b = a -c0 0b ba a 1 1b by ya ax x2 22 22 22 2叫做叫做椭圆的标准方程，焦点在椭圆的标准方程，焦点在x 轴上。轴上。 焦点在焦点在y 轴上，可得出椭圆轴上，可得出椭圆0 0b ba a 1 1b bx xa ay y2 22 22 22 2它也是椭圆的标准方程。它也是椭圆的标准方程。12yoFFMx2 22 22 2c cb ba a0 0c ca a0, 0,b ba a0 12222babyax12yoFFMxy xoF2F1M0 12222babxay定定 义义图图 形形方方 程程焦焦 点点F(F(c c，0)0)F(0F(0，c)c)a,b,c之间之间的关系的关系c c2 2=a=a2 2-b-b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)椭圆的标准方程椭圆的标准方程求法： 一定定焦点位置；二设设椭圆方程；三求求a、b的值.例例1椭圆的两个焦点的坐标分别是（椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0）（4，0），椭圆上一点），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。求椭圆的标准方程。 12yoFFMx.解：解： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上设它的标准方程为设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为 ) 0( 12222babyax192522yx求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程（1）首先要）首先要判断判断类型，类型，（2）用）用待定系数法待定系数法求求ba,椭圆的定义椭圆的定义a2=b2+c2例例2 2. .已已知知椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点坐坐标标分分别别为为（- - 2 2，0 0），5 53 3（2 2，0 0）并并且且经经过过点点（， - -），求求它它的的标标准准方方程程. .2 22 22 22 22 22 2解解 : :因因为为椭椭圆圆的的焦焦点点在在x x轴轴上上，所所以以设设它它的的标标准准方方程程为为x xy y+ += =1 1( (a a b b 0 0) ). .a ab b2 22 22 22 22 22 22 2由由椭椭圆圆的的定定义义知知5 53 35 53 32 2a a = =+ + 2 2+ + - -+ +- -2 2+ + - -= = 2 2 1 10 02 22 22 22 2所所以以a a = =1 10 0. .又又因因为为c c = = 2 2, ,所所以以b b = = a a - -c c = =1 10 0 - -4 4 = = 6 6. .22222222因因此此，所所求求椭椭圆圆的的标标准准方方程程为为xyxy+=1.+=1.1061062222分分析析：点点P P在在圆圆x +y =4x +y =4上上运运动动, ,点点P P的的运运动动引引起起点点MM的的运运动动. .我我们们可可以以由由MM为为线线段段PDPD的的中中点点得得到到点点MM与与点点P P坐坐标标之之间间的的关关系系式式, ,并并由由点点P P的的坐坐标标满满足足圆圆的的方方程程得得到到点点MM的的坐坐标标所所满满足足的的方方程程. .2 22 2例例4 4. .在在圆圆x x + +y y = =4 4上上任任取取一一个个点点P P，过过点点P P作作x x轴轴的的垂垂线线P PD D，D D为为垂垂足足. .当当点点P P在在圆圆上上运运动动时时，线线段段P PD D的的中中点点M M的的轨轨迹迹是是什什么么? ?为为什什么么? ?0 00 00 00 02 22 20 00 02 22 20 00 00 00 02 22 22 22 2解解 : : 设设点点的的坐坐标标为为( (x x, ,y y) ), ,点点的的坐坐标标为为( (x x , ,y y ) ), ,则则y yx x = = x x , ,y y = =. .2 2因因为为点点( (x x , ,y y ) )在在圆圆x x + + y y = = 4 4上上，所所以以x x + + y y = = 4 4. .把把x x = = x x, ,y y = = 2 2y y代代入入方方程程, ,得得x x + +4 4y y = = 4 4, ,即即x x+ + y y = =1 1. .4 4所所以以点点的的轨轨迹迹是是一一个个椭椭圆圆. .1 111 11变变式式引引申申：求求焦焦点点在在y y轴轴上上，且且经经过过点点A(,)A(,)、B(0,-)B(0,-)的的3 323 32椭椭圆圆的的标标准准方方程程. . 2 22 22 22 22 22 2y yx x解解 ： 设设 所所 求求 椭椭 圆圆 的的 方方 程程 为为+ += = 1 1 , ,a ab b1 11 11 1将将 A A ( (, ,) ), , B B ( (0 0 , , - -) )代代 入入 得得 ：3 33 32 22 22 21 11 13 33 3+ += = 1 12 22 2a ab b, ,2 21 1- -2 2= = 1 12 2a a1 12 2a a= =, ,4 4解解 得得 ：1 12 2b b= =. .5 5y yx x故故 所所 求求 椭椭 圆圆 的的 标标 准准 方方 程程 为为+ += = 1 1 . .1 11 14 45 5？思考一个问题思考一个问题:把把“焦点在焦点在y轴上轴上”这句话去掉，怎么办？这句话去掉，怎么办？ 定义法：如果所给几何条件正好符合某一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可直接利用定义写出动点的轨迹方程. 待定系数法：所求曲线方程的类型已知，则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要“先定型，再定量”. 求曲线方程的方法：2222xyxy例例3.3.若若+=1,+=1,表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆，则则mnmnm,nm,n满满足足什什么么条条件件，并并指指出出焦焦点点坐坐标标. .2222xyxy解解：若若+=1+=1表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆，则则mnmnmn0,mn0,且且c =m-n,c =m-n,所所以以，焦焦点点坐坐标标为为( m-n,0),(- m-n,0).( m-n,0),(- m-n,0).2 22 2变变式式引引申申: :若若焦焦点点在在y y轴轴上上；如如果果不不指指明明在在哪哪个个坐坐标标轴轴上上；若若mmx x + +n ny y = =1 1表表示示椭椭圆圆，mm, ,n n应应满满足足什什么么条条件件. .2222(3)(3)若若mx +ny =1mx +ny =1表表示示椭椭圆圆, ,则则m0,n0m0,n0且且mmn,n,当当mn0mn0，表表示示焦焦点点在在y y轴轴上上的的椭椭圆圆；当当nm0nm0，表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆. .2222xyxy解解：(1)(1)若若+=1+=1表表示示焦焦点点在在y y轴轴上上的的椭椭圆圆，则则mnmnnm0,nm0,且且c =n-m,c =n-m,所所以以，焦焦点点坐坐标标为为(0, n-m),(0,- n-m).(0, n-m),(0,- n-m).2222xyxy(2)(2)若若+=1+=1表表示示椭椭圆圆, ,则则m0,n0m0,n0且且mmn.n.mnmn 代入法：或中间变量法，利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y之间的坐标。 求曲线方程的方法：.2222变变式式引引申申：已已知知圆圆x +y = 9,x +y = 9,从从这这个个圆圆上上任任意意一一点点P P向向x x轴轴作作垂垂线线PPPP ，点点M M在在PPPP 上上, ,并并且且PM = 2MP ,PM = 2MP , 求求点点M M的的轨轨迹迹00000 000000000000 000002222000022222 22 2解解：设设点点MM的的坐坐标标为为(x,y),(x,y),点点P P的的坐坐标标为为(x ,y )(x ,y )，则则点点P P 的的坐坐标标为为(x ,0).(x ,0).由由PM=2MPPM=2MP得得：(x-x ,y-y )=2(x -x,-y)(x-x ,y-y )=2(x -x,-y)，即即x-x =2(x -x)x-x =2(x -x), ,y-y =2(-y)y-y =2(-y)即即x = x,y =3y.x = x,y =3y.P(x ,y )P(x ,y )在在圆圆x +y =9x +y =9上上, ,代代入入得得x +9y =9x +9y =9，x x即即+y =1,+y =1,点点MM的的轨轨迹迹是是一一个个椭椭圆圆. .9 9211222132661251632xyFFFFMMFMFMxyPP+=+=+=22121.已知椭圆方程为，则这个椭圆的焦距为（ ）23 (A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 52. 、 是定点，且，动点 满足， 则点 的轨迹是（ ） (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段3.已知椭圆上一点 到椭圆一个焦点的距离 为，则 到另一焦点的距离为（ ） (A) (B)37 (C)5 (D)变式题组一变式题组一2149xkyykxymmxyFF+=2222212 1.如果方程+=1表示焦点在 轴上的椭圆， 那么实数 的取值范围是（ ） (A)（0，+） (B)（0，2） (C)（1，+） (D)（0，1） 2.椭圆+=1的焦距是2，则实数 的值是（ ）4 (A)5 (B)8 (C)3或5 (D)3 3.已知 、是椭圆的251 FABABFD2两个焦点，过的直线与椭圆交于 、 两点，则的 周长为（ ） (A)8 6 (B)20 (C)24 (D)28变式题组二变式题组二1、方程、方程10332222yxyx表示表示_。2、方程、方程表示表示_。6332222yxyx10332222yxyx3、方程、方程表示表示_。4、方程、方程的解是的解是_。10434322xx2 22 21 12 2x xy y1 1. .如如果果椭椭圆圆+ += =1 1上上一一点点P P到到焦焦点点F F的的距距离离等等于于6 6，那那么么点点P P到到1 10 00 03 36 6另另一一焦焦点点F F的的距距离离是是（）. .2 22 2x xy y2 2. .椭椭圆圆+ += =1 1的的焦焦点点坐坐标标是是( () ). .mm- -2 2mm+ +5 5A A. .( ( 7 7, ,0 0) )B B. .( (0 0, , 7 7) )C C. .( (7 7, ,0 0) )D D. .( (0 0, ,7 7) )2 22 22 22 22 22 22 22 25 53 33 3. .两两个个焦焦点点的的坐坐标标是是( (- -2 2, ,0 0) ), ,( (2 2, ,0 0) ), ,且且经经过过点点P P( (, ,- -) )的的椭椭圆圆方方程程2 22 2是是( () ). .x xy yy yx xA A. .+ += =1 1B B. .+ += =1 11 10 06 61 10 06 6x xy yy yx xC C. .+ += =1 1DD. .+ += =1 19 96 69 96 6巩固练习巩固练习14DD2 22 2x xy y4 4. .椭椭圆圆+ += =1 1的的焦焦距距是是2 2( () ). .mm4 4A A. .5 5A A. .5 5或或8 8C C. .3 3或或5 5D D. .2 20 02 22 22 21 11 11 1x xy y5 5. .已已知知经经过过椭椭圆圆+ += =1 1的的右右焦焦点点F F 作作垂垂直直于于x x轴轴2 25 51 16 6的的直直线线A AB B, ,交交椭椭圆圆于于A A, ,B B两两点点，F F 是是椭椭圆圆的的左左焦焦点点. .( (1 1) )求求A AF F B B的的周周长长；( (2 2) )如如果果A AB B不不垂垂直直于于x x轴轴，A AF F B B的的周周长长有有变变化化吗吗？为为什什么么？C一、二、二、三一、二、二、三一个概念；一个概念；二个方程；二个方程；三个意识：三个意识：求美意识，求美意识， 求简意识，求简意识， 猜想的意识。猜想的意识。二个方法：二个方法：去根号的方法；求标准方程的方法去根号的方法；求标准方程的方法|MF1|+|MF2|=2a 1 1b by ya ax x2 22 22 22 20 0b ba a 1 1b bx xa ay y2 22 22 22 2作业
