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第六节第六节 向心加速度向心加速度引言引言 1.做曲线运动的物体，速度一定是做曲线运动的物体，速度一定是变化的，换句话说，做曲线运动的物变化的，换句话说，做曲线运动的物体一定有加速度。体一定有加速度。 2.匀速圆周运动是曲线运动，那么匀速圆周运动是曲线运动，那么做匀速圆周运动的物体，加速度的大做匀速圆周运动的物体，加速度的大小和方向如何来确定呢？小和方向如何来确定呢？探究匀速圆周运探究匀速圆周运动的加速度动的加速度(1).(1).探究的基本方法有探究的基本方法有哪些哪些? ?1.1.动力学原理动力学原理: :牛顿第二定律牛顿第二定律2.2.运动学描述运动学描述: :加速度的定义式加速度的定义式 1. 探究方案探究方案1: 加速度的方向和加速度的方向和合力合力的方向相同的方向相同(动力学观动力学观点点) 例析例析1 地球绕太阳做地球绕太阳做(近似的近似的)匀速圆周运匀速圆周运动。动。 结论：物体受到的合力方向指向圆心结论：物体受到的合力方向指向圆心小球受哪些力？合外力有何特点？小球受哪些力？合外力有何特点？想一想想一想轻绳栓一小球轻绳栓一小球, ,在光滑水平在光滑水平面做匀速圆周运动。面做匀速圆周运动。 例析例析2.看一看看一看OGFNF小球受力分析：小球受力分析： OF FN N与与G G相抵消，所以合力为相抵消，所以合力为F,F,方向指向圆心方向指向圆心做匀速圆周运动做匀速圆周运动的物体的加速度的物体的加速度方向方向总是指向圆总是指向圆心心根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 F=ma 加速度方向跟合力方向相同加速度方向跟合力方向相同1.直线运动中速度变化量的方向直线运动中速度变化量的方向 例析例析3.物体在直线上运动物体在直线上运动,若物体的初速度若物体的初速度v1=5m/s，向东；末速度，向东；末速度 v2=8m/s，也向，也向东。东。 则则v=v2-v1=3m/s 向东。向东。 若物体的末速度是若物体的末速度是v2=3m/s，也向东。，也向东。 则则v=v2-v1=2m/s 向西向西 做直线运动的物体做直线运动的物体的速度变化量是的速度变化量是从从初速的度的末端指初速的度的末端指向末速度末端的矢向末速度末端的矢量量2.曲线运动中速度变化量的方向曲线运动中速度变化量的方向（）平抛运动（）平抛运动例析例析4 物体以物体以10m/s的速做平抛运动，求的速做平抛运动，求物体在物体在3s内的速度的变化量。内的速度的变化量。结论结论:做曲线运动的物体的速度变化量的方向仍然做曲线运动的物体的速度变化量的方向仍然是是从初速度末端指向末速度末端的矢量从初速度末端指向末速度末端的矢量vAvAvBv 作圆周运动的物体：设质点沿着半径为作圆周运动的物体：设质点沿着半径为r的的原做匀速圆周运动，某时刻位于原做匀速圆周运动，某时刻位于A点，速度为点，速度为vA，经过时间经过时间t后位于后位于B点，速度为点，速度为vB。讨论质点运。讨论质点运动的加速度的方向。动的加速度的方向。l1）分别作出质点在）分别作出质点在A、B两点的速度矢量两点的速度矢量VA、VB，如图甲。由于是匀速圆周运动，如图甲。由于是匀速圆周运动，VA和和VB的的长度是一样的。长度是一样的。l2）为了便于）为了便于VA、VB的比较，将的比较，将VB的起点移到的起点移到B，同时保持，同时保持VA的的长度和方向不变，如图乙。长度和方向不变，如图乙。 3）因为物体的速度变化量是）因为物体的速度变化量是从初速度末从初速度末端指向末速度末端的矢量，端指向末速度末端的矢量， 所以所以VA的末的末端指向端指向VB的末端的有向线段就为的末端的有向线段就为A到到B的的速度变化速度变化V，如图丙所示。，如图丙所示。l4） 是质点从是质点从A到到B的平均加速度。由于的平均加速度。由于a与与V的方向相同，我们就只讨论的方向相同，我们就只讨论V的方向，的方向，用它代表了质点加速度的方向。用它代表了质点加速度的方向。l5）从丙图上看出，）从丙图上看出，V并不与圆的半径平行，并不与圆的半径平行，但当但当t很小时，很小时，A、B两点就非常接近了，两点就非常接近了，VA和和VB也非常非常接近，如图丁。由于也非常非常接近，如图丁。由于VA和和VB的长的长度相等，它们与度相等，它们与V组成等腰三角形，当组成等腰三角形，当t很小很小很小时，很小时，V也就于也就于VA（VB）垂直，即与）垂直，即与半径平半径平行行，或者说，或者说V指向圆心了。指向圆心了。tva注意：注意：由于探究的加速度为瞬由于探究的加速度为瞬时值，所以时值，所以t必须取很小很小必须取很小很小才能得到才能得到a的方向和大小。的方向和大小。结论：结论：做匀速圆周运动的物体的加速度指向圆心，做匀速圆周运动的物体的加速度指向圆心，叫向心加速度叫向心加速度作用：作用：只改变速度的方向不改变速度的大小只改变速度的方向不改变速度的大小知道了加速度的方向，那加速度的大小该如知道了加速度的方向，那加速度的大小该如何计算呢？何计算呢？探究方案牛顿第二定律探究方案牛顿第二定律 ma探究方案运动学公式探究方案运动学公式tvaVAOABVBVVArr向心加速度向心加速度的大小的大小tvatvvRABvAB弧由由OABOAB与与BVBVA AV VB B相似有相似有 当当t很小很小时，很小很小时， AB /t表示表示何物理量？何物理量？二、向心加速度二、向心加速度vVLra= v/tV = L /t22nrrva角速度、线速度关系周期表达形式角速度表达形式线速度表达形式 4 2222vaTrararvannnn2.2.向心加速度公式向心加速度公式 1圆周运动的加速度圆周运动的加速度 (1)对于一般的非匀速圆周运动，对于一般的非匀速圆周运动，加速度有两个分量：一个是指向圆心的加速度有两个分量：一个是指向圆心的向心加速度，另一个是沿切线方向的加向心加速度，另一个是沿切线方向的加速度，如图速度，如图555所示。所示。 因此一般情况下，物体做圆周运动因此一般情况下，物体做圆周运动的加速度方向不一定指向圆心。的加速度方向不一定指向圆心。 (2)对于匀速圆周运动而言，物体对于匀速圆周运动而言，物体的加速度即为向心加速度，因此其方向的加速度即为向心加速度，因此其方向一定指向圆心。一定指向圆心。图图5 55 55 5三、对向心加速度的理解三、对向心加速度的理解1关于向心加速度，以下说法中正确的是关于向心加速度，以下说法中正确的是 ()A向心加速度的方向始终与速度方向垂直向心加速度的方向始终与速度方向垂直B向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心思路点拨思路点拨解答本题时应注意以下两点：解答本题时应注意以下两点：(1)向心加速度的物理意义。向心加速度的物理意义。(2)向心加速度方向与线速度方向间的关系。向心加速度方向与线速度方向间的关系。 解析解析向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向。所以，向心加速度的方向始终与速度则沿圆周的切线方向。所以，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变线速度的方向，物体做匀速圆周运动时，方向垂直，只改变线速度的方向，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不一圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不一定始终指向圆心。故定始终指向圆心。故A、B、D正确。正确。 答案答案ABD (1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢。切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢。 (2)向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变。向在不断改变。例例1.1.一物体在水平面内沿半径一物体在水平面内沿半径 R=20cmR=20cm的圆形轨道做匀速圆周的圆形轨道做匀速圆周运动，线速度运动，线速度V=0.2m/sV=0.2m/s，那么，那么它的角速度为它的角速度为_ rad/s，它的周期为它的周期为_s它的向心它的向心加速度为加速度为_m/s_m/s2 20.21 12 2 四四.课堂练习课堂练习例例2:例例3.3.关于北京和广州随地球自转的向心关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（加速度，下列说法中正确的是（ ）A.它们的方向都沿半径指向地心它们的方向都沿半径指向地心B.它们的方向都平行于赤道平面指向地它们的方向都平行于赤道平面指向地轴轴C.北京的向心加速度比广州的向心加速北京的向心加速度比广州的向心加速度大度大D.北京的向心加速度比广州的向心加速北京的向心加速度比广州的向心加速度小度小BDBDrRcos例例4.4.从从a= r 看看, 好像好像a跟跟r成正比成正比, 从从 a= /r 看，好像看，好像a跟跟r成反比。如果有人问你：成反比。如果有人问你：向心加速度的大小跟半径到底向心加速度的大小跟半径到底成正比还是成反比？应该怎样成正比还是成反比？应该怎样回答。回答。 22答：应该说：角速度相同时，答：应该说：角速度相同时，向心加速度的大小跟半径成正向心加速度的大小跟半径成正比；线速度的大小相同时，向比；线速度的大小相同时，向心加速度的大小跟半径成反比。心加速度的大小跟半径成反比。练习练习1如图所示为如图所示为A、B两个物体做匀速圆两个物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径周运动的向心加速度随半径r变化的图象，变化的图象，由图可知（）由图可知（）A、A物体的线速度大小不变物体的线速度大小不变 B、A物体的角速度不变物体的角速度不变C、B物体的线速度大小不变物体的线速度大小不变 D、B物体的角速度与半径成正比物体的角速度与半径成正比ArOB2 2、关于圆周运动的加速度，下列说法中正确的、关于圆周运动的加速度，下列说法中正确的是（是（ ）A.A.圆周运动的加速度方向一定指向圆心圆周运动的加速度方向一定指向圆心B.B.匀速圆周运动的加速度方向一定指向圆心匀速圆周运动的加速度方向一定指向圆心C.C.匀速圆周运动的加速度一定不变匀速圆周运动的加速度一定不变D.D.匀速圆周运动的加速度大小一定不变匀速圆周运动的加速度大小一定不变 匀速圆周运动的物体速度大小不变，匀速圆周运动的物体速度大小不变，速度方向不断变化。向心加速度是描述物速度方向不断变化。向心加速度是描述物体速度方向变化快慢的物理量。体速度方向变化快慢的物理量。BD3 3、甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之、甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为比为1 1：2 2，转动半径之比为，转动半径之比为1 1：2 2，在相等时间，在相等时间里甲转过里甲转过6060，乙转过，乙转过4545，则它们的加速度，则它们的加速度之比为之比为 ( )( )A. 4A. 4：3 3 B.2B.2：3 3 C.8C.8：9 9 D.9D.9：161634乙甲乙甲21乙甲rr98)(2乙甲乙甲乙甲rraaC例与练例与练4 4、如图所示装置中，三个轮的半径分别为、如图所示装置中，三个轮的半径分别为r r、2 2r r、4 4r r，b b点到圆心的距离为点到圆心的距离为r r，求图中，求图中a、b b、c c、d d各点的加速度之比。各点的加速度之比。 dcbcavv 4:2:1:dcbdcbrrraaa1:2:accarraa4:2:1:4:dcbaaaaa例与练例与练5 5、如图，一质点沿着半径、如图，一质点沿着半径r=2mr=2m的圆周，以的圆周，以n=1r/sn=1r/s的转速逆时针匀速转动。的转速逆时针匀速转动。求：求：（1 1）从）从A A点开始计时，经过点开始计时，经过0.25s0.25s的时间，的时间，质点速度的变化。（质点速度的变化。（2 2）质点向心加速度的大小。）质点向心加速度的大小。OrABvAvBvAv 匀速圆周运动的性质：匀速圆周运动的性质：加速度大小不变，方加速度大小不变，方向时刻改变的变加速向时刻改变的变加速曲线运动曲线运动.四四. .课堂小结课堂小结1.匀速圆周运动的加速度方向匀速圆周运动的加速度方向2.匀速圆周运动的加速度大小匀速圆周运动的加速度大小3.匀速圆周运动的性质匀速圆周运动的性质 (1)做匀速圆周运动的物体，其向心加速度的方向沿做匀速圆周运动的物体，其向心加速度的方向沿半径指向圆心，方向时刻变化，匀速圆周运动为变半径指向圆心，方向时刻变化，匀速圆周运动为变加速曲线运动。加速曲线运动。 (2)向心加速度只改变做圆周运动的物体的速度方向，向心加速度只改变做圆周运动的物体的速度方向，而切向加速度改变做圆周运动的物体的速度大小。而切向加速度改变做圆周运动的物体的速度大小。 (3)角速度角速度一定时，向心加速度一定时，向心加速度an与半径与半径r成正比，成正比，线速度线速度v一定时，向心加速度一定时，向心加速度an与半径与半径r成反比。成反比。五.作业l教材P22 问题与练习 2. 3. 4