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充要条件充要条件高一数学高一数学主讲教师：乜全力主讲教师：乜全力一、学习指导一、学习指导1、已知pq,则p是q 的充分条件。也就是说，为了使q成立，具备条件p 就足够了。2、对于命题“若p, 则q”，已知qp,则称p是q 成立的必要条件。这是因为，qp的逆否命题为pq.也就是说，为了使结论q成立，必须满足条件p. 即p是q成立的必要条件.3、如果pq,qp,即pq,则称条件p为结论q成立的充分必要条件，简称充要条件。4、形象记忆：“顺”为充分，“逆”为必要。5、判断充分条件或必要条件的三个步骤。 写出命题：分清条件和结论，将命题写成“若p,则q”的形式； 判断：判断“若p,则q”和其逆命题“若q,则p”的真假（特例法、逻辑推理法、等价转化法等）； 结论：根据充分条件或必要条件的定义作出结论。6、用集合的观点理解充要条件：例如：若AB，则称A为B成立的充分条件；若BA，则称A为B成立的必要条件；若AB，则称A为B成立的充要条件. 二、典型例题二、典型例题 （1）p：a，b是整数； q：x2 axb0有且仅有整数解.（2）p：a b1，q：a3b3aba2b20.【分析】 ，当a3，b=4，方程x23x40的判别式3244170，q不成立。 所以 , 但qp。设方程x2 axb0的两个整数解为x1，x2，则a( x1 x2),b x1 x2均为整数，所以qp成立。 例例1、在下列各小题中，、在下列各小题中，p是是q的什么条件？的什么条件？pq pq 将a3b3aba2b20的左边分解因式后可得下列等式： a3b3aba2b2(ab)(a2abb2)(a2abb2) (a2abb2)(ab1) 容易知道pq.但q p. 例如ab0时，a2abb20. 使得a3b3aba2b20成立，但ab1 【点评】若判断一个命题不成立，只要举一个反例就足够了，根据命题的条件和结论，恰当地寻找反例。在判断一个命题为真命题时，要进行论证，论证要符合数学逻辑。 例例2、已知、已知p、q都是都是r 的必要条件，的必要条件，s是是r的充分条件，的充分条件，q是是s的充分条件，那么的充分条件，那么. s是是q的什么条件？的什么条件？ r是是q的什么条件？的什么条件？ p是是q的什么条件？的什么条件？【分析】 本题给出的条件比较多，同一个条件对于不同的命题又 可以作为结论。为了理清其关系，根据题意图示如下： prq s 由sr,rq,知sq,又qs, 所以sq,即s 是q的充要条件。 由qs，sr知qr,又rq，所以rq.即r是q的充要条件。 由qs，sr，rp得，qp,所以p是q的必要条件。 【点评】 根据充分条件或必要条件的意义，不仅熟练地由pq去判断p是q的充分条件，q是p的必要条件，且能将文字语言准确地转换到数学符号语言。 例例3、p：“x 1且且y 2”，q：“x y 3”. p是是q的什么条件？的什么条件？【分析1】 p q,例如，“x9，y6”符合p,但xy3,不符合q. q p,例如“x10，y2”符合q，但不符合p. 故p是q的既不充分 也不必要条件。【分析2】 “若p, 则q”的逆否命题为“若xy3,则x1或x2.”为假 命题，故p q . “若q, 则p”的逆否命题为“若x1或y2”,则“xy3”为假命题，故 q p. 故p是q的既不充分也不必要条件。 【点评】 判断充要条件时，要注意命题的等价转换，尤其是遇到命题的否定形式，用该命题的逆否命题更方便，同时注意用“特殊值”探路。例例4、若、若M: “p或或q为真命题为真命题”，N: “p且且q为真命题为真命题”.则则M是是N的（的（ ）条件。）条件。（A）充分但不必要条件；充分但不必要条件；（B）必要但不充分条件；必要但不充分条件；（C）充要条件；充要条件；（D）既不充分也不必要条件。既不充分也不必要条件。【分析】 由“p或q”的真值表得，“p或q”为真命题应有以下三种 形式：p真q假、p假q真、p真q真。故N M ,但M N。 故选B. 例例5、若、若p : x 1 且且 y 1; q : x+y 2, 且且xy 1.则则p是是q的（的（ ）条件）条件.（A）充分但不必要条件；充分但不必要条件；（B）必要但不充分条件；必要但不充分条件；（C）充要条件；充要条件；（D）既不充分也不必要条件。既不充分也不必要条件。【分析】 p q , 因为x1且 y1，得x10 , y10，于是 (x1)+(y1)0，即xy2. 同时xy1。 q p。 例如：当x4，y 时，虽然有xy 2，xy21，满足q，但不满足p. 【点评】本例中同学往往认为p是q的充要条件，在解决有关一元二次方程的问题时出现错误解法。例如一元二次方程x2axa10的两个实数根均大于1，求a的取值范围。 1292解：设x2axa10的两个实数根分别为x1、x2，则 即 所以 a 2. 以上解法是否正确，为什么？ 不正确。问题出在 与 并不等价。 例如，当a3时，x2-3x20 的两根x11，x22虽然满足 但并不满足 故a3.2121 24(1)021 1aaxxaxxa ，2202aa1211xx121221xxx x121221xxx x1211xx三、画龙点睛三、画龙点睛 充要条件渗透到数学的许多概念中，掌握充要条件，对于进一步学习数学概念，理解数学公式和法则具有十分重要的意义。熟练判断一个命题的条件是否为其结论成立的充分条件或必要条件，是同学们将来学好数学的必备能力。
