九年级数学下册 第六章 知识整合教材深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+知识整合+能力提升评估pdf） 新人教版.pdf

知识结构串联中考专题透析专题确定二次函数的关系式, 体会二次函数的意义命题热点趋向: 确定二次函数的关系式是运用函数解决问题的基本要求通过对问题( 数学问题或实际问题) 的分析, 先确定函数的关系式, 然后利用二次函数的性质解决问题, 这是中考试题常见的命题思路解题思路梳理: 确定二次函数的关系式有两种情形, 一是根据实际问题中基本量之间的数量关系, 经整理得到函数关系式; 一是由二次函数图象上三个点的坐标, 运用待定系数法即通过列三元一次方程组, 确定二次项系数、 一次项系数及常数项例( 重庆江津)已知双曲线ykx与抛物线ya xb xc交于A(,) ,B(m,) ,C(,n) 三点() 求双曲线与抛物线的解析式;() 在平面直角坐标系中描出点A、B、C, 并求出A B C的面积()()图精析:根据双曲线过点A, 将点A的坐标代入方程便可求出未知数k, 进而可确定B、C两点的坐标, 求出a,b,c的值解答:() 把点A(,) 代入ykx, 得k反比例函数的解析式为yx把点B(m,) ,C(,n) 分别代入yx, 得m,n把A(,) ,B(,) ,C(,) 分别代入ya xb xc, 得abc,abc,abc解得a,b,c 抛物线的解析式为yxx() 描点画图如图() 所示SA B C( ) 专题用描点法画出二次函数的图象命题热点趋向: 考查二次函数往往涉及到它的图象, 因为通过图象可以较直观的揭示二次函数的性质, 并结合图象解决问题, 体会数形结合的数学思想试题常以解答题形式呈现, 先描点画出函数的图象, 在此基础上确定函数的关系式, 再综合运用相关有联系的知识解决问题解题思路梳理: 根据题意, 先描点画出函数的图象, 通过图象的形状, 可以初步判断所列出的函数是哪一类函数, 然后进一步验证, 确认此函数为二次函数后, 再运用其性质解决问题由于二次函数的图象是轴对称图形, 所以在描点、 连线时要给予关注例( 浙江台州)某汽车在刹车后行驶的距离s( 单位: 米) 与时间t( 单位: 秒) 之间的关系得部分数据如下表:时间t( 秒) 行驶距离s( 米) () 根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点;() 选择适当的函数表示s与t之间的关系, 求出相应的函数解析式;()刹车后汽车行驶了多长距离才停止?当t分别为t,t(tt) 时, 对应s的值分别为s,s, 请比较st与st的大小, 并解释比较结果的实际意义图精析:() 描点, 用平滑曲线连接即可;() 设出二次函数解析式, 把个点的坐标代入可得二次函数解析式, 进而再把其余的点代入验证是否在二次函数上;()汽车在刹车时间最长时停止, 利用公式法, 结合() 得到的函数解析式,求得相应的最值即可;分别求得所给代数式的值, 根据所给时间的大小, 比较即可解答:() 描点画图如图所示:图() 由散点图可知该函数为二次函数,设二次函数的解析式为sa tb tc,抛物线经过点(,) ,c又由点( , ) , (, ) , 得 a b ,ab ,解得a,b 二次函数的解析式为st t经检验, 其余点均在st t上()汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离,当t ()时, 滑行距离最大,s () ,即刹车后汽车行驶了 米才停止st t,st t,st tstt ttt 同理stt ,ttstst其实际意义是刹车后到t时间内的平均速度小于刹车后到t时间内的平均速度点拨:考查二次函数的应用; 结合实际意义比较刹车时的平均速度的大小是解决本题的难点例( 山东济南)如图, 二次函数的图象经过(,) , (,) 两点, 则下列关于此二次函数的说法正确的是()图Ay的最大值小于B当x时,y的值大于C当x时,y的值大于D当x时,y的值小于解答:D点拨:A由图象知, 点(,) 在图象的对称轴的左边, 所以y的最大值大于, 不小于, 故本选项错误;B由图象知, 当x时,y的值就是函数图象与y轴的交点, 而图象与y轴的交点在点(,) 的左边, 故y, 故本选项错误;C对称轴在点(,) 的右边, 在对称轴的左边y随x的增大而增大, 因为, 所以x时,y的值小于x时,y的值, 即当x时,y的值小于, 故本选项错误;D当x时, 函数图象上的点在点(,) 的左边, 所以y的值小于, 故本选项正确所以本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征解答此题时, 需熟悉二次函数图象的开口方向、 对称轴、 与x轴的交点等知识例( 广东珠海)如图, 二次函数y(x)m的图象与y轴交于点C, 点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数yk xb的图象经过该二次函数图象上点A(,) 及点B() 求二次函数与一次函数的解析式;() 根据图象, 写出满足k xb(x)m的x的取值范围图精析:() 将点A(,) 代入y(x)m求出m的值, 根据点的对称性,将y代入二次函数解析式求出点B的横坐标, 再根据待定系数法求出一次函数的解析式;() 根据图象和A、B的交点坐标可直接求出k xb(x)m的x的取值范围解答:() 将点A(,) 代入y(x)m, 得()m,m,m, 则二次函数解析式为y(x)当x时,y, 故点C的坐标为(,) ,由于C和B关于对称轴对称, 在设点B的坐标为(x,) ,令y, 有(x), 解得x或x则点B的坐标为(,)设一次函数解析式为yk xb,将A(,) ,B(,) 代入yk xb, 得kb,kb,解得k,b,则一次函数解析式为yx;()点A、B的坐标为(,) , (,) ,当k xb(x)m时,x点拨:本题考查了待定系数法求一次函数解析式、 待定系数法求二次函数解析式、 二次函数与不等式组, 求出点B的坐标是解题的关键例( 江苏无锡)如图, 在边长为 c m的正方形纸片A B C D上, 剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形, 再沿图中的虚线折起, 折成一个长方形形状的包装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点)已知点E、F在边A B上, 是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点, 设A EB Fx(c m)() 若折成的包装盒恰好是正方体, 试求这个包装盒的体积V;() 某广告商要求包装盒的表面( 不含下底面) 面积S最大, 试问x应取何值?图精析:() 根据折叠前后图形特点, 若折成的包装盒恰好是个正方体, 则这个包装盒的长、 宽、 高相等, 利用等腰直角三角形的性质, 可以用x形式表示出A E、E F、B F的长度, 再利用正方形A B C D的边长为 c m, 构造有关x的方程, 进一步求出其值正方体的体积公式:Va, 其中a表示正方体的边长() 用利用等腰直角三角形的性质, 可以用含x的式子表示出A E、E F、B F的长度, 进一步求出包装盒的表面( 不含下底面)Sa ha x( x)(x)x x(x) , 利用二次函数的知识求其最值解答:() 根据题意, 知这个正方形的底面边长a x,E F ax,xxx xa ,Va( ) (c m)() 设包装盒的底面边长为ac m, 高为hc m, 则a x,h x ( x)S a ha x( x)(x) x x (x ) x ,当x时,S取得最大值 c m点拨:本题利用折叠考查了学生的空间想象能力, 用含x的式子正确表示出相关线段的长度, 进一步求出相关的体积和面积表达形式, 利用二次函数求代数式的最值, 把平面几何与代数的知识揉和在一起, 难度属于中等偏上专题从图象上认识二次函数的性质命题热点趋向: 二次函数的性质是中考重点考查内容之一, 具体包含二次函数的增减性、 最大值或最小值, 以及函数图象的开口方向、 对称轴, 以上性质都可以很直观地从图象中观察得到, 近几年中考中涉及二次函数的试题, 关注性质的应用,也常常将图象呈现出来解题思路梳理: 根据二次函数的图象, 可以判断图象的开口方向和对称轴, 也可以判断出函数与自变量之间的变化情况、 函数是否有最大值( 或最小值) , 以上也是学生对二次函数性质的基本描述角度, 要充分利用图象解决问题例( 山东德州)已知函数y(xa) (xb) ( 其中ab) 的图象如图所示, 则函数ya xb的图象可能正确的是()图精析:由图可知,a,b, 所以函数ya xb的斜率为, 大于, 并且当x时,yb, 故选D解答:D点拨:二次函数的图象对于学生理解二次函数的性质很有帮助, 能直观的反映二次函数与一元二次方程, 二次函数与一元二次不等式的关系二次函数部分是中考的必考内容, 但作图题在中考中不太多见例( 广西柳州)已知抛物线y(x)() 写出抛物线的开口方向、 对称轴;() 函数y有最大值还是最小值? 并求出这个最大( 小) 值;() 设抛物线与y轴的交点为P, 与x轴的交点为Q, 求直线P Q的函数解析式精析:() 根据二次函数的性质, 写出开口方向与对称轴即可;() 根据a是正数确定有最小值, 再根据函数解析式写出最小值;() 分别求出点P、Q的坐标, 再根据待定系数法求函数解析式解答解答:() 抛物线y(x),a,抛物线的开口向上, 对称轴为x()a,函数y有最小值, 最小值为() 令x, 则y(),所以点P的坐标为,(),令y, 则(x), 解得x,x,所以点Q的坐标为(,) 或(,) ,当点P,(),Q(,) 时, 设直线P Q的解析式为yk xb,则b,kb,解得k,b,所以直线P Q的解析式为yx当点P,(),Q(,) 时, 设直线P Q的解析式为ym xn,则n,mn,解得m,n,所以直线P Q的解析式为yx综上所述, 直线P Q的解析式为yx或yx点拨:本题主要考查了二次函数的性质, 二次函数的最值问题, 待定系数法求函数解析式, 以及抛物线与x轴的交点问题, 是基础题, 熟记二次函数的开口方向, 对称轴解析式与二次函数的系数的关系是解题的关键专题根据公式确定图象的顶点、 开口方向和对称轴( 公式不要求记忆和推导)命题热点趋向: 确定一个二次函数的图象的顶点、 开口方向和对称轴, 这是中考常考的内容, 必须熟练掌握回顾近几年的中考试题, 有的是直接给出函数关系式, 以数学问题的形式直接考查, 有的则是含在解决实际问题中进行考查, 确定了图象的开口方向和顶点坐标也就确定了函数的最大值或最小值解题思路梳理: 将问题中的二次函数整理成形如ya xb xc的形式, 确定a,b,c的值, 然后利用公式计算b,yxx的值, 进而确定图象的顶点和对称轴例( 江苏盐城)知识迁移当a且x时, 因为xax, 所以xaax从而xaxa( 当xa时取等号)记函数yxax(a,x) , 由上述结论可知: 当xa时, 该函数有最小值为a直接应用已知函数yx(x) 与函数yx(x) , 则当x时,yy取得最小值为变形应用已知函数yx(x) 与函数y(x)(x) , 求yy的最小值, 并指出取得该最小值时相应的x的值实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分: 一是固定费用, 共 元; 二是燃油费, 每千米为 元; 三是折旧费, 它与路程的平方成正比, 比例系数为 设该汽车一次运输的路程为x千米, 求当x为多少时, 该汽车平均每千米的 运输成本 最低? 最低是多少元?精析:直接运用: 可以直接套用题意所给的结论, 即可得出结果;变形运用: 先得出yy的表达式, 然后将(x) 看做一个整体, 继而再运用所给结论即可;实际运用: 设行驶x千米的费用为y, 则可表示出平均每千米的运输成本, 利用所给的结论即可得出答案解答:直接应用:变形应用:yy(x)x(x)x(x) ,yy有最小值为 , 当x , 即x时取得该最小值实 际 应 用:设 该 汽 车 平 均 每 千 米 的 运 输 成 本 为y元,则y x x x x x (x x) ,当x ( 千米) 时, 该汽车平均每千米的运输成本y最低,最低成本为 元点拨:本题比较新颖, 解答本题的关键是仔细审题, 理解题意所给的结论, 达到学以致用的目的例( 贵州贵阳)用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架( 如图中的一种)设竖档A Bx米, 请根据图案回答下列问题: ( 题中的不锈钢材料的总长度均指各图中所有黑线的长度和, 所有横档和竖档分别与AD、A B平行)() 在图中, 如果不锈钢材料的总长度为 米, 当x为多少时, 矩形框架A B C D的面积为平方米?() 在图中, 如果不锈钢材料的总长度为 米, 当x为多少时, 矩形框架A B C D的面积S最大? 最大面积是多少?() 在图中, 如果不锈钢材料的总长度为a米, 共有n条竖档, 那么当x为多少时, 矩形框架A B C D的面积S最大? 最大面积是多少?图精析:本题从列代数式到列函数关系式, 由浅入深, 适时做了铺垫, 也考查了数与式中最核心的知识解答:() 当不锈钢材料总长度为 米, 共有条竖档时,B Cx,x(x), 解得x或() 当不锈钢材料总长度为 米, 共有条竖档时,B Cx, 矩形框架A B C D的面积Sxx()xx当x时,S当x时, 矩形框架A B C D的面积S最大, 最大面积为平方米() 当不锈钢材料总长度为a米, 共有n条竖档时,B Canx, 矩形框架A B C D的面积Sxanx()nxax当xan时,Sa n当xan时, 矩形框架A B C D的面积S最大, 最大面积为a n平方米专题解决简单的实际问题命题热点趋向: 二次函数是反映世界中变量间关系和变化规律的一种常见的数学模型利用二次函数解决实际问题的考查, 一直是中考的必考内容, 试题通常选取与学生生活贴近的实际问题, 通过数学建模解决问题考查“ 问题情境建立模型应用与拓展” 模式解题思路梳理: 利用二次函数解决实际问题, 首先必须建立数学模型, 即将实际问题转化为二次函数问题, 并求出函数的解析式, 通过解析式和图象去研究问题例 ( 山东临沂)如图() , 抛物线经过点A(,) ,B(,) 及原点O, 顶点为C() 求抛物线的解析式;() 若点D在抛物线上, 点E在抛物线的对称轴上, 且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形, 求点D的坐标;()P是抛物线上第一象限内的动点, 过点P作PMx轴, 垂足为M, 是否存在点P使得以P、M、A为顶点的三角形与B O C相似? 若存在, 求出点P的坐标; 若不存在, 请说明理由图()精析:根据已知三点便可求出抛物线的解析式, 对于第() 问要分情况讨论,关键是要考虑齐全解答:()抛物线过原点O,设抛物线的解析式为ya xb x,将A(,) ,B(,) 代入, 得ab,ab,解得a,b此抛物线的解析式为yxx() 如图() ,当A O为边时,以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,D EA O, 且D EA O, 点E在对称轴x上,点D的横坐标为或,即符合条件的点D有两个, 分别记为D、D,而当x时,y; 当x时,y,D(,) ,D(,)当A O为对角线时, 则D E与A O互相平分又点E在对称轴上, 且线段A O的中点横坐标为, 由对称性知, 符合条件的点D只有一个, 即顶点C(,)综上所述, 符合条件的点D共有个, 分别为D(,) ,D( ,) ,D( , )图()() 存在B(,) ,C(,) , 根据勾股定理, 得B O ,C O,B C ,B OC OB CB O C是直角三角形假设存在点P, 使以P、M、A为顶点的三角形与B O C相似,设P(x,y) , 由题意知x,y, 且yxx,若AMPB O C, 则AMB OPMC O, 即x(xx) ,得x,x( 舍去)当x时,y, 即P,()若PMAB O C, 则AMC OPMB O, 即xx(x) ,得x,x( 舍去)当x时,y , 即P(, )故符合条件的点P有两个, 分别是P,()或(, )例 ( 山东烟台)如图, 在平面直角坐标系中, 已知矩形A B C D的三个顶点B(,) ,C(,) ,D(,)以A为顶点的抛物线ya xb xc过点C动点P从点A出发, 沿线段A B向点B运动同时动点Q从点C出发, 沿线段C D向点D运动点P、Q的运动速度均为每秒个单位运动时间为t秒过点P作P EA B交A C于点E() 直接写出点A的坐标, 并求出抛物线的解析式;() 过点E作E FAD于点F, 交抛物线于点G, 当t为何值时,A C G的面积最大? 最大值为多少?() 在动点P、Q运动的过程中, 当t为何值时, 在矩形A B C D内( 包括边界) 存在点H, 使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形? 请直接写出t的值图 精析:() 根据矩形的性质可以写出点A的坐标; 由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为ya(x), 然后将点C的坐标代入, 即可求得系数a的值( 利用待定系数法求抛物线的解析式) ;() 利用待定系数法求得直线A C的方程yx; 由图形与坐标变换可以求得点P的坐标(,t) , 据此可以求得点E的纵坐标, 将其代入直线A C方程可以求得点E或点G的横坐标; 然后结合抛物线方程、 图形与坐标变换可以求得G Et、 点A到G E的距离为t, 点C到G E的距离为t; 最后根据三角形的面积公式可以求SA C GSA E GSC E G(t), 由二次函数的最值可以解得t时,SA C G的最大值为;() 因为菱形是邻边相等的平行四边形, 所以点H在直线E F上解答:()A(,)由题意知, 可设抛物线解析式为ya(x)抛物线过点C(,) ,a(), 解得a抛物线的解析式为y(x), 即yxx()A(,) ,C(,) ,可求直线A C的解析式为yx点P(,t) ,将yt代入yx中, 解得点E的横坐标为xt点G的横坐标为t, 代入抛物线的解析式中, 可求点G的纵坐标为tG E t()(t)tt又点A到G E的距离为t, 点C到G E的距离为t,即SA C GSA E GSC E GE GtE Gt()tt()(t)当t时,SA C G的最大值为()t 或t 点拨:本题考查了二次函数的综合题涉及到的知识点较多, 需要同学们对所学知识融会贯通、 灵活运用专题利用二次函数的图象求一元二次方程的近似值命题热点趋向: 由二次函数ya xb xc的图象与x轴的交点和一元二次方程a xb xc的根的关系, 我们借助二次函数的图象求一元二次方程的根,不过这种求法只是一元二次方程的根的近似解法中考对此要点的考查是关注数学知识之间的相互联系, 以及体现数形结合的思想方法解题思路梳理: 首先要明确函数的图象与x轴的交点和一元二次方程a xb xc的根的关系, 这样就可以通过观察图象就能发现交点的坐标, 从而获知相应方程的根( 二次函数ya xb xc的图象与x轴交点的横坐标就是方程a xb xc的根; 二次函数ya xb xc的图象与直线yk的交点的横坐标就是方程a xb xck的根)例 ( 吉林长春)如图 ,C , 点A、B在C的两边上,C A ,C B , 连接A B点P从点B出发, 以每秒个单位长度的速度沿B C方向运动, 到点C停止, 当点P与B、C两点不重合时, 作P DB C交A B于点D, 作D EA C于点E,F为射线C B上一点, 且C E FA B C设点P的运动时间为x( 秒)() 用含x的代数式表示C E的长;() 求点F与点B重合时x的值;() 当点F在线段C B上时, 设四边形D E C P与四边形D E F B重叠部分图形的面积为y( 平方单位)求y与x之间的函数关系式;() 当x为某个值时, 沿P D将以D、E、F、B为顶点的四边形剪开, 得到两个图形, 用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形, 请直接写出所有符合上述条件的x值()()()图 精析:本题的重点是对于不同的x的值, 画出图象, 进而列出二次函数的关系式解答:()PDB C,D EA C且C ,四边形D E C P为矩形D EP C,D PE C又C E FA B C,A B CD B PF E CF CE CD PB PA CB C又C A ,C B ,B Px,F CE CD Px F Cx,D PE Cx() 当点F与点B重合时,F CB C,x , 解得x ()当x 时,F PB CF CP B xx x,D EP CB CP B xS(D EF P)D P ( x)( x) x x( x) x x当 x 时, 在矩形D E C P中,D PE C,()()图 D O EF E CR t D O ER t C E FD O xxxD O( x)SD OD E( x) ( x)( x)()x ,x ,x例 ( 湖南益阳)如图, 已知抛物线ya(x)c与x轴交于点A( ,) 和点B, 将抛物线沿x轴向上翻折, 顶点P落在点P (,) 处图 () 求原抛物线的解析式;() 学校举行班徽设计比赛, 九年级五班的小明在解答此题时顿生灵感: 过点P 作x轴的平行线交抛物线于C、D两点, 将翻折后得到的新图象在直线C D以上的部分去掉, 设计成一个“W” 型的班徽, “” 的拼音开头字母为W, “W” 图案似大鹏展翅, 寓意深远; 而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(C D) 的比非常接近黄金分割比( 约等于 )请你 计算 这个 “W” 图 案的 高与 宽的 比 到底 是多 少? ( 参 考 数 据: , , 结果可保留根号)精析:() 利用点P与点P (,) 关于x轴对称, 得出点P的坐标, 利用待定系数法求出二次函数的解析式即可;() 根据已知得出C、D两点的坐标, 进而得出“W” 图案的高与宽(C D) 的比解答:()P与P (,) 关于x轴对称,点P的坐标为(,)抛物线ya(x)c过点A( ,) , 顶点是P(,) ,a( )c,a()c解得a,c则抛物线的解析式为y(x),即yxx()C D平行x轴,P (,) 在C D上,C、D两点的纵坐标为由(x),解得x ,x ,C、D两点的坐标分别为( ,) , ( ,)C D “W” 图案的高与宽(C D) 的比 ( 或约等于 )点拨:此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的应用, 根据已知得出C、D两点的坐标是解题关键最新三年真题例( 天津)已知二次函数ya xb xc(a) 中自变量x和函数值y的部分对应值如下表:xy则该二次函数的解析式为解答:yxx例( 江苏无锡)若抛物线ya xb xc的顶点是A(,) , 且经过点B(,) , 则抛物线的函数关系式为解答:yxx例( 江苏无锡)下列二次函数中, 图象以直线x为对称轴, 且经过点(,) 的是()Ay(x)By(x)Cy(x)Dy(x)解答:C例( 山东聊城)下列四个函数图象中, 当x时, 函数值y随自变量x的增大而减小的是()精析: 从图象可以看出, 当x 时,A中y随x的增大而增大,B中y随x的增大而增大,C不具有单调性,D中y随x的增大而减小选D解答:D点拨: 二次函数ya xb xc,a, 图象开口向上,a, 图象开口向下; 对称轴在y轴右侧,ba , 所以a b 此时,a,b异号, 对称轴在y轴左侧,ba, 所以a b , 此时,a,b同号; 图象交y轴正半轴, 所以c 图象交y轴负半轴, 所以c 当a , 反比例函数yax的图象在第一、 三象限, 当a, 反比例函数yax的图象在第二、 四象限; 正比例函数yk x的图象是过原点的直线, 当k时,y随x的增大而增大, 当k时,y随x的增大而减小所以本题综合考查了二次函数、 一次函数、 反比例函数的图象和性质, 需要学生对函数的图象和性质有很好的掌握, 具有一定的区分度例( 青海西宁)如图, 二次函数ya xb xc的图象过(,) ,(,) 两点, 下列关于这个二次函数的叙述正确的是()图 A当x时,y的值大于B当x时,y的值小于C当x时,y的值大于Dy的最大值小于解答:B例( 山东日照)二次函数ya xb xc(a) 的图象如图所示, 给出下列结论:ba c;ab;abc;abc其中正确的是()图 ABCD解答:D例( 广西钦州)已知二次函数ya xb xc(a) 的图象如图所示, 则下列结论:a c;abc;当x时,y;方程a xb xc(a) 有两个大于的实数根其中错误的结论有()图 ABCD解答:C例( 山东泰安)二次函数ya(xm)n的图象如图所示, 则一次函数ym xn的图象经过()图 A第一、 二、 三象限B第一、 二、 四象限C第二、 三、 四象限D第一、 三、 四象限解答:C图 例( 贵州贵阳)已知二次函数ya xb xc(a) 的图象如图 所 示, 当x时, 下 列 说法 正确 的是()A有最小值、 最大值B有最小值、 最大值C有最小值、 最大值D有最小值、 最大值解答:B例 ( 内蒙古呼和浩特)已知M、N两点关于y轴对称, 且点M在双曲线yx上, 点N在直线yx上, 设点M的坐标为(a,b) , 则二次函数ya b x(ab)x()A有最大值, 最大值为B有最大值, 最大值为C有最小值, 最小值为D有最小值, 最小值为解答:B例 ( 广东佛山)() 任选以下三个条件中的一个, 求二次函数ya xb xc的解析式;y随x变化的部分数值规律如下表:xy有序数对(,) , (,) , (,) 满足ya xb xc;已知函数ya xb xc的图象的一部分( 如图) ;() 直接写出二次函数ya xb xc的三个性质图 解答: () 方法一: 由可得:c,abc,abc,所以a,b,c, 所以二次函数解析式为yxx方法二: 由可得:abc,abc,abc,解得a,b,c, 所以二次函数解析式为yxx方法三: 由可得:c,abc,ba,解得a,b,c, 所以二次函数解析式为yxx( 三种选其一即可)() () 对称轴为x() 开口向下() 与x轴有两个交点() 交y轴正半轴例 ( 广西梧州)如图,A(,) ,B(,) 两点在一次函数yxm与二次函数ya xb x图象上图 () 求m的值和二次函数的解析式;() 请直接写出当yy时, 自变量x的取值范围精析: () 因为点A( ,) ,B(,) 都在一次函数和二次函数图象上, 一次函数只有一个待定系数m, 所以将A(,) ,B(,) 中任意一点的坐标代入yxm即可, 二次函数ya xb x 有两个待定系数a,b, 所以需要A(,) ,B(, ) 两点的坐标都代入ya xb x, 用二元一次方程组解出a,b的值;() 观察图象中同一个横坐标对应的y,y的值, 直接得到答案解答: () 把A(,) 代入yxm, 得()m,m把A(,) ,B(,) 两点代入ya xb x, 得ab,ab,解得a,byxx() 当yy时,x点拨: 此题考查用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式, 同时考查学生的读图能力, 属于中等难度题例 ( 重庆)企业的污水处理有两种方式, 一种是输送到污水厂进行集中处理, 另一种是通过企业的自身设备进行处理某企业去年每月的污水量均为 吨, 由于污水厂处于调试阶段, 污水处理能力有限, 该企业投资自建设备处理污水, 两种处理方式同时进行 至月, 该企业向污水厂输送的污水量y( 吨)与月份x(x, 且x取整数) 之间满足的函数关系如下表:月份x( 月)输送的污水量y( 吨) 至 月, 该企业自身处理的污水量y( 吨) 与月份x(x , 且x取整数)之间满足二次函数关系式为ya xc(a)其图象如图所示 至月, 污水厂处理每吨污水的费用:z( 元) 与月份x之间满足函数关系式:zx, 该企业自身处理每吨污水的费用:z( 元) 与月份x之间满足函数关系式:zx x;至 月, 污水厂处理每吨污水的费用均为元, 该企业自身处理每吨污水的费用均为 元() 请观察题中的表格和图象, 用所学过的一次函数、 反比例函数或二次函数的有关知识, 分别直接写出y,y与x之间的函数关系式;() 请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W( 元) 最多, 并求出这个最多费用;() 今年以来, 由于自建污水处理设备的全面运行, 该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理, 估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a, 同时每吨污水处理的费用将在去年 月 份的 基础 上 增加(a ), 为鼓励节能降耗, 减轻企业负担, 财政对企业处理污水的费用进行 的补助若该企业每月的污水处理费用为 元, 请计算出a的整数值( 参考数据: , , )图 解答: ()y x( x ,x为整数) ,yx ( x ,x为整数)() 当x,x为整数时,Wyz( y)z x x (x ) , ,当x时,W有最大值, 最大值是 当x ,x为整数时,W( y) yx ,当x时,W有最大值, 最大值是 ,当x时,W有最大值, 最大值是 , 即去年月费用最多, 最多为 元() 由题意, 得 (a) (a )( ) ,解得a 例 ( 浙江金华)已知二次函数ya xb x的图象经过点A(,) ,B(,)() 求二次函数的解析式;() 填空: 要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点, 应把图象沿y轴向上平移个单位精析: () 中二次函数的图象与x轴只有一个交点, 即一元二次方程有两个相等的实数根, 所以判别式的值为零解答: () 由已知, 有ab,ab,即ab,ab,解得a,b二次函数的解析式为yxx()yxx(x),即应把图象沿y轴向上平移个单位点拨: 抛物线平移前后开口方向和形状不变, 即二次项系数不变, 所以解答此类问题的关键是顶点的变化例 ( 江苏连云港)已知反比例函数ykx的图象与二次函数ya xx的图象相交于点(,)() 求a和k的值;() 反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点, 为什么?解答: ()二次函数ya xx与反比例函数ykx交于点(,) ,a,k, 解得a,k() 反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点由() 知, 二次函数和反比例函数的关系式分别是yxx和yx yxx(xx)(xx)(x)(x),二次函数图象的顶点坐标是(,)x时,y,反比例函数图象经过二次函数图象的顶点例 ( 江苏南京)问题情境: 已知矩形的面积为a(a为常数,a) , 当该矩形的边长为多少时, 它的周长最小? 最小值是多少?数学模型: 设 该 矩 形 的 长 为x, 周 长 为y, 则y与x的 函 数 关 系 式 为yxax()(x)探索研究: () 我们可以借鉴以前研究函数的经验, 先探索函数yxx(x) 的图象性质填写下表, 画出函数的图象:xy图 ()观察图象, 写出该函数两条不同类型的性质;在求二次函数ya xb xc(a) 的最大( 小) 值时, 除了通过观察图象,还可以通过配方得到请你通过配方求函数yxx(x) 的最小值;() 用上述方法解决“ 问题情境” 中的问题, 直接写出答案精析: 本题是用二次函数解决实际问题, 实际就是求二次函数的最值问题解答: () 函数yxx(x) 的图象如图 ()图 ()本题答案不唯一, 下列解法供参考当x时,y随x的增大而减小; 当x时,y随x的增大而增大; 当x时函数yxx(x) 的最小值为yxx(x)x(x)x()xxxxxx当xx, 即x时, 函数yxx(x) 的最小值为() 当该矩形的长为a时, 它的周长最小, 最小值为a例 ( 浙江杭州)当k分别取,时, 函数y(k)xxk都有最大值吗? 请写出你的判断, 并说明理由; 若有, 请求出最大值解答:当开口向下时函数y(k)xxk都有最大值,k, 解得k当k时, 函数y(k)xxk有最大值函数yxx(x), 故最大值为例 ( 湖北武汉)某宾馆有 个房间供游客住宿, 当每个房间的房价为每天 元时, 房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加 元时, 就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 元的各种费用根据规定, 每个房间每天的房价不得高于 元设每个房间的房价每天增加x元(x为 的整数倍)() 设一天订住的房间数为y, 直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;() 设宾馆一天的利润为w元, 求w与x的函数关系式;() 一天订住多少个房间时, 宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?解答: ()y x (x )()w( x )y( x ) x ()x x () 因为wx x , 所以当xba, 即x 时, 利润最大, 此时订房数y x 此时的利润是 元例 ( 江苏扬州)如图, 在R t A B C中,B A C ,A BA C,M是边B C的中点,MNB C交A C于点N, 动点P从点B出发沿射线B A以每秒厘米的速度运动同时, 动点Q从点N出发沿射线NC运动, 且始终保持MQMP设运动时间为t秒(t)()P BM与QNM相似吗? 以图() 为例说明理由;() 若A B C ,A B 厘米求动点Q的运动速度;设R t A P Q的面积为S( 平方厘米) , 求S与t的函数关系式;() 探求B P、P Q、C Q三者之间的数量关系, 以图() 为例说明理由()()图 解答: ()P BM与QNM相似MNB C,MQMP,NMBPMQB A C PMBQMN,QNMB CP BMQNM()A B C ,B A C ,A B ,B P t,A BBMCM,MN P BMQNM,B PNQBMMN, 即B PNQ 点P的运动速度是每秒厘米,点Q的运动速度是每秒厘米A C ,CN,A Q tt,A P tS(t)( t)(t )()B PC QP Q证明如下:B P t,B PtC Qt,C Q(t) ttP Q(t)(t)t t ,B PC QP Q例 ( 浙江绍兴)如图, 矩形O A B C的两边在坐标轴上, 连接A C, 抛物线yxx经过A、B两点图 () 求点A的坐标及线段A B的长;() 若点P由点A出发以每秒个单位的速度沿边A B向点B移动,秒后点Q也由点A出发以每秒个单位的速度沿边A O、O C、C B向点B移动, 当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动, 点P的移动时间为t秒当P QA C时, 求t的值;当P QA C时, 对于抛物线对称轴上一点H,HO QP O Q, 求点H的纵坐标的取值范围解答: () 由抛物线yxx知, 当x时,y,A(,)由于四边形O A B C是矩形, 所以A Bx轴, 即点A、B的纵坐标相同当y时,xx, 解得x,x,B(,)A B()由题意知, 点A移动的路程为A Pt, 点Q移动的路程为(t)t当点Q在O A上时, 即t,t时,如图() , 若P QA C, 则有R t Q A PR t A B CQ AA BA PB C, 即ttt,此时t值不合题意当点Q在O C上时, 即t,t 时,如图() , 过点Q作Q DA BADO Q(t)tD Pt(t)t若P QA C, 则有R t Q D PR t A B C,Q AA BD PB C, 即tt ,t符合题意当点Q在B C上时, 即t, t 时,如图() , 若P QA C, 过点Q作Q GA C, 则Q GP G, 即G Q P Q P B , 这与Q P B的内角和为 矛盾, 此时P Q不与A C垂直综上所述, 当t时, 有P QA C当P QA C时, 如图() ,B P QB A C,B PB AB QB Ct(t)解得t, 即当t时,P QA C此时A P,B QC Q,P(,) ,Q(,)抛物线对称轴的解析式为x,当H为对称轴与O P的交点时, 有HO QP O Q,当yH时,HO QP O Q作点P关于O Q的对称点P , 连接P P 交O Q于点M,()()()()图 过点P 作P N垂直于对称轴, 垂足为N, 连接O P ,在R t O C Q中,O C,C QO Q SO P QS四边形A B C DSA O PSC O QSQ B PO QPM,PM P P PM NP P C O Q,R t C O QR t NP P C QO QP NP P P N ,PN P , ()直线O P 的解析式为y xO P 与NP的交点H, ()当yH 时,HO PP O Q综上所述, 当yH或yH 时,HO QP O Q例 ( 湖南怀化)如图是二次函数y(xm)k的图象, 其顶点坐标为M(,)