2008年初二数学竞赛试题(定稿).pdf
2008 年初二数学竞赛试题（2008 年 5 月 25 日上午 9：0011：00）题号得分评卷人复查人一18二9141516三1718总分答题时注意；1用圆珠笔或钢笔作答2解答书写时不要超过装订线3可以用计算器一、选择题（共8 小题，每小题 5 分，满分 40 分以下每小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里不填、多填或错填均得零分）得分评卷人1设x a23a3，则x的值为（）A正数B负数C非负数D零2已知21x 2y xy 3，则的值（）5xy 6y 3xxyA1212BCD77772x33方程（x x 1)1的所有整数解的个数是（）AB.C.D.4.若直线y ax b与直线y 15则a b的值是（）x 关于 x 轴对称，22AB.C.D.5口袋中有 20 个球，其中白球 9 个，红球 5 个，黑球 6 个，现从中任取 10 个球，使得白球不少于 2 个但不多于 8 个，红球不少于2 个，黑球不多于3 个，那么上述取法的种数是（）A.B.C. D.初二数学竞赛试题 第1页（共9页）6. 如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是 ( )主视图左视图俯视图 A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10 个7 在凸四边形 ABCD 中， C=1200, B=D=900,AB=6,BC=23,则 AD=（）A. 23 B.6 C. 43 D.638.设 n(n2)个正整数a1，a2，an，任意改变它们的顺序后， 记作b1，b2，bn，若 P=(a1-b1)(a2-b2)(a3b3)(an一bn)， 则 ( ) A P 一定是奇数 BP 一定是偶数 C当 n 是偶数时，P 是奇数 D当 n 是奇数时，P 是偶数二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9已知a 2008x2006,b 2008x2007,c 2008x2008，则多项式a2b2c2abbcca的值10将个整数从大到小排列，中位数是，如果这个样本中的唯一众数是，则这个整数的和的最大值是11在图 8 中每个小方格内填入一个数，使每一行、每一列都有1、2、3、4、5，那么，右上角的小方格内填入x 的数应是.12在ABC 中，AB15cm，AC13cm，BC 边上高 A D12cm，则三角形 ABC 的面积为初二数学竞赛试题 第2页（共9页）513245331x13如图,有一种动画程序，屏幕上方正方形区域ABCD表示黑色物体甲,其中 A ( 1,1 )B ( 2,1 )C ( 2,2 )D ( 1,2 )，用信号枪沿直线y 3x b发射信号,当信号遇到区域甲时,甲由黑变白,则当 b 的取值范围为_时，甲能由黑变白14如果正整数n有以下性质：n的八分之一是平方数，n的九分之一是立方数，n的二十五分之一是五次方数，那么n就称为“希望数” ，则最小的希望数是 .三、解答题（共 4 题，分值依次为 12 分、12 分、12 分和 14 分，满分 50 分）1515已知四个实数a,b,c,d，且a b,c d.若四个关系式：2222y2. .1. .ODACB2. .1. .xa ac 4，b bc 4,c ac 8,d ad 8同时成立，（1）求ac的值；（2）分别求a,b,c,d的值.得分评卷人初二数学竞赛试题 第3页（共9页）16.某中学组织学生春游，旅游公司提供了中型客车数辆。起先，每辆车乘坐 28 名人，出发开出一段时间后，发现有一学生迟到没上车.现决定开一辆空车去接他， 接回后为赶时间就把这辆空车开得分评卷人走，让所有的人员重新分配，则刚好平均分乘余下的汽车，已知每辆车的载客量不能多于 32 人，那么原有几辆汽车，这批春游的学生共有多少人?初二数学竞赛试题 第4页（共9页）17在ABC 中，C=90，D 是 AB 的中点，E、F 分别在 BC、AC 上，且EDF=90.(1)如图 1，若 E 是 BC 的中点，,EF 与 AF、BE 有怎样的数量关系？并说明理由；（2）如图2，当F 在 AC 上运动时，点E 在 BC 上随之运动，问在运动过程中， EF 与 AF、BE 有怎样的数量关系？并说明理由.FEFE得分评卷人CCA图1DBAD图2B初二数学竞赛试题 第5页（共9页）18已知直线y （1）说明无论 k 取不等于 1 的任何实数此直线都经过某一定点，评卷人并求出此定点的坐标；（2）若点 B(5,0) , 点 P 在 y 轴上，点 A 为（1）中确定的定点，要使PAB为等腰三角形，求直线PA的解析式初二数学竞赛试题 第6页（共9页）kx 2k 4(k 1)k 1得分2008 年初二数学数学竞赛试题参考答案及评分建议数学竞赛试题参考答案及评分建议一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）题次题次答案答案1 1C C2 2D D3 3C C4 4A A5 5B B6 6D D7 7B8 8D D二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9. 3 10.2311. 112.84cm2或 24 cm2（答对一个得 2 分）13. -b 14. 215320512三、解答题（共 4 题，分值依次为 12 分、12 分、12 分和 14 分，满分 50 分）1515(12(12 分分) )解：解： （1）由(a ac)+(c ac)=4+8=12，得(a c) 12，a c 2 3. 4 分2（2）由(a ac)(b bc)=4=44=0，2(c ac) (d ad)=8=88=022222得(a b)(a b c) 0，(c d)( a c d) 0a b，c d,a bc 0,a c d 0.b d (a c). 2 分又(a ac)(c ac)=4=48=4，得，(a c)(a c) 4. 2 分当a c 2 3时，a c 解得a 222 3，34 32 3，c ，33b d 2 3. 2 分当a c 2 3，a c 解得a 2 3，32 34 3,c ，33b d 2 3. 2 分1616(12(12 分分) )解：解：设原有k辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐n个人，显然k2，初二数学竞赛试题 第7页（共9页）n32易知旅客人数等于28k 1，当一辆空车开走以后，这批春游的学生的人数可以表示为n(k 1)，由此列出方程28k 1 n(k 1). 2 分28k 122(k 1) 2929所以n . 4 分 28k 1k 1k 129因为n为正整数数，所以必为正整数，但由于 29 是质数，因数只有 1 和 29k 1两个，且k2，所以k 11，或k 1 29. 2 分如果k 11，则k 2，n 57，不满足n32 的条件.如果k 1 29，则k 30，n 29，符合题意. 2 分所以旅客人数等于n(k 1)2929841（人）. 2 分答：原有车辆 30 辆，这批春游的学生共有841 人.1717(12(12 分分) )解： （1）EF = AF +BE . 1 分D,E分别是 AB,BC 的中点，DEAC，且 DE=2221AC.2C=90,EDF=90, 四边形 CFDE 是矩形，DE=CF=AF,DF=CE=BE. 3 分又EDF=90，EF =DF +DE =AF +BE . 1 分(2) EF = AF +BE . 1 分延长 FD 至 G,使得 DG=DF,连结 BG,EG.则AFDBGD. 2 分BG=AF=CF, DF=DG , GBD=A .EDF=90,EF=EG. 1 分又GBD=A，BGAC,初二数学竞赛试题 第8页（共9页）22222222CFEADGBGBE=C=900, 1 分EG =BE +BG =BE +AF EF =AF +BE . 2 分18(14 分)解： （1）由题意知k 1，若取k 1,得 x 2y 6，若取k 2,得2x y 0.解得22222222x 2.y 4所以，不论k取任何实数此直线都经过一定点，其坐标为（2，4）. 5 分（2）分三种情况讨论： 设 P1(0,m1) ,满足 P1B=P1A, 由勾股定理得，5 m 2 (4 m)，222255，即 P1（0，） ，符合题意，88375直线 P1A 的解析式：y x . 2 分168解得m 设 P2(0,m2)，满足 P2B=AB, 易求得 AB=5, 所以点 P2（0，0） ，直线 P2A 的解析式：y 2x. 2 分设 P3(0,m3)，满足 P1A=AB, 由勾股定理得，22 (4 m)2 52,解得m 421，即 P3（0，4 直线 P3A 的解析式：y 直线 P3A 的解析式：y 21)，P4（0，4 21)，21x 421， 2 分221x 421. 2 分2综 上 所 述 ， 直 线PA的 解 析 式 为 ：y 375x ， 或y 2x， 或168y 2121x 421. 1 分x 421，或y 22初二数学竞赛试题 第9页（共9页）
