数学建模与数学实验课后习题答案.pdf

P594 4 学校共 10021002 名学生，237237 人住在 A A 宿舍，333333 人住在 B B 宿舍，432432 人住在 C C 宿舍。学生要组织一个 1010 人的委员会，使用 Q Q 值法分配各 宿舍的委员数。解:设 P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。i 表示各个宿舍（分别取 A,B,C），pi表示 i 宿舍现有住宿人数，ni表示 i 宿舍分配到的委员席位。首先，我们先按比例分配委员席位。A 宿舍为:nA=23710100233301002432X01002=2.3653.3234.311B 宿舍为：nB=C 宿舍为：nC=现已分完 9 人，剩 1 人用 Q 值法分配。QA2372= 9361.52 33332= 9240.73 443224 5QBQC=9331.2经比较可得，最后一席位应分给 A 宿舍。所以，总的席位分配应为：A 宿舍 3 个席位，B 宿舍 3 个席位，C 宿舍 4 个席位。商人们怎样安全过河鯉械mm賤縣臓傻麴删舫紬削I11山名畝即第紘麵觎岸締熾xM曲颁M删牘HX佛讪卜过樹蘇 卜允棘髒合 岡仇卅毘冋如;冋冋1卯;砰=口 於广歎煙船上觸人敦% VOJU;臥蹄峨颂禮训鋤嫌邂 韻靖甘讹岸讎鞍輯毗匍趾曲展 縣確牡GH錚俩軸飙奸比臥鋪謎smm彌xMmm朗“他1曲策D咿川|thPl,2卜允隸策集合 刼為和啊母紳轉 多步贱就匚叫=1入“山使曲并按腿翻律由汩3和騒側），模型求解 -穷举法编程上机图解法S=(xS=(x? ?jOI x=o, j-0,1,2,3;jOI x=o, j-0,1,2,3;X=3? J=0,1,2,3； X=*=1,2J J状态$=$=（xyxy） 16 16个格点允许状态U U）个。点 , 允许决策移动1 1或2 2格；k k奇）左下移；&偶，右上移.右，必I I给出安全渡河方案,rfl廿rfnrfn1评注和思考规格化方法，易于推广考虑4 4名商人各带一随从的情况片十i i2 3x2 3x由上题可求：4 4 个商人，4 4 个随从安全过河的方案。解：用最多乘两人的船，无法安全过河。所以需要改乘最多三人乘坐的船。如图所示，图中实线表示为从开始的岸边到河对岸， 虚线表示从河对岸回来。商人只需要按照图中的步骤走，即可安全渡河。总共需要9P60液体在水平等直径的管内流动， 设两点的压强差 P 与下列变量有关：管径 d,p,v,l,卩,管壁粗糙度，试求 P 的表达式解：物理量之间的关系写为为各个物理量的量纲分别为p= d,v,l,u。l -p I -L2MTU-LM , vLT , -L -LJMTJ,是- -个无量纲量。-1-311-120001A3 7=0100-10其中Ay二0解得11110-1-30_yiG1y2=(0-i-21 000)T1-1 0100Ty3=(0 -1-3 0010$y4=(0 000 00 1T所以昭1 =:dPWi2兀兀3PvAp兀4=因为f d,v,l, d：p =0与F,，二Ap = Pv呼(兀24 =0是等价的，所以 P 的表达式为:P771.一个容积为果池底和池壁的造价每平方米分别为在一块边长为6m的正方形空地上建造50m3，深5m的长方体无盖水池，如137元和100元，那么水池的最低总造价为多少元？设:建立优化模型。v表示为水池容积，h表示为水池深度，C1表示水池池底每平方米造价,C2表示水池池壁每平方米造价，Z表示总造价，x表示池底长度，y表示池底宽度。解:建立模型：Z =VGC22h (x y)，其中x _5，x岂6。h3代入数值，可化简为:Z =1370 1000 x10000，(- x3模型求解：使用 matlab 编程求解可得：fun ctio n f=fun(x)f=1370+1000*x+10000/x;endx=5/3:0.1:6;fplot(fu n,5/3,6)x,fval=fmi nbn d(fu n,5/3,6)A=vpa(fval,6)6)其中 a 的结果为A = (sym) 7694.56所以水池的最低总造价为7694.56 元2. 对边长为2m的正方形铁板，在4个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽， 剪使水槽的容积最大？设:建立优化模型。v表示体积，I表示正方体的边长, 解:建立模型：v =(l -2X)2 .X，其中x 0，x :： 1。代入数值，可化简为：v = 4x_8x2 4x。其中(0： x : 1)。则该如何X表示剪去的正方体的边长。模型求解：使用 matlab 编程求解可得fun ctio n f=fun(x) f=-(4*xA3-8*xA2+4*x); end x=0:0.01:1;fplot(fu n,0:1)x,fval=fmi nbn d(fu n,0:1) a=vpa(x,6)b=vpa(fval,6)其中 a 与 b 的值分别为 a =0.333320，b =-0.592593所以水槽的容积最大 0.592593 立方米。3.生产某种电子原件，如果生产一件合格品， 可获利200元，如果生产一件次品则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是p=3 x4 x + 37(x N )。(1) 、将该产品的日盈利额t(元)表示为日产量x的函数(2) 、为获最大利润，该厂的日产量应定为多少件？设:建立优化模型。x表示日生产量。Ci表示为生产一件合格品的获利金额。产一件次品损失的金额。C2表示为生t表示为日盈利额。t=200 x-3002。4x + 373x解:建立模型：t =6x(1 p) C2xp。代入数值，可化简为模型求解：使用 matlab 编程求解可得：fun cti onendf=fun(x)f=-(200*x-900*xA2/(4*x+37);x=0:100;fplot(fu n,0,100)x,fval=fmi nbn d(fu n,0,100)其中的结果为：x =18.5000,fval =-925.0000;所以为获最大利润，该厂的日产量应定为19 件.1 某饲养场用 n 种原料配合成饲料喂鸡，为了让鸡生长得快，对m 种营养成分有一个最低标准，即对i =1,2，m,要求第 i 种营养成分在饲料中的含量不少于b,若每单位的第 j种原料中含第 i 种营养成分的量为 ay,第 j 种原料的单价为 q ,问应如何配制饲料才能是 成本最低？解：设原料中 j 的量为Xj,Cj为第 j 种原料的单价，bj为第 i 种营养成分在饲料中的含量的最 低值,z为配制饲料的最低成本。目标函数为：nMinz=二XjCjj弓nS.t. aij- b，i=1,2,3，mj土xj _0,j=1,2,3,.n2、拟分配甲，乙，丙，丁 4 人去做 4 项工作，每人做且仅做一项。他们做各自工作的御用 天数见下表，应如何分配才能是总用工天数最少？天数in工作工人129843377644甲 乙丙丁105528755解:设i=1,2,3,4 分别对应甲乙丙丁，j=1,2,3,4 分别对应工作 1,2,3,4，其中x,=1表示第i名 工人做了第j分工作，舛-0表示第i名工人没做第j分工作，cij表示第i名工人做了第j分工作的天数，z表示为总用工天数的最小值。目标函数为：44Minz八、Xj - Cijj =1 i =14S.t. _Xij=1, j 1,2,3,4i 4二Xij= 1,i = 1,2,3,4jTXjE (0,1 )3、某校经预赛选出 A , B, C, D 4 名学生。将派他们去参加该地区各学校之间的竞赛，此 次竞赛的4 门功课考试将在同一时间进行，因而每人只能参加一门比赛，比赛结果将以团队总分计名次(不计个人名次)。设下表是 4 名学生选拔时的成绩，应如何组队较好？课程学生ABC数学物理化学外语90859379958991857873888483807987D解:设i=1,2,3,4 分别分别对应同学 A,B,C,D，j=1,2,3,4 分别对应数学，物理，化学，外语，其中Xj=1表示选了第i名同学的第j门课程，Xj=0表示不选择第i名同学的第j门课程，Cij表示第i名同学做了第j门功课的成绩，z表示为成绩之和的最大值。目标函数为：44Max z = 、 xij- cijj 1 iW4S.t.xij=1, j =1,2,3,4i 14二xij 1,i -1,2,3,4j TXj (0,1)8、要从宽度分别为 3 m 和 5 m 的 B1 型和 B2 型两种标准卷纸中，沿着卷纸伸长的方向切割出宽度分别为 1.5 m，2.1 m 和 2.7 m 的 A1 型、A2 型和 A3 型 3 种卷纸 3000 m，10000 m和 6000 m。如何切割才能使耗费的标准卷纸的面积最少？解:找出切割的各种方案；万案12345678标准卷纸类型1.522.1010010212.700100101余料00.90.30.51.40.80.80.2B10031B2100设Xi,X2.X8分别表示方案 1 至U方案 8,z表示剩下的余料面积。目标函数为：Minz =0.9* x2 0.3*X3 0.5* x4 1.4* x5 0.8* x6 0.8* x7 0.2* x8S.t1.5* (2* x1 3* x4 x5 x6) _30002.1*(x2 x 2* x7 x8)_ 1 00002.7*(X3X6X8)亠6000X1,X2，X8 09、某储蓄所每天的营业时间是数见表 5.27。9:00-17:00。根据经验，每天不同时间段所需要的服务员人表 5.27 不同时间段所需要的服务员数量时间段/h服务员人数9-10410-11311-12412-13613-1414-1515-1656816-178储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员，全时服务员每天报酬100 元，从 9:00-17:00 工作，3 名的半时服务但 12:00-14:00 之间必须安排 1h 的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过员，每个半时服务员必须连续工作4h,报酬 40 元。该储蓄所应如何雇佣全时和半时服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制， 每天可以减少多少费用？解:设雇佣的全日制服务员为a人，在 12:00 到 13:00 吃饭的全日制服务员为b人，在 13:00到 14:00 吃饭的全日制服务员为c人。X1,X2,X3,X4,X5分别表示 9 点，10 点，11,点，12 点，13 点上班的半日制服务员人数，目标函数为：Minz =100* a 40* (x1 x2 x3 x4 x5)S.ta捲_ 4z表示雇佣的最少费用。a x1x2-3a X1X2X3- 4cx1bX2ax3x2x3x4- 6X3X4X5- 5X4X5 6a x4a x5二8X5丄8x1x2x3x4x5乞3a二b cP1534 某工厂生产两种标准件，A 种标准件每个可获利 0.3 元，B 中标准件每Xi个可获利 0.15 元。若该厂仅生产一种标准件，每天可生产种标准件还需要某种特殊处理，每天最多处理该厂应如何安排生产计划，才能使每天获利最大？解:先设x1为生成标准件 A 的件数，X2为生成标准件 B 的件数，X3为特殊处理的标准件 A 的件数。：A 种标准件 800 个或 B 种标准件 1200 个，但 A600 个，A,B 标准件最多每天包装 1000 个。z为每天的获利。建立模型：Maxz = 0.3 x3S.t 捲_8000.15 x2x2 1200 x3乞600X3乞为x2 x3乞10007.已知某厂 3 名工人生产 5 种产品的有关参数见下表:原料单位消耗产品甲乙丙ABCDE限额/kg0.10.20400.20.330.20.1060.300.250.10.30.1600500300单价/元(1 )、求最优生产方案；8(2 )、根据市场情况，计划 A 至少生产 500 件，求相应生产方案。(3)、因 E 滞销，计划停产，求相应生产方案。(4)、根据市场情况，限定 C 不超过 1640 件，求相应生产方案。(5)、若限定原料价需要剩余至少 50kg，求相应的生产方案。(6)、若限定生产 A 至少 1000 件，生产 B 至少 200 件，求相应生产方案。解:设：Xi为生产的产品 A 的件数，X2为生产的产品 B 的件数，X3为生产的产品 C 的件数,X4为生产的产品 D 的件数，X5为生产的产品 E 的件数。z为工厂的获利。(1)、建立模型：MaxZ=4*捲+3* x2+6* x3+5* X4+8* X5S.t0.1*X1 0 0.2*X3 0.3*X4 0.1* x5 _ 6000.2* x1 0.2* x2 0.1* x3 0 0.3* x5 _5000 0.3* x20 0.2* x40.1* x5 _300(2)、建立模型：Max= 4* x13* x2 6* x3 5* x4 8* x50 0.2* x30.3* x40.1* x5乞600S.t0.1* x10.2* x-i0.2* x20.1* x30 0.3* x5 _ 5000 0.3* X20 0.2* X40.1* X5_300捲_500(3)、建立模型:Maxz =4*禺十3*x2+6* x3+5*沧S.t0.1* x1 0 0.2* x3 0.3* x4乞6000.2* x,0.2* x20.1* x30 5000 0.3* x2 0 0.2* x4乞300(4)、建立模型：Max= 4* x13* x2 6* x3 5* x4 8* X5S.t0.1* x1 0 0.2* x3 0.3* x4 0.1* xl 6000.2* x1 0.2* x2 0.1* x3 0 0.3* x5乞5000 0.3* X20 0.2* X40.1* X5冬300 x3 -1640(5)、建立模型:Maxz =4* x3* x2 +6* x3 +5* x+8*xS.t0.1*论0 0.2* x30.3* x40.1*x5 _5500.1* X300.3* X5_5000.2* Xi0.2* X20 0.3* X20 0.2* X40.1* X5_300（6）、建立模型：Maxz=4*x|+3*乂2+6*乂3+5*人+8*XgS.t0.1*X10 0.2*X30.3*X40.1*x5 _ 6000.1* x300.3* x5 _ 5000.2* x-i0.2* x20 0.3* X20 0.2* X40.1* X5_300捲_1000X2一20011.某公司将甲、乙、丙、丁4 种不同含硫量的液体原料混合生产A , B 两种产品。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产 A、B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3%，1%，2%，1%,进货价2.5%，1.5%，售价分别格分别为 6, 16, 10, 15 （千元/t）；产品 A、B 的含硫量本别不能超过为 9, 15 （千元/t）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多 为 50T，产品 A、B 的市场需求分别为 100t，200t。应如何安排生产？解:设:i为原料甲乙丙丁， 表示为i=1,2,3,4。j为产品 A,B，表示为j = 1,2。z表示为公司 盈利。建立模型：442222Maxz =9*二知15*二Xi2-6*二 勺T6八x?jT0*二X3jT5八i =1i 4j zljdj =1j d4S.t0.03*X110.01*X210.02*X310.01* X40.025八 心iW40.03* X120.01*X220.02*X320.01*X420.015* Xi2i dX41X42- 504Xii_100i 44二Xj2 200i 4P2051、1972 年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含C14的量约为大气中的140.7757 倍，据此，你能推断出此女尸下葬的年代吗？已知C的半衰期为 5730 年。解:设:t为死后年数，y为C14的量。建立微分方程模型:dy = ydt一5730解得：=ce5730在带入初值得:二y。*5730当y =0.7757* y。,求得 t =1455.359。所以该女尸的下葬年代因为：公元517 年左右。2、表 7.5 是美国 17901980 年每隔 10 年的人口记录。年份人口（06）年份人口（x106）年份17903.9186031.4193018005.3187038.6194018107.2188050.2195018209.6189062.91960183012.9190076.01970184017.1191092.0185023.21920106.51980人口(x106)123.2131.7150.7179.3204.0226.5参照油气产量和可采储量的预测问题，用这些数据检验Malthus 人口指数增长模型和Logistic 模型，根据检验结果进一步讨论人口模型的改进。解：模型一：Malthus 人口指数增长模型的假设:1 人口的增长率为常数，记为r2、记时刻t的人口为x(t)，初始时刻的人口为X。模型建立:微分方程为：dtx(0) = Xo两端积分，并结合初值条件得:x(t) =r(t0-t0)丿模型二：Logistic 模型人口阻滞增长模型的假设:1 人口增长率是当时人口数x的递减函数r(x)2、Xm表示资源资源和环境条件下的最大人口容量3、r表示固有增长率模型建立:设r(x) = r - ax，a所以有Xr(x)二m用r(x)代替 Malthus 人口指数增长模型中的r:dx (1二)xdtXmA(0) = x。求方程的解为：Xmx(t)二x1(巫-1)eXx 二xmX)mr(1 -