2422__直线和圆的位置关系--切线长定理.ppt
成新学校成新学校 姚春莲姚春莲oop1.连结连结OP2.以以OP为直径作为直径作 O， 与与 O交于交于A、B两点。两点。AB即直线即直线PA、PB为为 O的切线的切线 如图，已知如图，已知 O外一点外一点P，你能用尺规过点，你能用尺规过点P作作 O的切线吗？的切线吗？通过作图你能发现什么呢？通过作图你能发现什么呢？1.过圆外一点作圆的切线可以作两条过圆外一点作圆的切线可以作两条2.点点A和点和点B关于直线关于直线OP对称对称经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，段的长，叫做这点到圆的切线长。叫做这点到圆的切线长。切线长是切线长是一条线段一条线段过圆外一点用尺规做出两条切线过圆外一点用尺规做出两条切线（1 1）切线是一条与圆相切的直线；切线是一条与圆相切的直线；（2 2）切线长是指切线长是指切线上某一点切线上某一点与与切点切点间的线段的长。间的线段的长。opAB如图，如图，PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点。如果连结为切点。如果连结OA、OB、OP，图中的，图中的PA与与PB，APO与与BPO有什么关系？有什么关系？ PA、PB是是 O的切线，的切线， A、B为切点为切点OAPA，OBPB又又OAOB，OPOPRtAOP RtBOPPAPB，APOBPO切线长定理：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。opAB PA、PB是是 O的切线，的切线， A、B为切点为切点PAPB，APOBPO如图，若连接如图，若连接AB，则，则OP与与AB有什么关系？有什么关系？ PA、PB是是 O的切线，的切线， A、B为切点为切点PAPB，APOBPOOPAB，且，且OP平分平分ABCD从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。点所成的弧。AD与与BD相等吗？相等吗？此图为切线长定理的一个基本图形，应掌握我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有 五个五个 性质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，还这一点的连线平分两条切线的夹角，还垂直平分切点所成的弦，垂直平分切点所成的弦，平分切点所成的弧。平分切点所成的弧。六个六个opABD1234如图所示，PA、PB分别切 O于于A、B两点，两点， PA=PB, AD=BD, 1=2，3=4， AOP=BOP, OPAB= =ID三角形内切圆的作法：先做出三角形的两条角平分线，以两条角平分线的交点为圆心，交点到一边的距离为半径作圆，即可得到三角形的内切圆 。 o外切圆圆心：外切圆圆心：三角形三边三角形三边垂直平分线的交点垂直平分线的交点。外切圆的半径：外切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一个顶点的距离。角形任意一个顶点的距离。三角形外接圆三角形外接圆三角形内切圆三角形内切圆o内切圆圆心：内切圆圆心：三角形三个三角形三个内角平分线的交点。内角平分线的交点。内切圆的半径：内切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一边的距离。角形任意一边的距离。AABBCC一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形；一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形；一个三角形有且只有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形；一个三角形有且只有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形；1 1、已知：、已知：ABCABC是是OO外切三角形，切点为外切三角形，切点为D D，E E，F F。若。若BCBC14 cm 14 cm ，ACAC9cm9cm，ABAB13cm13cm。求。求AFAF，BDBD，CECE。 ABCDEFxxyyOzz解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依题意得方程组依题意得方程组x+y=13y+z=14x+z=9解得解得: :X=4Y=9Z=5。、的长分别是、cmcmcmCEBDAF5942、如图，在RtABC中，C=90，AC=6,BC=8,则ABC内切圆的半径为多少？解：设OO与与ACAC、BCBC分别相切于分别相切于E E、F F点，连接点，连接OEOE、OFOFC=90C=90，AC=6AC=6，BC=8BC=8AB=10AB=10OO是是ABCABC的内切圆，的内切圆，OEACOEAC，OFBC,CF=CEOFBC,CF=CE四边形四边形OECFOECF为正方形为正方形CE=CF=rCE=CF=r，BF=8-r,AE=6-r,BF=8-r,AE=6-r,AB=BD+AD=BF+AE=8-r+6-r,AB=BD+AD=BF+AE=8-r+6-r,即即8-r+6-r=108-r+6-r=10r= =2r= =2CAB .OFED21068结论：直角三角形内切圆的半径结论：直角三角形内切圆的半径r= (ar= (a、b b为直角边，为直角边，c c为斜边）。为斜边）。熟记此公式后可直接用于填空题和选择题的计算中熟记此公式后可直接用于填空题和选择题的计算中2cba例1已知已知，如图，如图，PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点为切点.直线直线 OP 交交 O 于点于点 D、E，交，交 AB 于于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形.（3）如果）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径求半径 OA 的长的长.AOCDPBE解：解：(1) OAPA , OBPB , OPAB(2) OAP OBP , OCA OCB ACP BCP.(3) 设设 OA = x cm , 则则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在在 RtOAP 中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得解得 x = 3 cm 所以，半径所以，半径 OA 的长为的长为 3 cm. POABc如图，如图，P为为 O 外一点，外一点，PA、PB分别切分别切 O于于A、B两点，两点，OP交交 O于于C，若，若PA6，PC2 ，求，求 O的半径的半径OA及两切线及两切线PA、PB的夹角。的夹角。3解：解：连接连接OA、AC，则，则OAAP在在RtAOP中，设中，设OAx则则OP x23OA2PA2OP2即即 x262（x2 ）23解得解得x2 ，即，即OAOC233OP4 3在在RtAOP中，中，OP2OAAPO30PA、PB是是 O的切线的切线APB2APO60 O的半径为的半径为2 ，两，两切线的夹角为切线的夹角为603注意：已知圆的切线时，注意：已知圆的切线时，经常连接圆心和切点，得经常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问题。构造直角三角形来解决问题。ABCDEO21例2如图，已知：在如图，已知：在ABC中，中，B90，O是是AB上一点，以上一点，以O为圆心，为圆心，OB为半径的圆交为半径的圆交AB于点于点E，交，交AC与点与点D。求证：。求证：DEOC证明：连接证明：连接，为，为 的半径的半径是是 的切线的切线是是 的切线，是切点的切线，是切点，是是 的直径的直径，即，即 切线长定理如图：过 O外一点P有两条直线PA、PB与 O相切.ABPO在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点间的线段的长，叫做切线长切线长.切线长定理：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦.归纳归纳例1已知，如图，PA、PB是 O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 O 于点 D、E，交 AB 于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.AOCDPBE解：(1) OAPA , OBPB , OPAB(2) OAP OBP , OCA OCB , ACP BCP.(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在 RtOAP 中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm 所以，半径 OA 的长为 3 cm.
