空间点、直线、平面之间的位置关系.ppt

第三节 空间点、直线、平面之间的 位置关系三年三年9 9考考 高考指数高考指数: :1 1理解空间直线、平面位置关系的定义；理解空间直线、平面位置关系的定义；2 2了解可以作为推理依据的公理和定理；了解可以作为推理依据的公理和定理；3 3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题关系的简单命题1 1点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点2.2.从考查形式看，以考查点、线、面的位置关系为主，同时考从考查形式看，以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力和空间想象能力查逻辑推理能力和空间想象能力. .3 3从考查题型看，多以选择题、填空题的形式考查，有时也出从考查题型看，多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，一般难度不大，属低中档题现在解答题中，一般难度不大，属低中档题1.1.平面的基本性质平面的基本性质图形图形 文字语言文字语言 公公理理 1 1 如果一条直线上如果一条直线上的的_在一个平在一个平面内，那么这条面内，那么这条直线在此平面内直线在此平面内 ABAB lllABl两点两点符号语言符号语言 图形图形 文字语言文字语言 公公理理 2 2 过不在过不在_，有且，有且只有一个平面只有一个平面 A A，B B，C C三点不三点不共线共线公公理理 3 3 如果两个不重合如果两个不重合的平面有一个公的平面有一个公共点，那么它们共点，那么它们_条过条过该点的公共直线该点的公共直线 若若PP且且PP，则，则=a=a，且且PaPaCBAPa一条直线一条直线上的三点上的三点 有且只有有且只有一个平面一个平面，使，使A,B,A,B,CC有且只有一有且只有一符号语言符号语言 【即时应用即时应用】(1)(1)思考：三个公理的作用分别是什么？思考：三个公理的作用分别是什么？你能说出公理你能说出公理2 2的几个推论吗？的几个推论吗？提示：提示：公理公理1 1的作用：的作用：()()判断直线在平面内；判断直线在平面内；()()由直线由直线在平面内判断直线上的点在平面内在平面内判断直线上的点在平面内公理公理2 2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件平面问题的条件公理公理3 3的作用：的作用：()()判定两平面相交；判定两平面相交；()()作两平面的交线；作两平面的交线；()()证明点共线证明点共线公理公理2 2的三个推论为：的三个推论为：()()经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；()()经过两条相交直线，有且只有一个平面；经过两条相交直线，有且只有一个平面；()()经过两条平行直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面(2)(2)判断下列说法的正误判断下列说法的正误.(.(请在括号中填写请在括号中填写“”“”或或“”)”)如果两个不重合的平面如果两个不重合的平面,有一条公共直线有一条公共直线a a，就说平面，就说平面,相交，并记作相交，并记作=a ( )=a ( )两个平面两个平面,有一个公共点有一个公共点A A，就说，就说,相交于过相交于过A A点的任点的任意一条直线意一条直线 ( )( )两个平面两个平面,有一个公共点有一个公共点A A，就说，就说,相交于相交于A A点，并记点，并记作作=A ( )=A ( )两个平面两个平面ABCABC与与DBCDBC相交于线段相交于线段BC ( )BC ( )【解析解析】根据平面的性质公理根据平面的性质公理3 3可知对；对于，其错误在可知对；对于，其错误在于于“任意任意”二字上；对于，错误在于二字上；对于，错误在于=A=A上；对于，上；对于，应为平面应为平面ABCABC和平面和平面DBCDBC相交于直线相交于直线BC.BC.答案：答案： (3)(3)平面平面,相交，在相交，在,内各取两点，这四点都不在交线内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定上，这四点能确定_个平面个平面【解析解析】如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个个答案：答案：1 1或或4 42.2.空间中两直线的位置关系空间中两直线的位置关系(1)(1)空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系图形语言图形语言 符号语言符号语言 公共点公共点平行平行 直线直线 ab ab 个个 0 0ab图形语言图形语言 符号语言符号语言 公共点公共点相交相交 直线直线 ab=A ab=A 个个异面异面 直线直线 a,ba,b是异是异面直线面直线 个个1 10 0Aabba(2)(2)平行公理和等角定理平行公理和等角定理平行公理平行公理平行于平行于_的两条直线平行用符号表示：设的两条直线平行用符号表示：设a,b,ca,b,c为三条直线，若为三条直线，若ab,bcab,bc，则，则acac等角定理等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_同一条直线同一条直线相等或相等或互补互补(3)(3)异面直线所成的角异面直线所成的角定义：已知两条异面直线定义：已知两条异面直线a,ba,b，经过空间中任一点，经过空间中任一点O O作直线作直线aa,bbaa,bb，把，把aa与与bb所成的所成的_叫做异面叫做异面直线所成的角直线所成的角( (或夹角或夹角) )范围：范围：_._.锐角锐角( (或直角或直角) )(0,2【即时应用即时应用】(1)(1)思考：不相交的两条直线是异面直线吗？不在同一平面内思考：不相交的两条直线是异面直线吗？不在同一平面内的直线是异面直线吗？的直线是异面直线吗？提示：提示：不一定因为两条直线没有公共点，这两直线可能平行不一定因为两条直线没有公共点，这两直线可能平行也可能异面；因为不同在任何一个平面内的直线为异面直线，也可能异面；因为不同在任何一个平面内的直线为异面直线，故该结论不一定正确故该结论不一定正确(2)(2)和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是_._.【解析解析】画出图形分析画出图形分析. .图中，图中，ABAB、CDCD与异面直线与异面直线a a、b b都相交，此时都相交，此时ABAB、CDCD异面；异面；图中，图中，ABAB、ACAC与异面直线与异面直线a a、b b都相交，此时都相交，此时ABAB、ACAC相交相交. .答案：答案：异面或相交异面或相交3.3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言图形语言 符号语言符号语言 公共点公共点直直线线与与平平 面面 相交相交 aa=A =A 个个平行平行 aa 个个在平在平 面内面内 a a 个个 aA A1 10 0无数无数aa平平面面与与平平面面平行平行 个个相交相交 =l 个个无数无数0 0l【即时应用即时应用】(1)(1)判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确.(.(请在括号中填写请在括号中填写“”“”或或“”)”)经过三点确定一个平面经过三点确定一个平面 ( )( )梯形可以确定一个平面梯形可以确定一个平面 ( )( )两两相交的三条直线最多可以确定三个平面两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ( )( )如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 ( )( )(2)(2)两个不重合的平面可把空间分成两个不重合的平面可把空间分成_部分部分【解析解析】(1)(1)经过不共线的三点可以确定一个平面，经过不共线的三点可以确定一个平面，不正确；两条平行线可以确定一个平面，不正确；两条平行线可以确定一个平面，正确；正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，正确；命题中没有说清三个点是否共线，正确；命题中没有说清三个点是否共线，不正确不正确. .(2)(2)当两平面平行时可分为当两平面平行时可分为3 3部分；绷狡矫嫦嘟皇狈治部分；绷狡矫嫦嘟皇狈治4 4部分部分答案：答案：(1)(1) (2)3(2)3或或4 4 平面的基本性质及其应用平面的基本性质及其应用【方法点睛方法点睛】考查平面基本性质的常见题型及解法考查平面基本性质的常见题型及解法(1)(1)判断所给元素判断所给元素( (点或直线点或直线) )是否能确定唯一平面，关键是分析是否能确定唯一平面，关键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件，此时需要利用公理所给元素是否具有确定唯一平面的条件，此时需要利用公理2 2及及其推论其推论(2)(2)证明点或线共面问题，一般有两种途径：首先由所给条件证明点或线共面问题，一般有两种途径：首先由所给条件中的部分线中的部分线( (或点或点) )确定一个平面，然后再证其余的线确定一个平面，然后再证其余的线( (或点或点) )在在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合再证两平面重合(3)(3)证明点共线问题，一般有两种途径：先由两点确定一条直证明点共线问题，一般有两种途径：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上一条特定直线上(4)(4)证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点点，再证其他直线经过该点【例例1 1】(1)(1)给出以下四个命题给出以下四个命题不共面的四点中，其中任意三点不共线；不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点若点A A、B B、C C、D D共面，点共面，点A A、B B、C C、E E共面，则点共面，则点A A、B B、C C、D D、E E共面；共面；若直线若直线a a、b b共面，直线共面，直线a a、c c共面，则直线共面，则直线b b、c c共面；共面；依次首尾相接的四条线段必共面依次首尾相接的四条线段必共面. .正确命题的个数是正确命题的个数是( )( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)(2)如图，平面如图，平面ABEFABEF平面平面ABCDABCD，四边形，四边形ABEFABEF与与ABCDABCD都是直角梯形，都是直角梯形，BAD=FABBAD=FAB=90=90，BCADBCAD且且BC= ADBC= AD，BEAFBEAF且且BE=BE= AF AF，G G，H H分别为分别为FAFA，FDFD的中点的中点. .证明：四边形证明：四边形BCHGBCHG是平行四边形；是平行四边形；C C，D D，F F，E E四点是否共面？为什么？四点是否共面？为什么？1212【解题指南解题指南】(1)(1)根据确定平面的公理及推论进行判断根据确定平面的公理及推论进行判断. .(2)(2)证明证明BCBC、GHGH平行且相等即可；证明平行且相等即可；证明EFCHEFCH，由此构成平，由此构成平面，再证点面，再证点D D在该平面上在该平面上【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.B.假设其中有三点共线，则该直线和直线假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面外的另一点确定一个平面. .这与四点不共面矛盾，故其中任意三这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确点不共线，所以正确. .从条件看出两平面有三个公共点从条件看出两平面有三个公共点A A、B B、C C，但是若，但是若A A、B B、C C共线，则结论不正确；不正确；不正确，共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形四边形. .(2)(2)由题设知，由题设知，FG=GAFG=GA，FH=HDFH=HD，所以所以GHADGHAD且且GH= AD,GH= AD,12又又BCADBCAD且且BC= ADBC= AD，故故GHBCGHBC且且GH=BCGH=BC，所以四边形所以四边形BCHGBCHG是平行四边形是平行四边形C C，D D，F F，E E四点共面理由如下：四点共面理由如下：由由BEAFBEAF且且BE= AFBE= AF，G G是是FAFA的中点知，的中点知，BEGFBEGF且且BE=GFBE=GF，所以四边形所以四边形EFGBEFGB是平行四边形，是平行四边形，所以所以EFBG.EFBG.1212由知由知BGCHBGCH，所以，所以EFCHEFCH，故故ECEC，FHFH共面共面. .又点又点D D在直线在直线FHFH上，所以上，所以C C，D D，F F，E E四点共面四点共面. .【互动探究互动探究】本例第本例第(2)(2)题的条件不变，如何证明题的条件不变，如何证明“FEFE，ABAB，DCDC交于一点交于一点”？【证明证明】由例题可知，四边形由例题可知，四边形EBGFEBGF和四边形和四边形BCHGBCHG都是平行四边都是平行四边形，故可得四边形形，故可得四边形ECHFECHF为平行四边形为平行四边形ECHFECHF，且，且EC= DFEC= DF四边形四边形ECDFECDF为梯形为梯形FEFE，DCDC交于一点，设交于一点，设FEDC=MFEDC=MMFEMFE，FE FE 平面平面BAFEBAFE，MM平面平面BAFEBAFE12同理同理MM平面平面BADCBADC又平面又平面BAFEBAFE平面平面BADC=BABADC=BA，MBAMBAFE,AB,DCFE,AB,DC交于一点交于一点【反思反思感悟感悟】点共线和线共点问题，都可转化为点在直线上点共线和线共点问题，都可转化为点在直线上的问题来处理，实质上是利用公理的问题来处理，实质上是利用公理3 3，证明点在两平面的交线上，证明点在两平面的交线上，解题时要注意这种转化思想的运用解题时要注意这种转化思想的运用【变式备选变式备选】如图，空间四边形如图，空间四边形ABCDABCD中，中，E E，F F，G G，H H分别是分别是ABAB，ADAD，BCBC，CDCD上的点，设上的点，设EGEG与与FHFH交于点交于点P P求证：求证：P P、A A、C C三点共线三点共线【证明证明】EGFH=PEGFH=P，PEGPEG，EG EG 平平面面ABC ABC ，PP平面平面ABCABC同理同理PP平面平面ADC.ADC.PP为平面为平面ABCABC与平面与平面ADCADC的公共点的公共点又平面又平面ABCABC平面平面ADC=AC.ADC=AC.PAC.PPAC.P、A A、C C三点共线三点共线 空间中两直线的位置关系空间中两直线的位置关系【方法点睛方法点睛】判定空间直线位置关系的方法判定空间直线位置关系的方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形可利用三角形( (梯形梯形) )中位线的性质、公理中位线的性质、公理4 4及线面平行与面面平及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决决【提醒提醒】在空间中两直线的三种位置关系中，验证异面直线及在空间中两直线的三种位置关系中，验证异面直线及其所成角是考查的热点其所成角是考查的热点. .【例例2 2】(1)(2012(1)(2012广州模拟广州模拟) )若若a,ba,b是异面直线，是异面直线，b b、c c是异面直是异面直线，则线，则( )( )(A)ac (B)a(A)ac (B)a、c c是异面直线是异面直线(C)a(C)a、c c相交相交 (D)a(D)a、c c或平行或相交或异面或平行或相交或异面(2)(2)如图，在四面体如图，在四面体ABCDABCD中，截面中，截面PQMNPQMN是正方形，则在下列命题中，错误的是正方形，则在下列命题中，错误的为为( )( )(A)ACBD(A)ACBD(B)AC(B)AC截面截面PQMNPQMN(C)AC=BD(C)AC=BD(D)(D)异面直线异面直线PMPM与与BDBD所成的角为所成的角为4545【解题指南解题指南】(1)(1)构造正方体为模型进行判断构造正方体为模型进行判断. .(2)(2)结合图形，根据有关的知识逐一进行判断注意本题选择的结合图形，根据有关的知识逐一进行判断注意本题选择的是错误选项！是错误选项！【规范解答规范解答】(1)(1)选选D.D.如图正方体如图正方体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，a,b,ca,b,c的位置有三种情况的位置有三种情况: :AD=a,CCAD=a,CC1 1=b,A=b,A1 1B B1 1=c;=c;AB=a,AAB=a,A1 1B B1 1=c,CC=c,CC1 1=b;=b;A A1 1D D1 1=a,A=a,A1 1B B1 1=c,CC=c,CC1 1=b=b故选故选D.D.(2)(2)选选C.C.因为四边形因为四边形PQMNPQMN为正方形，所以为正方形，所以PQMNPQMN，又又PQ PQ 平面平面ADCADC，MN MN 平面平面ADCADC，所以所以PQPQ平面平面ADC.ADC.又平面又平面BACBAC平面平面DAC=ACDAC=AC，所以，所以PQAC.PQAC.同理可证同理可证QMBD.QMBD.由由PQACPQAC，QMBDQMBD，PQQMPQQM可得可得ACBDACBD，故，故A A正确；由正确；由PQACPQAC可得可得ACAC截面截面PQMNPQMN，故，故B B正确；异面直线正确；异面直线PMPM与与BDBD所成的角等于所成的角等于PMPM与与PNPN所成的角，故所成的角，故D D正确；综上知正确；综上知C C错误错误. .【反思反思感悟感悟】解决此类问题常出现的错误是不善于挖掘题中解决此类问题常出现的错误是不善于挖掘题中的条件，不能将问题适当地转化；另外，图形复杂、空间想象的条件，不能将问题适当地转化；另外，图形复杂、空间想象力不够、分析问题不到位等，也是常出现错误的原因力不够、分析问题不到位等，也是常出现错误的原因【变式训练变式训练】设设A A，B B，C C，D D是空间四个不同的点，在下列命题是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是中，不正确的是( )( )(A)(A)若若ACAC与与BDBD共面，则共面，则ADAD与与BCBC共面共面(B)(B)若若ACAC与与BDBD是异面直线，则是异面直线，则ADAD与与BCBC是异面直线是异面直线(C)(C)若若AB=ACAB=AC，DB=DCDB=DC，则，则ADBCADBC(D)(D)若若AB=ACAB=AC，DB=DCDB=DC，则，则AD=BCAD=BC【解析解析】选选D.D.对于对于A A，易知点，易知点A A，B B，C C，D D共面，共面，故故ADAD与与BCBC共面，所以共面，所以A A正确；对于正确；对于B B，假设，假设ADAD与与BCBC不异面，则可得不异面，则可得ACAC与与BDBD共面，与题意矛盾，共面，与题意矛盾，故故B B正确；对于正确；对于C C，如图，如图，E E为为BCBC中点，易证得中点，易证得直线直线BCBC平面平面ADEADE，从而，从而ADBCADBC，故，故C C正确；正确；对于对于D D，当四点构成空间四面体时，只能推出，当四点构成空间四面体时，只能推出ADBCADBC，但二者不，但二者不一定相等，故一定相等，故D D错误错误. . 异面直线所成的角异面直线所成的角【方法点睛方法点睛】1.1.找异面直线所成的角的方法找异面直线所成的角的方法(1)(1)利用图中已有的平行线平移；利用图中已有的平行线平移；(2)(2)利用特殊点利用特殊点( (线段的端点或线段的端点或中点中点) )作平行线平移；作平行线平移；(3)(3)补形平移补形平移2.2.求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤(1)(1)作：通过作平行线，得到相交直线；作：通过作平行线，得到相交直线；(2)(2)证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角；证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角；(3)(3)算：通过解三角形，求出该角算：通过解三角形，求出该角【例例3 3】(1)(1)如图，已知两个正方形如图，已知两个正方形ABCDABCD和和DCEFDCEF不在同一平面内，不在同一平面内，M M，N N分别为分别为ABAB，DFDF的中点求证：直线的中点求证：直线MEME与与BNBN是两条异是两条异面直线面直线(2)(2)已知三棱锥已知三棱锥ABCDABCD中，中，AB=CDAB=CD，且直，且直线线ABAB与与CDCD成成6060角，点角，点M M、N N分别是分别是BCBC、ADAD的中点，求直线的中点，求直线ABAB和和MNMN所成的角所成的角. .【解题指南解题指南】(1)(1)采用反证法证明；采用反证法证明；(2)(2)取取ACAC中点中点P P，连，连PMPM，PNPN，利用三角形中位线性质可得，利用三角形中位线性质可得PMABPMAB，PNCDPNCD，从而得，从而得MPNMPN的大小，然后解三角形可得所求角的大小，然后解三角形可得所求角. .【规范解答规范解答】(1)(1)假设直线假设直线MEME与与BNBN共面，共面，则则AB AB 平面平面MBENMBEN，且平面，且平面MBENMBEN与平面与平面DCEFDCEF交于交于ENEN由已知，两正方形不共面，故由已知，两正方形不共面，故AB AB 平面平面DCEFDCEF又又ABCDABCD，所以，所以ABAB平面平面DCEFDCEF线线ENEN为平面为平面MBENMBEN与平面与平面DCEFDCEF的交线，的交线，所以所以ABENABEN又又ABCDEFABCDEF，所以所以ENEFENEF，这与，这与ENEF=EENEF=E矛盾，故假设不成立矛盾，故假设不成立所以所以MEME与与BNBN不共面，它们是异面直线不共面，它们是异面直线. .(2)(2)如图，取如图，取ACAC的中点的中点P.P.连接连接PMPM、PNPN，则则PMABPMAB，且，且PM= AB.PM= AB.PNCDPNCD，且，且PN= CDPN= CD，所以所以MPNMPN为为ABAB与与CDCD所成的角所成的角( (或所成角的补角或所成角的补角).).则则MPN=60MPN=60或或MPN=120MPN=120, ,若若MPN=60MPN=60, ,因因PMABPMAB，所以，所以PMNPMN是是ABAB与与MNMN所成的角所成的角( (或所成角的补角或所成角的补角).).1212又因为又因为AB=CDAB=CD，所以，所以PM=PNPM=PN，则，则PMNPMN是等边三角形，是等边三角形，所以所以PMN=60PMN=60, ,即即ABAB与与MNMN所成的角为所成的角为6060. .若若MPN=120MPN=120, ,则易知则易知PMNPMN是等腰三角形是等腰三角形. .所以所以PMN=30PMN=30, ,即即ABAB与与MNMN所成的角为所成的角为3030. .故直线故直线ABAB和和MNMN所成的角为所成的角为6060或或3030. .【互动探究互动探究】把本例第把本例第(2)(2)题中的题中的“直线直线ABAB与与CDCD成成6060角角”改为改为“ABCD”ABCD”，结果如何？，结果如何？【解析解析】由题意得由题意得MPN=90MPN=90. .MPNMPN是等腰直角三角形是等腰直角三角形.PMN=45.PMN=45，故直线故直线ABAB和和MNMN所成的角为所成的角为4545. .【反思反思感悟感悟】1.1.证明两直线为异面直线时可利用结论证明两直线为异面直线时可利用结论“过平面过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线为异面直内一点与平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线为异面直线线”；也可用反证法，即证明这两直线共面时不成立；也可用反证法，即证明这两直线共面时不成立2.2.在求异面直线所成的角时常犯的错误是忽视角的范围，如在在求异面直线所成的角时常犯的错误是忽视角的范围，如在解三角形的过程中求得三角形内角的余弦值为负时，必须转化解三角形的过程中求得三角形内角的余弦值为负时，必须转化为为(0(0， 内的角内的角2【变式备选变式备选】在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中，已知中，已知AD=1AD=1，BC= BC= 且且ADBCADBC，对角线，对角线 ，求，求ACAC和和BDBD所成的角所成的角【解析解析】如图，分别取如图，分别取ADAD、CDCD、ABAB、BDBD的中的中点点E E、F F、G G、H H，连接，连接EFEF、FHFH、HGHG、GEGE、GF.GF.由三角形的中位线定理知由三角形的中位线定理知EFACEFAC，且，且EF= EF= ，GEBDGEBD，且，且GE= .GE= .GEGE和和EFEF所成的锐角所成的锐角( (或直角或直角) )就是就是ACAC和和BDBD所所成的角成的角. .3133BDAC22，34134同理，同理， ，GHADGHAD，HFBCHFBC，又又ADBCADBC，GHF=90GHF=90，GFGF2 2=GH=GH2 2+HF+HF2 2=1=1，在在EFGEFG中，中，EGEG2 2+EF+EF2 2=1=GF=1=GF2 2，GEF=90GEF=90，即即ACAC和和BDBD所成的角为所成的角为9090. .13GHHF22，【满分指导满分指导】求异面直线所成角主观题的规范解答求异面直线所成角主观题的规范解答【典例典例】(12(12分分)(2011)(2011上海高考改编上海高考改编) )已知已知ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1是底面边长为是底面边长为1 1的正四棱柱，的正四棱柱，高高AAAA1 1=2=2，求，求(1)(1)异面直线异面直线BDBD与与ABAB1 1所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)(2)四面体四面体ABAB1 1D D1 1C C的体积的体积. .【解题指南解题指南】(1)(1)利用平行平移法得到异面直线所成的角，转化利用平行平移法得到异面直线所成的角，转化为解三角形的问题；为解三角形的问题；(2)(2)利用割补法求体积即可利用割补法求体积即可【规范解答规范解答】(1)(1)连连BDBD，ABAB1 1，B B1 1D D1 1，ADAD1 1. .1 1分分BDBBDB1 1D D1 1,异面直线异面直线BDBD与与ABAB1 1所成角为所成角为ABAB1 1D D1 1( (或其补角或其补角) )，记，记ABAB1 1D D1 1=,=,3 3分分由已知条件得由已知条件得ABAB1 1=AD=AD1 1= = ，在在ABAB1 1D D1 1中，由余弦定理得中，由余弦定理得cos= cos= 6 6分分异面直线异面直线BDBD与与ABAB1 1所成角的余弦值为所成角的余弦值为 . .7 7分分(2)(2)连接连接ACAC，CBCB1 1，CDCD1 1，则所求四面体的体积，则所求四面体的体积 1212分分52221111111ABB DAD102 ABB D1010101111111ABCDA B C DC B C D12VV4V24.33 【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示 在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)在用平行平移将异面直线所成的角转化为三角形在用平行平移将异面直线所成的角转化为三角形的内角时，忽视对三角形的内角的内角时，忽视对三角形的内角“即为两异面直线所即为两异面直线所成的角成的角( (或其补角或其补角) )”的叙述；的叙述；(2)(2)在求几何体的体积时，不知将其转化为四棱柱的在求几何体的体积时，不知将其转化为四棱柱的体积与四个三棱锥体积的差体积与四个三棱锥体积的差备备考考建建议议 解决异面直线所成角的问题时，还有以下几点容易造成解决异面直线所成角的问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：失分，在备考时要高度关注：(1)(1)辅助线的作法不灵活，不能利用已知条件中的平行或辅助线的作法不灵活，不能利用已知条件中的平行或中点；中点；(2)(2)对立体几何计算题的解答规范不熟悉，书写不条理；对立体几何计算题的解答规范不熟悉，书写不条理；(3)(3)通过解三角形得到某一内角的余弦值为负值后，忽视通过解三角形得到某一内角的余弦值为负值后，忽视角的范围，不知将其转化为正值来处理角的范围，不知将其转化为正值来处理建议在备考中要强化对立体几何中解答题的训练，这是建议在备考中要强化对立体几何中解答题的训练，这是高考中的考查重点之一高考中的考查重点之一. .同时要注重解答题的规范表达和同时要注重解答题的规范表达和准确计算准确计算. .1.(20121.(2012深圳模拟深圳模拟) )有下列四个命题：有下列四个命题：过三点确定一个平面；矩形是平面图形；过三点确定一个平面；矩形是平面图形；三条直线两两相交则确定一个平面；两个相交平面把空间三条直线两两相交则确定一个平面；两个相交平面把空间分成四个区域分成四个区域. .其中，错误的命题是其中，错误的命题是( )( )(A)(A) (B) (B) (C) (C) (D) (D)【解析解析】选选B.B.若三点共线则不能确定一个平面，故错若三点共线则不能确定一个平面，故错. .对当对当两两相交的三条直线有公共交点时可能不能确定一个平面，故两两相交的三条直线有公共交点时可能不能确定一个平面，故应选应选B.B.2.(20112.(2011四川高考四川高考) )l1 1, ,l2 2, ,l3 3是空间三条不同的直线，则下列命是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是题正确的是( )( )(A)(A)l1 1l2 2, ,l2 2l3 3 l1 1l3 3(B)(B)l1 1l2 2, ,l2 2l3 3 l1 1l3 3(C)(C)l1 1l2 2，l2 2l3 3 l1 1, ,l2 2, ,l3 3共面共面(D)(D)l1 1，l2 2, ,l3 3共点共点 l1 1，l2 2, ,l3 3共面共面【解析解析】选选B.B.对于对于A A：空间中垂：空间中垂直于同一条直线的两条直线不一直于同一条直线的两条直线不一定平行，如图定平行，如图l1 1, ,l3 3可以相交或异可以相交或异面面, ,故命题错误故命题错误. .对于对于B:B:由异面直线所成的角可知，由异面直线所成的角可知，l2 2l3 3, ,则则l1 1与与l3 3所成的角与所成的角与l1 1与与l2 2所成的角相等，故所成的角相等，故l1 1l3 3, ,故命题正确故命题正确. .对于对于C:C:空间中三条互相平行的直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱空间中三条互相平行的直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面不共面, ,故命题错误故命题错误. .对于对于D:D:空间中共点的三条直线不一定共面，空间中共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面如三棱锥中共顶点的三条棱不共面. .3.(20113.(2011大纲版全国卷大纲版全国卷) )已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E为为C C1 1D D1 1的中点，则异面直线的中点，则异面直线AEAE与与BCBC所成角的余弦值为所成角的余弦值为_._.【解析解析】取取A A1 1B B1 1的中点的中点M M，连接，连接EM,AM,AEEM,AM,AE，则，则AEMAEM就是异面直线就是异面直线AEAE与与BCBC所成的角所成的角. .设正方体棱长为设正方体棱长为2 2，则在，则在AEMAEM中，中，cosAEM= cosAEM= 答案：答案： 23222352.2 2 33 4.(20124.(2012郑州模拟郑州模拟) )已知：空间四边形已知：空间四边形ABCD(ABCD(如图所示如图所示) )，E E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的的中点，中点，G G、H H分别是分别是BCBC、CDCD上的点，且上的点，且CG= BCCG= BC，CH= DC.CH= DC.求证：求证：(1)E(1)E、F F、G G、H H四点共面；四点共面；(2)(2)三直线三直线FHFH、EGEG、ACAC共点共点. .1313【证明证明】(1)(1)连接连接EFEF、GH.GH.由由E E、F F分别为分别为ABAB、ADAD的中点，的中点，EF BDEF BD，又，又CG= BCCG= BC，CH= DCCH= DC，HG BDHG BD，EFHGEFHG且且EFHG.EFHG.EFEF、HGHG可确定平面可确定平面,即即E E、F F、G G、H H四点共面四点共面. .12131313(2)(2)由由(1)(1)知：知：EFHGEFHG为平面图形，且为平面图形，且EFHGEFHG，EFHG.EFHG.四边形四边形EFHGEFHG为梯形，设直线为梯形，设直线FHFH直线直线EG=OEG=O，点点OO直线直线FHFH，直线直线FH FH 面面ACDACD，点点OO平面平面ACD.ACD.同理点同理点OO平面平面ABC.ABC.又又面面ACDACD面面ABC=ACABC=AC，点点OO直线直线AC(AC(公理公理3).3).直线直线FHFH、EGEG、ACAC交于点交于点O O，即三直线共点，即三直线共点. .