圆锥曲线的最值问题.ppt
例例1 1： 已知抛物线已知抛物线y y2 2=4x=4x，以抛物线上两点，以抛物线上两点A(4,4)A(4,4)、B(1,-2)B(1,-2)的连线为底边的的连线为底边的ABPABP，其顶点，其顶点P P在抛物线的弧在抛物线的弧ABAB上运动，求：上运动，求： ABPABP的最大面的最大面积及此时点积及此时点P P的坐标。的坐标。 动点在弧动点在弧AB上运动，可以设出点上运动，可以设出点P的坐标，只要求的坐标，只要求出点出点P到线段到线段AB所在直线所在直线AB的最大距离即为点的最大距离即为点P到线段到线段AB的最大距离，也就求出了的最大距离，也就求出了ABP的最大面积。的最大面积。 要使要使ABP的面积最大，只要点的面积最大，只要点P到直线到直线AB的距离的距离d最大。最大。设点设点P( )y4y2，解：由已知：解：由已知： |AB|=22)24()14( 2x-y-4=0直线直线AB：*解题过程如下：解题过程如下：*分析：分析：d=54y2y2 528y2y2 5291y2 ）（由已知由已知：2y4dmax=529此时，此时，y=1, x = 41d 21AB=2152953427 点的坐标为点的坐标为( ，1 )41Smax= 我们可以连接我们可以连接AB，作平行，作平行AB的直线的直线L与抛物线相切，与抛物线相切，求出直线求出直线L的方程，即可求出直线的方程，即可求出直线L与与AB间的距离，从而间的距离，从而求出求出ABP面积的最大值和点面积的最大值和点P的坐标。的坐标。分析：分析：y2-2y+2m=0设直线设直线L与抛物线与抛物线 y2=4x相切，相切，直线直线AB：2x-y-4=0直线直线L的方程为：的方程为：2x-y+m=0 （*）=4-8m=0, m=21此时，此时，y=1,x= 41直线直线L的方程为：的方程为：2x-y+ =021两直线间的距离两直线间的距离d=529另解：另解：把（把（*）代入抛物线的方程得）代入抛物线的方程得其他过程同上。其他过程同上。练习练习1：在圆在圆x2+y2=4上求一点上求一点P，使它到直线，使它到直线L：3x-2y-16=0的距离最短。的距离最短。224316 略解：略解：圆心到直线圆心到直线L的距离的距离d1= 131316 所以圆上的点到直线的最短距离为所以圆上的点到直线的最短距离为 d=d1-r2131316 思考：思考： 练习练习1是否还有其他解题方法？是否还有其他解题方法？问题：直线问题：直线L L的方程改为的方程改为 3 3x-2y-6=0 x-2y-6=0， 其结果又如何？其结果又如何？另解：另解：设平行于直线设平行于直线L且与圆相切的直线方程：且与圆相切的直线方程：3x-2y+m=013x2+6mx+m2-16=0直线与圆相切直线与圆相切=36 m2-52(m2-16)=0 m=132m2=52，代入圆代入圆x2+y2=4整理得：整理得：三解：三解：用圆的参数方程去解。用圆的参数方程去解。设点设点P为圆为圆x2+y2=4上的任意点，则上的任意点，则点点P（2cos,2sin）（02）点点P （2cos,2sin）到直线）到直线L的距离的距离1316)cos(132136sin4cos6d 21313161313216dmin 21313161313216dmin 圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离例例2： 如图，由椭圆的定义：椭圆上的点到两个如图，由椭圆的定义：椭圆上的点到两个定点之间的距离为定值定点之间的距离为定值|MF|+|MF|=10|MF|+|MA|=10- |MF|+|MA|=10+ (|MA|-|MF|)10+ |AF|因此，当因此，当|AF|最大时，最大时， |MA|+|MF|是最大值。是最大值。具体解题过程如下：具体解题过程如下：已知椭圆已知椭圆 的右焦点的右焦点F，且有定点，且有定点A（1，1），），又点又点M是椭圆上一动点。问是椭圆上一动点。问|MA|+|MF|是否有最值，是否有最值，若有，求出最值并指出点若有，求出最值并指出点M的坐标的坐标19y25x22 分析：分析：则则F的坐标为的坐标为(4,0)解：解： 设椭圆的左焦点为设椭圆的左焦点为F由椭圆的定义得：由椭圆的定义得： |MF|+|MF|=10|MF|+|MA|=10- |MF|+|MA|连连AF，延长交椭圆于，延长交椭圆于M则则| |MA|-|MF| | |AF|当且仅当当且仅当M,A,F三点共线时，等号成立。三点共线时，等号成立。 |MA|-|MF|的最大值为的最大值为 |AF|，这时，这时M与与M 重合重合 |AF|=141 2 ）（26 |MF|+|MA| 的最大值为的最大值为2610 要使要使|MF|+|MA|最大，最大， 即要使即要使|MA|-|MF|最大，最大，问题：本题解题到此结束了吗？问题：本题解题到此结束了吗？最小值为最小值为 2610 已知定点已知定点M（3，2），），F是抛物线是抛物线y2=2x的焦点，在的焦点，在此抛物线上求一点此抛物线上求一点P，使，使|PM|+|PF|取得最小值，求取得最小值，求点点P的坐标的坐标抛物线上的点到焦点的距离与到抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。准线的距离相等。即即|PF| = |PN| |PM|+|PF|= |PM|+|PN|当当 M、P、N三点共线三点共线时距离之和最小。时距离之和最小。 FM练习练习2：如图，由抛物线的定义：如图，由抛物线的定义：分析：分析：FMPN解：解： 如图所示如图所示|PF|= |PN|即：即：|PF|+|PM|= |PN|+|PM| |PM|+ |PN| |PM|+|PN|= |PM|+|PF|又又点点P的纵坐标等于点的纵坐标等于点M的纵坐标，即的纵坐标，即y=2所以，点所以，点P的坐标为（的坐标为（2，2）在抛物线在抛物线 y2 = 2x上任取一点上任取一点P(x,y),作作PN准线准线L，作，作MN L ，MN交抛物线于交抛物线于P（x，y）由抛物线的定义得：由抛物线的定义得：当当P和和P重合时，即重合时，即PNL，N、P、M三点共线，三点共线，FMPNPN例例3 求点求点 到椭圆到椭圆 上点的最大距离，上点的最大距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。并求出此时椭圆上的点的坐标。)230(P，1y4x22 本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的点的坐本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的点的坐标，然后根据两点间的距离公式借助于二次函数标，然后根据两点间的距离公式借助于二次函数求出此最大值，并求出点的坐标。求出此最大值，并求出点的坐标。分析：分析：解：解：设点设点 Q(x,y)为椭圆为椭圆 上的任意一点，上的任意一点，1y4x22 则则 2PQ22)23y(0 x ）（又因为又因为x2 = 4- 4y2 所以所以 2PQ49y3yy4422 425y3y32 7)21y(32 （1y1）此时，此时，3x21y ，所以所以 的最大值为的最大值为PQ7即此时即此时Q的坐标为：的坐标为：），）、（，（213213 ），）、（，点点的的坐坐标标为为：（即即此此时时，此此时时的的最最大大值值为为）（）（）（，则则是是椭椭圆圆上上的的任任意意点点，另另解解：设设213213Q21y3x23cos21sin7PQ721sin323sincos4PQ20.2siny2cosx)y, x(Q2222 思考：我们能否通过椭圆的参数方程去求？思考：我们能否通过椭圆的参数方程去求？。最最大大距距离离是是上上的的使使其其到到椭椭圆圆求求：点点71y4x),m, 0(P22 思考题：思考题：小小 结：结： 在解几中，常见的最值问题的求解方法主要有在解几中，常见的最值问题的求解方法主要有以下几种：以下几种：几何法：几何法：利用数形结合的思想，借助于几何图形中的利用数形结合的思想，借助于几何图形中的一些特点，将图形局部进行转化，使最值问一些特点，将图形局部进行转化，使最值问题得以求解。题得以求解。函数法：函数法：选择恰当的变量，根据题意建立目标函数，选择恰当的变量，根据题意建立目标函数，再探求目标函数的最值方法。再探求目标函数的最值方法。判别式法：判别式法： 利用已知条件构造一个含有某一变量的一利用已知条件构造一个含有某一变量的一元二次方程，通过判断方程的判别式寻求元二次方程，通过判断方程的判别式寻求题目的答案。题目的答案。参数法：参数法：利用圆、椭圆的参数方程，借助于三角利用圆、椭圆的参数方程，借助于三角函数的有界性，求出与它们有关的最值。函数的有界性，求出与它们有关的最值。
