59正弦定理、余弦定理(三）--习题课.ppt
5.9 5.9 正弦定理、余弦正弦定理、余弦定理定理( (三）三）-习题课习题课yyyy年年M月月d日星期日星期W（两课时）（两课时）教学目标：教学目标： 1.进一步熟悉正、余弦定理内容；进一步熟悉正、余弦定理内容； 2.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化； 3.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；能够利用正、余弦定理判断三角形的形状； 4.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式.教学重点：教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向方向教学难点教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求系的寻求. 一、复一、复 习习 引引 入：入：RCcBbAa2sinsinsin正弦定理：正弦定理：,cos2222AbccbabcacbA2cos222,cos2222BcaacbcabacB2cos222Cabbaccos2222abcbaC2cos222余弦定理：余弦定理： ， 二、新二、新 课课 教教 学：学：1. 正余弦定理的边角互换功能正余弦定理的边角互换功能 对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它在解三角形的问题中常会用到它.其实，在涉及其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们到三角形的其他问题中，也常会用到它们.两个两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决.，求，求sin3sin2ABabb例例1 已知已知a、b为为ABC 的边，的边，A、B分别是分别是a、b的对的对角，且角，且的值的值.,sinsinabAB.25223bba解：解：(这是角的关系这是角的关系)， (这是边的关系这是边的关系).于是，由合比定理得于是，由合比定理得sinsin3,sinsin2AaABbB又23ba例例2 已知已知ABC中，三边中，三边a、b、c所对的角分别是所对的角分别是A、B、C，且，且a、b、c成等差数列成等差数列. 求证：求证：sinAsinC2sinBbBCbBAb2sinsinsinsin证明：证明：a、b、c 成等差数列，成等差数列， ac2b (这是边的关系这是边的关系) BCbcsinsin 将、代入，得将、代入，得整理得整理得sinAsinC2sinB(这是角的关系这是角的关系).BAbaCcBbAasinsin,sinsinsin又又.53coscoscAbBa例例3(08. 全国全国 理理) 设设ABC的内角的内角A、B、C所对的边长所对的边长分别为分别为a、b、c，且，且 )tan(BA(II)(II)求求的最大值的最大值BAcottan(I) 求求的值；的值；),sin(53sin53cossincosnsiBACABBA,sincos53cossin53sincoscossinBABABABA. 4cottanBAcAbBa53coscos解解(I)(I)根据根据 以及正弦定理，可得：以及正弦定理，可得： ,sincos58cossin52BABA因此，有：因此，有：tantan( ) tan(),1tantanABABAB2334tan(),4414xxxABxxxtan.A x令令则则tan2A x )tan(BA43当且仅当当且仅当时，时， 取得最大值取得最大值4cot,Bxtan,4xB 234xyx则则yx2-3x+4y=0可得可得3344y设设2. 正、余弦定理的巧用正、余弦定理的巧用 某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：例例4 求求sin220cos280 sin20cos80的值的值.3解：原式解：原式sin220sin2102sin20sin10cos1502010150180，20、10、150可看作一个三角形的三个内角可看作一个三角形的三个内角.设这三个内角所对的边依次是设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理得：，由余弦定理得： a2b22abcos150c2 （）41而由正弦定理知：而由正弦定理知：a2sin20，b2sin10， c2sin150，代入，代入()式得：式得： sin220sin2102sin20sin10cos150sin215041 原式原式.例例5 在在ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的是最小角的2倍，求此三角形的三边长倍，求此三角形的三边长.分析：分析： 由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系系，故需利用正弦定理建立边角关系.其中其中sin2=2sin cos 利用正弦二倍角展开后出现了利用正弦二倍角展开后出现了cos，可继续利，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的目的.例例5 在在ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的是最小角的2倍，求此三角形的三边长倍，求此三角形的三边长.cossin222sin2sinxxx解：设三角形的三边长分别为解：设三角形的三边长分别为，1，2，其中其中*，又设最小角为，又设最小角为，则，则 ,xx22cos又由余弦定理可得又由余弦定理可得 2(x+1)2(x+2)22(x+1)(x+2)cos将代入整理得：将代入整理得：2340 解之得解之得 14，21(舍舍)所以此三角形三边长为所以此三角形三边长为4，5，6.评述：评述： 此题所此题所求为边长，故求为边长，故需利用正、余需利用正、余弦定理向边转弦定理向边转化，从而建立化，从而建立关于边长的方关于边长的方程程.例例6 已知三角形的一个角为已知三角形的一个角为60，面积为，面积为10 c2，周长为，周长为20c，求此三角形的各边长，求此三角形的各边长. 21分析：分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知其一可利用余弦定理由三边表示已知60角的余弦，角的余弦，其二可用面积公式其二可用面积公式ABC absinC表示面积，表示面积，其三是周长条件应用其三是周长条件应用.3例例6 已知三角形的一个角为已知三角形的一个角为60，面积为，面积为10 c2，周长为周长为20c，求此三角形的各边长，求此三角形的各边长. 3222cos6021sin6010 3220acbacacabc 4020222acaccabcba解：设三角形的三边长分别为解：设三角形的三边长分别为a、b、c，B60，则依题意得则依题意得 由式得：由式得：b220- -(a+c)2400a2c22ac40(a+c) 将代入得将代入得4003ac40（ac）0再将代入得再将代入得ac13由由588540132211cacaacca或解得 b17，b27所以，此三角形三边长分别为所以，此三角形三边长分别为5c，7c，8c.评述评述： (1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用. (2)由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意体会由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力.3. 利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式.例例7 在任一在任一ABC中求证：中求证：0)sin(sin)sin(sin)sin(sinBAcACbCBa2 sin (sinsin ) 2 sin (sinsin )2 sin (sinsin )RABCRBCARCAB2 sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin RABACBCBACACB 证：证：左边左边= =0=0=右边右边所以原等式成立所以原等式成立4. 正、余弦定理的综合运用正、余弦定理的综合运用 余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：弦定理代入得：sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA.这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说明之解题，简捷明快，下面举例说明之.例例8. 在在ABC中，已知中，已知sin2Bsin2Csin2A sinAsinC，求，求B的度数的度数.解：由解：由正、余正、余定定理得理得 sin sin2 2B Bsinsin2 2A Asinsin2 2C C2sin2sinA AsinsinC CcoscosB B，23sinAsinC0 cos B150332sinAsinCcosBsinAsinC例例9. 在在ABC中，已知中，已知2cosBsinCsinA，试判定，试判定ABC的形状的形状.解：在原等式两边同乘以解：在原等式两边同乘以sinA得：得： 2cosBsinAsinCsin2A， 由由正、余正、余定理得定理得 sin2Asin2Csin2sin2A， sin2Csin2BBC 故故ABC是等腰三角形是等腰三角形.例例10. 在在ABC中，已知角中，已知角B45，D是是BC边上一点，边上一点，AD5，AC7，DC3，求，求AB.解：在解：在ADC中，中，,14113725372222222DCACADDCACcoscosC C1435又又0C180，sinCCABBACsinsin在在ABC中，中，.265721435sinsinACBCAB此题在求解过此题在求解过程中，先用余程中，先用余弦定理求角，弦定理求角，再用正弦定理再用正弦定理求边，要求学求边，要求学生注意正、余生注意正、余弦定理的综合弦定理的综合运用运用.例例11. 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，已知中，已知AD CD, AD=10, AB=14, BDA=60 , BCD=135 求求BC的长的长BDAADBDADBDBAcos2222解：在解：在ABDABD中，设中，设BD=BD=x 则则60cos1021014222xx即即096102xx 整理得：整理得： BCDBDCDBBCsinsin由正弦定理：由正弦定理：2830sin135sin16BC 161x62x解之：解之：（舍去）（舍去）练练 习习1.在在ABC中，已知中，已知B=30,b=50,c=150，那么这个三角，那么这个三角形是形是( ) A.等边三角形等边三角形 B.直角三角形直角三角形 C.等腰三角形等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形2.在在ABC中，若中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则此三，则此三角形为角形为( ) A.直角三角形直角三角形 B.等腰三角形等腰三角形 C.等边三角形等边三角形 D.等腰直角三角形等腰直角三角形3.在在ABC中，已知中，已知sinA sinB sinC=6 5 4，则，则secA= .4.ABC中，中， ，则三角形为，则三角形为 .BABAsinsintantan等腰三角形等腰三角形 8DA5. 半径为半径为1的圆内接三角形的面积为的圆内接三角形的面积为0.25，求此三角形，求此三角形三边长的乘积三边长的乘积.解：设解：设ABC三边为三边为a，b，c. 则则bBabcBacabcSABC2sin2sinRBb2sin又又，其中，其中R为三角形外接圆半径为三角形外接圆半径, abc4RSABC410251所以三角形三边长的乘积为所以三角形三边长的乘积为1.Bacsin21ABCRabcSABC41评述：由于题设条件有三角形评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：外接圆半径，故联想正弦定理：其中其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式ABC 发生联系，对发生联系，对abc进行整体求解进行整体求解.2sinsinsinabcRABC1sin2acB6. ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角， 1 求最大角求最大角 ; 2 求以此最大角为内角，夹此角两边求以此最大角为内角，夹此角两边之和为之和为4的平行四边形的最大面积。的平行四边形的最大面积。151 C=109o 2 S最大最大=小小 结结 熟悉正、余弦定理在进行边角关系转换时熟悉正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断式进行证明以及对三角形形状进行判断. 进一步熟悉三角函数公式及三角形的有关进一步熟悉三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用正、余弦定理求解三角形的有性质，综合运用正、余弦定理求解三角形的有关问题，注意常见解题方法与解题技巧的总结，关问题，注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力不断提高三角形问题的求解能力.
