2221配方法.ppt
52135xx3x2y = 7x2y = 92151xx二元一次方程组二元一次方程组一元一次方程一元一次方程分式方程分式方程消元消元去分母去分母怎样解这些方程？怎样解这些方程？回顾旧知3x25 = 8x2x25x6 = 0怎样解怎样解一元二次方程一元二次方程？新课导入 【知识与能力【知识与能力】 理解一元二次方程理解一元二次方程“降次降次”转化的数学转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。思想，并能应用它解决一些具体问题。 对于缺一次项的一元二次方程对于缺一次项的一元二次方程 ax2c = 0，根，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解解 a（ex+f）2c = 0 型的一元二次方程。型的一元二次方程。 教学目标 【过程与方法【过程与方法】 通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法直接开方法，直接开方法， 导入用配方法解一元二次导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程。次方程。 通过用已学的配方法解通过用已学的配方法解 ax2 bx c = 0（a0）导出解一元二次方程的求根公式。导出解一元二次方程的求根公式。 【情感态度与价值观【情感态度与价值观】 经历用配方法解一元一次方程的过程，使同经历用配方法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想。学们体会到转化等数学思想。 经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣。解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣。 运用直接开平方法解形如运用直接开平方法解形如x2 = p 或或(mxn)2 = p（p0）的方程，领会降次）的方程，领会降次转化的数学思转化的数学思想。想。 配方法的解题步骤。配方法的解题步骤。 把常数项移到方程右边后，两边加上的常数把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方。是一次项系数一半的平方。教学重难点 1. 在在ABC中，中，B=90，点，点 P 从点从点 B 开始，开始，沿沿 AB 边向点边向点 B 以以 1 cm/s 的速度移动，点的速度移动，点 Q 从点从点 B 开始，沿开始，沿 BC 边向点边向点 C 以以 2 cm/s 的速度移动，如果的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm， P、Q 都从都从 B 点同时出发，点同时出发，几秒后几秒后PBQ 的面积等于的面积等于 16 cm2 ？ 实际问题ACBQP1 cm/s2 cm/s 设设 x 秒后秒后PBQ 的面积为的面积为 16 cm2 ，则有则有 PB = x，BQ = 2x 。ACBQP1 cm/s2 cm/s12162xx由题意得由题意得216x 4x 所以所以 5 秒后秒后PBQ 的面积为的面积为 16 cm2 。根据平方根的意义，得根据平方根的意义，得即即15x ，25x （不合题意，舍去）（不合题意，舍去）实际问题 2. 某小区为了美化环境，将花园的布局做某小区为了美化环境，将花园的布局做了如下调整：将一个正方形小花园每边扩大了如下调整：将一个正方形小花园每边扩大2 m后，改造成一个面积为后，改造成一个面积为100 m2 的大花园，那么的大花园，那么原来小花园的边长是多少？原来小花园的边长是多少？设原来小花园的边长设原来小花园的边长 x m，则有则有(x2)2 = 100 x2=10根据平方根的意义，得根据平方根的意义，得即即18x ，212x （不合题意，舍去）（不合题意，舍去）所以原来小花园的边长是所以原来小花园的边长是 8 m 。实际问题 3.市政府计划市政府计划 2 年内将人均住房面积由现年内将人均住房面积由现在的在的 10 m2 提高到提高到 14.4 m2 ，求每年人均住房面，求每年人均住房面积增长率？积增长率？设每年人均住房面积增长率为设每年人均住房面积增长率为 x ，则有则有10(1x)2 = 14.4 1x =根据平方根的意义，得根据平方根的意义，得即即所以每年人均住房面积增长率为所以每年人均住房面积增长率为 20 %。10.2x ，22.2x （不合题意，舍去）（不合题意，舍去）1.44216x (x2)2 = 100 这些方程在解法这些方程在解法上有什么共同点？上有什么共同点？4x x2 =10 方程一边是一个完全平方式，另一边是一个方程一边是一个完全平方式，另一边是一个常数。根据平方根的意义求解。常数。根据平方根的意义求解。完全平方公式完全平方公式a22abb2 = (ab)2a22abb2 = (ab)2 10(1x)2 = 14.4 1x =1.44222222816_91243_2xxxxxxpxpxx（1） （2） （3） 将下列方程写成完全平方式。将下列方程写成完全平方式。422p 解方程。解方程。2443xx2(21)5x解：解：解：解：215x 215x ，215x 方程的两根为方程的两根为1152x，2152x2(2)3x23x，23x 方程的两根为方程的两根为132x ，232x 形如形如 ( mxn)2 = p（p0）的方程，我）的方程，我们可以用们可以用直接开平方直接开平方的方法来求根。的方法来求根。知识要点知识要点 把一个一元二次方程把一个一元二次方程“降次降次”，转化为两个一，转化为两个一元一次方程。我们把这种思想称为元一次方程。我们把这种思想称为“降次转化思降次转化思想想”。2(21)5x215x 215x 2(2)3x23x23x 如果方程能化成如果方程能化成 x2 = p 或或( mxn)2 = p（p0）的形式，那么可得的形式，那么可得 或或 。xp mxnp 2. 某小区为了美化环境，将花园的布局做某小区为了美化环境，将花园的布局做了如下调整：将一个正方形小花园每边扩大了如下调整：将一个正方形小花园每边扩大2m后，改造成一个面积为后，改造成一个面积为100 m2 的大花园，那么的大花园，那么原来小花园的边长是多少？原来小花园的边长是多少？设原来小花园的边长设原来小花园的边长 x m，则有则有(x2)2 = 100回顾回顾 将前面将前面“实际问题实际问题2”中花中花园调整方案改动如下：园调整方案改动如下： 3. 某小区为了美化环境，将正方形小花园某小区为了美化环境，将正方形小花园的布局做如下调整：使长比宽多的布局做如下调整：使长比宽多 4 m，且面积，且面积为为96 m2 ，那么花园的长和宽应各是多少？，那么花园的长和宽应各是多少？设花园的宽设花园的宽 x m，长，长 （x+4）m。则有则有x (x4) = 96即即x24x96 = 0 x24x96 = 0 方程左边是完全平方式吗？方程左边是完全平方式吗？能用刚才的直接开平方的方法求根吗？能用刚才的直接开平方的方法求根吗？x2 = p 或或( mxn)2 = p（p0）不是不是 这样的形式。这样的形式。能不能转化为能不能转化为？根据这个技巧，我们来把根据这个技巧，我们来把 转化为转化为（1）x28x _ = ( x _ )2（2）x24x _ = ( x _ )2（3）x210 x_ = ( x _ )2探究探究 根据完全平方公式填空。根据完全平方公式填空。16442255一次项系数一次项系数一半的平方一半的平方一次项系数一次项系数的一半的一半二次项系二次项系数为数为1时时x24x96 = 0 x2 = p 或或( mxn)2 = p（p0）的形式。的形式。移项移项两边加上两边加上 ,使左边配成完使左边配成完全平方式全平方式左边写成完全平方式左边写成完全平方式降次降次x24x96 = 0 x24x = 96 x24x4 = 964 (x2)2= 100 x2 = 10 x2 = 10， x2 = 10 x1 = 8， x2 = 12242解一次方程解一次方程加其他的加其他的数行吗数行吗为什么方程两为什么方程两边都加上边都加上242x1 = 8， x2 = 12 3. 某小区为了美化环境，将正方形小花园某小区为了美化环境，将正方形小花园的布局做如下调整：使长比宽多的布局做如下调整：使长比宽多 4 m，且面积，且面积为为96 m2 ，那么花园的长和宽应各是多少？，那么花园的长和宽应各是多少？x24x96 = 0 设花园的宽设花园的宽 x m，长，长 （x+4）m。 （不合题意，舍去）（不合题意，舍去）所以花园的宽所以花园的宽 8 m，长，长 12m。继续解答继续解答知识要点知识要点 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫解一元二次方程的方法，叫配方法配方法。x24x = 96 x24x4 = 964 (x2)2= 100 配方法是为了降次配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。为两个一元一次方程来解。n 配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征。须熟悉完全平方式的特征。n 使用配方法，先配方，再降次。使用配方法，先配方，再降次。n 配方法适用于一切一元二次方程。配方法适用于一切一元二次方程。使用配方法应该注意的问题使用配方法应该注意的问题例题2704xx（1）解：（解：（1） 移项，得移项，得 274xx配方配方由此可得由此可得222171242xx2122x122x 1122x ，2122x 解：（解：（2） 移项，得移项，得 配方配方例题23640 xx（2）二次项系数化为二次项系数化为1，得，得 2364xx 2423xx 2222422232xx 2113x (x-1)2 0 当当 x 取任何实数时，上式都不成立取任何实数时，上式都不成立即原方程无实数根。即原方程无实数根。解一元二次解一元二次方程时，会方程时，会出现无实数出现无实数根的情况。根的情况。 化：化：把原方程化成把原方程化成 xpxq = 0 的形式。的形式。移项：移项：把常数项移到方程的右边，如把常数项移到方程的右边，如x2px =q。配方：配方：方程方程两边都加上两边都加上一次项系数一半的平方一次项系数一半的平方。开方：开方：根据平方根的意义，方程两边开平方。根据平方根的意义，方程两边开平方。求解：求解：解一元一次方程。解一元一次方程。定解：定解：写出原方程的解。写出原方程的解。用配方法解一元二次方程的步骤用配方法解一元二次方程的步骤方程右边方程右边是非负数是非负数x2px ( )2 = q ( )22p2p( x+ )2 =q ( )22p2p 解形如解形如 x2 = p 或或( mxn)2 = p（p0）的一元）的一元二次方程时二次方程时 ，利用直接开平方法解方程达到降，利用直接开平方法解方程达到降次转化的目的，次转化的目的， 。1. 直接开平方法：直接开平方法：xp ，mxnp 把方程转化为把方程转化为 的形式。的形式。2.配方法解方程的基本思路配方法解方程的基本思路 ： x2 = p 或或( mxn)2 = p（p0）课堂小结3.配方法解方程的一般步骤配方法解方程的一般步骤: 化：化：把原方程化成把原方程化成 xpxq = 0 的形式。的形式。移项：移项：把常数项移到方程的右边，如把常数项移到方程的右边，如x2px =q。配方：配方：方程方程两边都加上两边都加上一次项系数一半的平方一次项系数一半的平方。开方：开方：根据平方根的意义，方程两边开平方。根据平方根的意义，方程两边开平方。求解：求解：解一元一次方程。解一元一次方程。定解：定解：写出原方程的解。写出原方程的解。方程右边方程右边是非负数是非负数x2px ( )2 = q ( )22p2p( x+ )2 =q ( )22p2p22280445xxx 1. 解方程。解方程。 24x （1）（2）（1）解：解：2280 x 228x 122,2xx （2）2445xx225x 225x25x 125,x 随堂练习 2. 下列解方程下列解方程 x210 x 36 = 0的过程的过程正确吗？如果不正确，请指出错误的地方。正确吗？如果不正确，请指出错误的地方。解：移项，得解：移项，得 x210 x = 36 配方配方 x210 x 25 = 36 (x5)2 = 36 开平方，得开平方，得 x5 =6 x1 = 11 , x2 =1 配方法解配方法解方程，应在方方程，应在方程两边同时加程两边同时加上一次项系数上一次项系数一半的平方。一半的平方。 3. 某公司一月份营业额为某公司一月份营业额为1万元，第一万元，第一季度总营业额为季度总营业额为 3.31万元，求该公司二、三万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？月份营业额平均增长率是多少？ 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x，由题意得，由题意得， 21113.31xx令令1xa ，213.31aa 则原方程变为则原方程变为22.31aa222112.3122aa20.52.56a0.51.6a 11.1a22.1a （不合题意，舍去）（不合题意，舍去） 所以该公司二、三月份营业额平均所以该公司二、三月份营业额平均增长率是增长率是 10%。11.1x 0.1x22350 xx（1）222121222135 11361616,167,57,52350 xxxxxxxxxxxx 可以，验证都是的两根。 4. 解方程。解方程。 22410 xx （2）222212121221211231266611,1222661,12261,2612xxxxxxxxxxxx 可以验证：都是方程的根。 5. 某数学兴趣小组对关于某数学兴趣小组对关于 x 的方程的方程 提出了下列问题。提出了下列问题。 （1）若使方程为一元二次方程，）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？是否存在？若存在，请求出若存在，请求出 m 并写出此方程。并写出此方程。 （2）若使方程为一元一次方程，）若使方程为一元一次方程，m 是否存在？是否存在？若存在，请求出若存在，请求出 m 并写出此方程。并写出此方程。211210mmxmx 当当m = 1时，时，m1 = 11 = 20当当m =1时，时，m1 =11 = 0212m 1m 2210 xx 。211210mmxmx 解：（解：（1）（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）若使方程为一元二次方程，若使方程为一元二次方程，当当m = 1时，一元二次方程为时，一元二次方程为211m 211210mmxmx 0m （2）由题意，得：由题意，得：若使方程为一元一次方程，若使方程为一元一次方程，当当m = 0时，方程为时，方程为 x2x1 = 0 。当当m21 = 0 时，时，m 不存在。不存在。210 xx 。当当m = 0 时，一元一次方程为时，一元一次方程为
