数与代数 (2).ppt

数的认识 一、数 书P40 1（一）、整数（一）、整数1. 0也是自然数。也是自然数。0是最小的自然数，没有最大的自然数。是最小的自然数，没有最大的自然数。0既既不是正数，也不是负数不是正数，也不是负数 。 2. 零的作用零的作用（1）一个物体也没有，用）一个物体也没有，用0表示。表示。（2）表示起点。）表示起点。（3）占位作用。）占位作用。（4）表示）表示“分界分界”。如。如“零上温度与零下温度的界限零上温度与零下温度的界限”。3.计数单位计数单位 ：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿亿都是计数单位。都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十。这样的计数法叫做十进制计数法。进制计数法。4. 数位数位 ：从右往左依次是个位、十位、百位、千位、万：从右往左依次是个位、十位、百位、千位、万位位25.数的整除数的整除（1）如果数）如果数a能被数能被数b（b 0）整除，）整除，a就叫做就叫做b的倍数，的倍数，b就叫就叫做做a的约数（或的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。的因数）。倍数和约数是相互依存的。 （2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最，最大的因数是它本身。大的因数是它本身。（3）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。（4）个位上是）个位上是0、2、4、6、8的数，都能被的数，都能被2整除。整除。 （5）个位上是）个位上是0或或5的数，都能被的数，都能被5整除。整除。（6）一个数的各位上的数的和能被）一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被整除，这个数就能被3整除。整除。（7）一个数各位数上的和能被）一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被整除，这个数就能被9整除。整除。 （8）能被）能被3整除的数不一定能被整除的数不一定能被9整除，但是能被整除，但是能被9整除的数一整除的数一定能被定能被3整除。整除。 3（9）能被）能被2整除的数叫做偶数。整除的数叫做偶数。 不能被不能被2整除的数叫做奇数。整除的数叫做奇数。 0也是偶数。也是偶数。（10）一个数，如果只有）一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。数（或素数）。100以内的质数有：以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 （11）一个数，如果除了）一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。做合数。（12） 1不是质数也不是合数。不是质数也不是合数。（13）每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数）每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 （14）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。数。 4（15）几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的）几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。一个，叫做这几个数的最大公因数。（16）公因数只有）公因数只有1的两个数，叫做互质数。的两个数，叫做互质数。（17） 1和任何自然数互质。和任何自然数互质。 相邻的两个自然数互质。相邻的两个自然数互质。 两个不两个不同的质数互质。同的质数互质。 （18）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。一个，叫做这几个数的最小公倍数。6、整数的读法：、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个读法去读，再在后面加一个“亿亿”或或“万万”字。每一级末尾的字。每一级末尾的0都都不读出来，其它数位连续有几个不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。都只读一个零。 7、整数的写法：、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写就在那个数位上写0。 58、数的改写、数的改写一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万万”或或“亿亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。位后面的数，写成近似数。 （1）准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较）准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。大的数改写成以万或亿为单位的数。（2）近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省）近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 （3）四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是）四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比或者比5大，大，就把尾数舍去，并向它的前一位进就把尾数舍去，并向它的前一位进1。9、比较整数大小、比较整数大小比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。 6（二）小数、分数、百分数和比（二）小数、分数、百分数和比1 1 、小数的意义、小数的意义 （1 1）把整数）把整数1 1平均分成平均分成1010份、份、100100份、份、10001000份份 得到的十得到的十分之几、百分之几、千分之几分之几、百分之几、千分之几 可以用小数表示。可以用小数表示。 （2 2）一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三）一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几位小数表示千分之几 （3 3）一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。）一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。数点右边的数叫做小数部分。 （4 4）在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是）在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是1010。小数部分的最高分数单位小数部分的最高分数单位“十分之一十分之一”和整数部分的最低单和整数部分的最低单位位“一一”之间的进率也是之间的进率也是1010。 72 2、小数的分类、小数的分类 （1 1）纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：）纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 0.25 、 0.368 0.368 都是纯小数。都是纯小数。 （2 2）带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。）带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如：例如： 3.25 3.25 、 5.26 5.26 都是带小数。都是带小数。 （3 3）有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。）有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如：例如： 41.7 41.7 、 25.3 25.3 、 0.23 0.23 都是有限小数。都是有限小数。 （4 4）无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。）无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如：例如： 4.33 3.1415926 4.33 3.1415926 （5 5）无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且）无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：例如：8（6）循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个）循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 （7）一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字）一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。叫做这个循环小数的循环节。 （8）纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做）纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。纯循环小数。（9）混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，）混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。叫做混循环小数。（10）写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需）写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有个圆点。如果循环节只有 一个数字，就只在它的上面点一一个数字，就只在它的上面点一个点。个点。9(三）分数三）分数1、分数的意义、分数的意义 （1）把单位）把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。份的数叫做分数。 （2）在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，）在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。数叫做分子，表示有这样的多少份。 （3）把单位）把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。叫做分数单位。 2、分数的分类、分数的分类 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。 假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于分数。假分数大于或等于1。 带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。带分数。 10 3、约分和通分、约分和通分 把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。叫做约分。 分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。做通分。（四）百分数（四）百分数 ：表示一个数是另一个数的百分之几的数表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数叫做百分数,也叫也叫做百分率做百分率 或百分比。或百分比。百分数通常用百分数通常用%来表示。百分号是表示百分数的符号。来表示。百分号是表示百分数的符号。 11二二 、方法、方法 1 1、小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法、小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作读，小数点读作“点点”，小数部分从左向右顺次读出每一，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。位数位上的数字。 2 2、小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法、小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。数位上的数字。3 3、分数的读法：读分数时，先读分母再读、分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之分之”然后读然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。分子，分子和分母按照整数的读法来读。 4 4、分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按、分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。照整数的写法来写。 5 5、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。前面的数，读数时按照整数的读法来读。 6 6、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号的分子后面加上百分号“%”%”来表示。来表示。 12（2 2）比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大）比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大大 （3 3）比较分数的大小）比较分数的大小: :分母相同的分数，分子大的分数比较大；分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。的，先通分，再比较两个数的大小。 13（三）数的互化（三）数的互化 1 1、小数化成分数：原来有几位小数，就在、小数化成分数：原来有几位小数，就在1 1的后面写几个零的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。 2 2、分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小、分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。数。 3 3、一个最简分数，如果分母中除了、一个最简分数，如果分母中除了2 2和和5 5以外，不含有其他的以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2 2和和5 5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 4 4、小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后、小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。面添上百分号。 5 5、百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，、百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。同时把小数点向左移动两位。 6 6、分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通、分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数常保留三位小数) )，再把小数化成百分数。，再把小数化成百分数。 7 7、百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约、百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。成最简分数。 14（四）数的整除（四）数的整除 1 1、把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这、把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。写成连乘的形式。 2 2、求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约、求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1 1为止，然后把为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数数 。 3 3、求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其、求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。数的最小公倍数。 4 4、成为互质关系的两个数：、成为互质关系的两个数：1 1和任何自然数互质和任何自然数互质 ； 相邻的相邻的两个自然数互质；两个自然数互质； 当合数不是质数的倍数时，这个合数和当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；这个质数互质； 两个合数的公约数只有两个合数的公约数只有1 1时，这两个合数互时，这两个合数互质。质。 15（五）约分和通分（五）约分和通分 （1 1）约分的方法：用分子和分母的公约数（）约分的方法：用分子和分母的公约数（1 1除外）除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。 （2 2）通分的方法：先求出原来的几个分数分母的）通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。作分母的分数。16三、性质和规律三、性质和规律 （一）商不变的规律（一）商不变的规律 商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。小相同的倍，商不变。 （二）小数的性质（二）小数的性质 小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 （三）小数点位置的移动引起小数大小的变化（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化 1 1、小数点向右移动一位，原来的数就扩大、小数点向右移动一位，原来的数就扩大1010倍；小数点向右移倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大动两位，原来的数就扩大100100倍；小数点向右移动三位，原来的倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大数就扩大10001000倍倍 2 2、小数点向左移动一位，原来的数就缩小、小数点向左移动一位，原来的数就缩小1010倍；小数点向左移倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小动两位，原来的数就缩小100100倍；小数点向左移动三位，原来的倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小数就缩小10001000倍倍 3 3、小数点向左移或者向右移位数不够时，要用、小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“00补足位。补足位。 17（四）分数的基本性质（四）分数的基本性质 分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。 （五）分数与除法的关系（五）分数与除法的关系 1、被除数、被除数除数除数= 除数被除数 2 2、因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。、因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。 3 3、被除数、被除数 相当于分子，除数相当于分母。相当于分子，除数相当于分母。 18