第1讲函数与方程思想、数形结合思想.ppt

一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想第第1讲函数与方程思想、数形结合思想讲函数与方程思想、数形结合思想一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依的联系函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点是历年高考的重点和热点方程的思想与函数的思想密切相关：方程方程的思想与函数的思想密切相关：方程f(x)0的解就是函的解就是函数数yf(x)的图象与的图象与x轴的交点的横坐标；函数轴的交点的横坐标；函数yf(x)也可以也可以看作二元方程看作二元方程f(x)y0，通过方程进行研究；方程，通过方程进行研究；方程f(x)a有解，当且仅当有解，当且仅当a属于函数属于函数f(x)的值域；函数与方程的这种相的值域；函数与方程的这种相互转化关系十分重要互转化关系十分重要一、函数与方程思想一、函数与方程思想思想概述思想概述一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想函数与方程的思想在解题中的应用可从以下几个方面思考：函数与方程的思想在解题中的应用可从以下几个方面思考：1函数与不等式的相互转化，对函数函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当，当y0时，时，就转化为不等式就转化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式2数列的通项与前数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要，数列也可用方程思想的观点去处理数列问题十分重要，数列也可用方程思想求解求解3(1)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论；解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论；(2)立立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想【例例1】 已知函数已知函数f(x)exax，其中，其中a0.(1)若对一切若对一切xR，f(x)1恒成立，求恒成立，求a的取值集合；的取值集合；(2)在函数在函数f(x)的图象上取定两点的图象上取定两点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)(x1x2)，记直线，记直线AB的斜率为的斜率为k，证明：存在，证明：存在x0(x1，x2)，使，使f(x0)k成立成立(1)解解f(x)exa，令，令f(x)0，得，得xln a.当当xln a时，时，f(x)0；当；当xln a时，时，f(x)0.f(x)在在(，ln a)上是减函数，在上是减函数，在(ln a，)上是增函数上是增函数类型讲解类型讲解类型一类型一 函数方程思想在不等式恒成立、函数零点函数方程思想在不等式恒成立、函数零点 问题中的应用问题中的应用一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想故当故当xln a时，时，f(x)取最小值取最小值f(ln a)aaln a.于是对一切于是对一切xR，f(x)1恒成立，恒成立，当且仅当当且仅当aaln a1. 令令g(t)ttln t，则，则g(t)ln t.当当0t1时，时，g(t)0，g(t)单调递增；单调递增；当当t1时，时，g(t)0，g(t)单调递减单调递减故当故当t1时，时，g(t)取最大值取最大值g(1)1.因此，当且仅当因此，当且仅当a1时，式成立时，式成立综上所述，综上所述，a的取值集合为的取值集合为1一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想因为函数因为函数y(x)在区间在区间x1，x2上的图象是连续不断的一条上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在曲线，所以存在x0(x1，x2)，使，使(x0)0，即，即f(x0)k成立成立规律方法规律方法 (1)本题求解的关键在于恰当构造函数，第本题求解的关键在于恰当构造函数，第(1)问中问中xR，恒有，恒有f(x)1，转化为求函数，转化为求函数f(x)min1.第第(2)问中对于问中对于aaln a1，构造函数，求，构造函数，求aaln a最大值为最大值为1，从而把不，从而把不等式等式转化为方程第转化为方程第(3)问中在第问中在第(2)问中判定问中判定(x1)，(x2)符符号，构建函数号，构建函数F(t)ett1，利用单调性加以确定，抓住函，利用单调性加以确定，抓住函数这一灵魂，找到解题的利器数这一灵魂，找到解题的利器(2)题目综合考查导数、斜率公式、函数的零点、不等式等基题目综合考查导数、斜率公式、函数的零点、不等式等基础知识，灵活利用函数方程思想，有效实施方程，不等式，础知识，灵活利用函数方程思想，有效实施方程，不等式，函数之间相互转化函数之间相互转化一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想【例例2】 (1)等比数列等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且4a1，2a2，a3成成等差数列，若等差数列，若a11，则，则S4_类型二类型二 函数方程思想在数列中的应用函数方程思想在数列中的应用一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想规律方法规律方法 (1)等差、等比数列中，通项公式、前等差、等比数列中，通项公式、前n项和公项和公式，可以看成式，可以看成n的函数，可以用函数方法解决的函数，可以用函数方法解决(2)而数列求值问题的实质是解方程，所以，方程思想在而数列求值问题的实质是解方程，所以，方程思想在数列问题中也有着重要的作用数列问题中也有着重要的作用一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想【例例3】 (2013惠州模拟惠州模拟)已知平面内一动点已知平面内一动点P到点到点F(1，0)的的距离与点距离与点P到到y轴的距离的差等于轴的距离的差等于1.(1)求动点求动点P的轨迹的轨迹C的方程；的方程；类型三类型三 函数方程思想在解析几何中的应用函数方程思想在解析几何中的应用一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想所以，动点所以，动点P的轨迹的轨迹C的方程为的方程为y24x(x0)和和y0(x0)(2)如图所示，由题意知，直线如图所示，由题意知，直线l1的斜率存在且不为的斜率存在且不为0，设为，设为k，则，则l1的方程为的方程为yk(x1)一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合，达到抽象思维和形象思维的和谐统一通过对规言有机结合，达到抽象思维和形象思维的和谐统一通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决确，从而使问题得到解决数形结合包含数形结合包含“以形助数以形助数”和和“以数辅形以数辅形”两个方面，其应用大致两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质二、二、 数形结合思想数形结合思想思想概述思想概述一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：1要彻底明白一些概念和运算法则的几何意义以及曲线的代数要彻底明白一些概念和运算法则的几何意义以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；数意义；2选择好突破口，恰当设参、合理用参，建立关系，由数思选择好突破口，恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；形，以形想数，做好数形转化；3挖掘隐含条件，准确界定参数的取值范围，参数的范围决定挖掘隐含条件，准确界定参数的取值范围，参数的范围决定图形的范围图形的范围数形结合思想是重要的思维方式，在高考中占有非常重要的数形结合思想是重要的思维方式，在高考中占有非常重要的地位近几年的高考题中的曲线方程问题、函数与不等式问地位近几年的高考题中的曲线方程问题、函数与不等式问题、参数范围问题、可行域与目标函数最值、向量两重性题、参数范围问题、可行域与目标函数最值、向量两重性等，都用到了数形结合的思想方法，它不仅是我们解题的一等，都用到了数形结合的思想方法，它不仅是我们解题的一种思想方法，还是我们进一步学习、研究数学的有力武器种思想方法，还是我们进一步学习、研究数学的有力武器一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想类型讲解类型讲解类型一类型一 数形结合思想在范围、最值问题中的应用数形结合思想在范围、最值问题中的应用若若a，b，c互不相等，且互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则，则abc的取值范的取值范围是围是_一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想解析解析(1)画可行域如图所示画可行域如图所示一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想(2)a，b，c互不相等，不妨设互不相等，不妨设abc，f(a)f(b)f(c)，答案答案(1)2(2)(10，12)一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想【例例2】 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，过定点中，过定点C(0，p)作直线与作直线与抛物线抛物线x22py(p0)相交于相交于A，B两点两点(1)若点若点N是点是点C关于坐标原点关于坐标原点O的对称点，求的对称点，求ABN面积面积的最小值；的最小值；(2)是否存在垂直于是否存在垂直于y轴的直线轴的直线l，使得，使得l被以被以AC为直径的圆为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存的方程；若不存在，请说明理由在，请说明理由解解(1)如图所示，依题意，点如图所示，依题意，点N的坐标为的坐标为N(0，p)，可，可设设A(x1，y1)，B(x2，y2)类型二类型二 解析几何中的数形结合思想解析几何中的数形结合思想一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想(2)如图所示，假设满足条件的直线如图所示，假设满足条件的直线l存在，存在，其方程为其方程为ya.一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想一、函数与方程思想一、函数与方程思想二、数形结合思想二、数形结合思想规律方法规律方法 (1)本题是一个考查直线与圆锥曲线位置关系的本题是一个考查直线与圆锥曲线位置关系的开放性问题，数形结合思想中一个非常重要的方面是以数解开放性问题，数形结合思想中一个非常重要的方面是以数解形，通过方程等代数的方法来研究几何问题，也就是解析形，通过方程等代数的方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效(2)此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语息和结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程言，即方程(组组)或不等式或不等式(组组)，从而将问题解决，从而将问题解决