223实际问题与二次函数第1课时.ppt

数学来源于生活又应用于生活，数学来源于生活又应用于生活，不管是过去、现在还是将来，数学不管是过去、现在还是将来，数学都是实际生活中不可缺少的有力工都是实际生活中不可缺少的有力工具之一。具之一。22.3 22.3 实际问题与二次函实际问题与二次函数数1.1.会求二次函数会求二次函数y=ax2+bx+c的最小（大）值。的最小（大）值。2.2.能够从实际问题抽象出二次函数关系，并能够从实际问题抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决运用二次函数及性质解决最小（大）值等最小（大）值等实际问题。实际问题。情景导入问题问题 ：从地面竖直向上抛出一个小球，小球：从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度的高度h h（单位：（单位：m m）与小球的运动时间）与小球的运动时间t t （单位：（单位：s s）之间的关系是）之间的关系是h=30t-5t h=30t-5t （0t60t6）。小球运动的时间是多少时，）。小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少小球最高？小球运动中的最大高度是多少？问题问题1 1：用总长为：用总长为60m60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积的篱笆围成矩形场地，矩形面积S S随随矩形一边长矩形一边长l的变化而变化的变化而变化. .当当l是多少时，场地的面积是多少时，场地的面积S S最最大？大？分析：先写出分析：先写出S S与与l的函数关系式，再求出使的函数关系式，再求出使S S最大的最大的l的值的值. .矩形场地的周长是矩形场地的周长是60m60m，一边长为，一边长为l，则另一边长为，则另一边长为 m m，场地的面积，场地的面积: : S=l(30-l) 即即S=-l2+30l请同学们画出此函数的图象请同学们画出此函数的图象可以看出，这个函数的图可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说，图象的最高点，也就是说，当当l取顶点的横坐标时，这取顶点的横坐标时，这个函数有最大值个函数有最大值. .5 510101515 2020 25253030100100200200ls时因此，当15) 1(2302abl.225) 1(4304422abacS有最大值即即l是是15m15m时，场地的面积时，场地的面积S S最大最大. .（S=225S=225) )O O3010800 xxy.3025055102xxx1100102a=-10a=-100 0，当当x=55x=55时，函数时，函数y y有最大值有最大值3025030250。即当旅行团的人数为即当旅行团的人数为5555人时，旅行社可以获得最大营业额。人时，旅行社可以获得最大营业额。一般地，因为抛物线一般地，因为抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的顶点是最低（高）的顶点是最低（高）点，所以当点，所以当 时，二次函数时，二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c有有最小（大）值最小（大）值 . .abx2abac442 问题问题3 3：某商品现在的售价为每：某商品现在的售价为每件件6060元，每星期可卖出元，每星期可卖出300300件，件，市场调查反映：如调整价格，每市场调查反映：如调整价格，每涨价涨价1 1元，每星期少卖出元，每星期少卖出1010件；件；每降价每降价1 1元，每星期可多卖出元，每星期可多卖出2020件，已知商品的进价为每件件，已知商品的进价为每件4040元，元，如何定价才能使利润最大？如何定价才能使利润最大？请同学们带着以下几个问题读题请同学们带着以下几个问题读题（1 1）题目中有几种调整价格的方法？）题目中有几种调整价格的方法？ （2 2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？之发生了变化？分析分析: :调整价格包括涨价和降价两种情况调整价格包括涨价和降价两种情况先来看涨价的情况：设每件涨价先来看涨价的情况：设每件涨价x x元，则每星期售出商品元，则每星期售出商品的利润的利润y y也随之变化，我们先来确定也随之变化，我们先来确定y y与与x x的函数关系式的函数关系式. .涨涨价价x x元元, ,则每星期少卖则每星期少卖 件，实际卖出件，实际卖出 件件, ,每件利润为每件利润为 元，因此，所得利润元，因此，所得利润为为 元元. .10 x10 x(300-10 x)(300-10 x)(60+x-40)(60+x-40)（60+x-4060+x-40）(300-10 x)(300-10 x)y=(60+x-40)(300-10 x)y=(60+x-40)(300-10 x)(0 x30)(0 x30)即即y=-10y=-10（x-5x-5）2 2+6250+6250当当x=5x=5时，时，y y最大值最大值=6250=6250怎样确定怎样确定x x的取值范的取值范围围2bx5y10 5100 5600062502a 最大值时，可以看出，这个函数的图可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说图像的最高点，也就是说当当x取顶点坐标的横坐标时，取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值这个函数有最大值.由公式由公式可以求出顶点的横坐标可以求出顶点的横坐标.元x元y625060005300所以，当定价为所以，当定价为6565元时，利润最大，最大利润为元时，利润最大，最大利润为62506250元元也可以这样求极值也可以这样求极值在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1 1）的过程）的过程得出答案得出答案. .解析：解析：设降价设降价x x元时利润最大，则每星期可多卖元时利润最大，则每星期可多卖20 x20 x件，实件，实际卖出（际卖出（300+20 x)300+20 x)件，每件利润为（件，每件利润为（60-40-x60-40-x）元，因此，）元，因此，得利润得利润y=(300+20 x)(60-40-x)y=(300+20 x)(60-40-x) =-20(x =-20(x -5x+6.25)+6125-5x+6.25)+6125 =-20 =-20（x-2.5x-2.5）+6125+6125x=2.5x=2.5时，时，y y极大值极大值=6125=6125你能回答了吧！你能回答了吧！怎样确怎样确定定x的取的取值范围值范围（0 0 x x2020）综上可知，当定价为综上可知，当定价为6565元时，利润最大，最大利润为元时，利润最大，最大利润为62506250元元. .（1 1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；实际意义，确定自变量的取值范围；（2 2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值过配方求出二次函数的最大值或最小值. .解决这类题目的一般步骤解决这类题目的一般步骤1 1将一条长为将一条长为20cm20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是小值是 cmcm2 25 .12225或2.2.某商店购进一种单价为某商店购进一种单价为4040元的篮球，如果以单价元的篮球，如果以单价5050元售元售出，那么每月可售出出，那么每月可售出500500个，据销售经验，售价每提高个，据销售经验，售价每提高1 1元，元，销售量相应减少销售量相应减少1010个个. . (1)(1)假设销售单价提高假设销售单价提高x x元，那么销售每个篮球所获得的利元，那么销售每个篮球所获得的利润是润是_元，这种篮球每月的销售量是元，这种篮球每月的销售量是 个个( (用用x x的代数式表示的代数式表示) ) (2)8000(2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润元是否为每月销售篮球的最大利润? ?如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润, ,此时篮球的售价应定为多少元此时篮球的售价应定为多少元? ?x x+10+10500500 10 x10 x80008000元不是每月最大利润，最大月利润为元不是每月最大利润，最大月利润为90009000元，此时篮元，此时篮球的售价为球的售价为7070元元. .3.3.某商店经营一种小商品，进价为某商店经营一种小商品，进价为2.52.5元，据市场调查，元，据市场调查，销售单价是销售单价是13.513.5元时平均每天销售量是元时平均每天销售量是500500件，而销售单件，而销售单价每降低价每降低1 1元，平均每天就可以多售出元，平均每天就可以多售出100100件件. .（1 1）假设每件商品降低）假设每件商品降低x x元，商店每天销售这种小商品的元，商店每天销售这种小商品的利润是利润是y y元，请你写出元，请你写出y y与与x x之间的函数关系式，并注明之间的函数关系式，并注明x x的的取值范围；取值范围；（2 2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润= =销售收入购进成本）销售收入购进成本）解：解：（1 1）降低）降低x x元后，所销售的件数是（元后，所销售的件数是（500+100 x500+100 x）, ,y=y=100 x100 x2 2+600 x+5500 +600 x+5500 （0 0 x11 x11 ）（2 2）y=y=100 x100 x2 2+600 x+5500 +600 x+5500 （0 0 x11 x11 ）配方得配方得y=y=100100（x x3 3）2 2+6400 +6400 当当x=3x=3时，时，y y的最大值是的最大值是64006400元元. .即降价为即降价为3 3元时，利润最大元时，利润最大. .所以销售单价为所以销售单价为10.510.5元时，最大利润为元时，最大利润为64006400元元. .4.4.我市一家电子计算器专卖店每只进价我市一家电子计算器专卖店每只进价1313元，售价元，售价2020元，多元，多买优惠买优惠 ；凡是一次买；凡是一次买1010只以上的，每多买只以上的，每多买1 1只，所买的全部只，所买的全部计算器每只就降低计算器每只就降低0.100.10元，例如，某人买元，例如，某人买2020只计算器，于是只计算器，于是每只降价每只降价0.100.10(20-10)=1(20-10)=1(元元),),因此，所买的全部因此，所买的全部2020只计算只计算器都按照每只器都按照每只1919元计算，但是最低价为每只元计算，但是最低价为每只1616元元. .(1).(1).求一次至少买多少只，才能以最低价购买？求一次至少买多少只，才能以最低价购买？(2).(2).写出该专卖店当一次销售写出该专卖店当一次销售x x( (只只) )时，所获利润时，所获利润y y( (元元) )与与x x之间的函数关系式，并写出自变量之间的函数关系式，并写出自变量x x的取值范围；的取值范围；（3 3）若店主一次卖的只数在）若店主一次卖的只数在1010至至5050只之间，问一次卖多少只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？只获得的利润最大？其最大利润为多少？ 【解析解析】(1)(1)设一次购买设一次购买x x只，才能以最低价购买，则有只，才能以最低价购买，则有: :0.1(x-10)=20-16,0.1(x-10)=20-16,解这个方程得解这个方程得x=50. x=50. 答：一次至少买答：一次至少买5050只，才能以最低价购买只，才能以最低价购买 (2) (2) （说明：因三段图象首尾相连，所以端点（说明：因三段图象首尾相连，所以端点1010、5050包括在哪个区间均可）包括在哪个区间均可）(3)(3)将将 配方得配方得 ，所以店主一次卖，所以店主一次卖4040只时可获得最高利润，最高利润为只时可获得最高利润，最高利润为160160元元. .（也可用公式（也可用公式法求得）法求得） 21yx8x10 21y(x40)16010 10220137 (0501(2013)0.1(10)8 (1050)101613 =3 (50)xxxxyxxxxxxx x ） 105.5.春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用2020天时间，采用每天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售九（售九（1 1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x x天（天（1x201x20且且x x为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：（1 1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？前一末的捕捞量相比是如何变化的？2 2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第能在当天全部售出，求第x x天的收入天的收入y y（元）与（元）与x x（天）之（天）之间的函数关系式？（当天收入间的函数关系式？（当天收入= =日销售额日销售额- -日捕捞成本）日捕捞成本）试说明（试说明（2 2）中的函数）中的函数y y随随x x的变化情况，并指出在第几天的变化情况，并指出在第几天y y取得最大值，最大值是多少？取得最大值，最大值是多少？ 解：解：（1 1）该养殖场每天的捕捞量与前一天相比减少）该养殖场每天的捕捞量与前一天相比减少10kg10kg； （2 2）由题意，得）由题意，得2xy20(950 10 x)(5)(950 10 x)52x40 x14250 （3 3）-2-20 0，y=-2xy=-2x2 2+40 x+14250=-2+40 x+14250=-2（x-10 x-10）2 2+14450+14450，1x201x20且且x x为整数，为整数，当当1x101x10时，时，y y随随x x的增大而增大；的增大而增大；当当10 x2010 x20时，时，y y随随x x的增大而减小；的增大而减小；当当x=10 x=10时即在第时即在第1010天，天，y y取得最大值，最大值为取得最大值，最大值为1445014450 1.1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法. .2.2.利用二次函数解决实际问题时，根据利润公式等关系写利用二次函数解决实际问题时，根据利润公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键出二次函数表达式是解决问题的关键. .