342均值不等式习题课.ppt
3.4.2基本不等式的应用基本不等式的应用 abba21.定理定理 如果a,b是正数,那么(当且仅当ba 时取 “=”). .P(当且仅当ba 时取 “=”).ba 时取 “=”).(当且仅当ba 时取 “=”).ba 时取 “=”).(当且仅当ba 时取 “=”).abba2(当且仅当ba 时取 “=”).1.定理定理 如果a,b是正数,那么abba2(当且仅当ba 时取 “=”).复复习习214S214S例例1 1、已知：、已知：0 0 x x31，求函数，求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值利用二次函数求某一区间的最值利用二次函数求某一区间的最值分析一、分析一、原函数式可化为：原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二、分析二、挖掘隐含条件挖掘隐含条件即即x=x=61时时 y ymaxmax=1213x+1-3x=13x+1-3x=1为定值，且为定值，且0 0 x x31则则1-3x1-3x0 0；0 0 x x31，1-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x） 2)2313(31xx121当且仅当当且仅当 3x=1-3x3x=1-3x 可用均值不等式法可用均值不等式法:解解: 已知：已知：0 0 x x81 ，求函数，求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值解：解：1210 0 xx811-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x） 2)2313(31xx121maxy如此解答行吗？如此解答行吗？上题中只将条件改为上题中只将条件改为0 x 0，y 0，191xy求求x + y的最小值。的最小值。解：解： 例例3某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 设水池底面一边的长度为xm， 则水池的宽为 ,水池的总造价为y元，根据题意，得x160048001600150120(2 32 3)3yxx 1600240000720()xxxx16002720240000.297600402720240000解：解： 设水池底面一边的长度为xm， 则水池的宽为 ,水池的总造价为y元，根据题意，得x160048001600150120(2 32 3)3yxx 1600240000720()xxxx16002720240000.2976004027202400001600,40,2976000.xxyx即时 有最小值 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元练习：（练习：（1 1）用篱笆围一个面积为）用篱笆围一个面积为100 100 的矩形菜园，问这个的矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？少？ 2m,xmym解：设矩形菜园的长为宽为100,2()xyxy m则篱笆的长为2 10022()40 xyxyxyxy由可得：xy等号当且仅当时成立，10 xy此时因此这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m.（2）用一段长为）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园面个矩形的长宽各为多少时，菜园面 积最大？最大面积是多少？积最大？最大面积是多少？22,2()3618,182281.xmymxyxyxymxyxyxyxy 当且仅当时解：设矩形菜园的长为宽为则矩形菜园的面积为由=9可得：因此这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是成立，81m等号 3.某种汽车，购车费用是某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是万元，年维修费第一年是0.2万万元元,以后逐年增加以后逐年增加0.2万元，问这汽车使用多少年时，它万元，问这汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？的年平均费用最少？4：某厂生产化工产品，当年产量在：某厂生产化工产品，当年产量在150吨至吨至250吨之吨之间时某年生产总成本间时某年生产总成本y（万元）与年产量（万元）与年产量x(吨）之间吨）之间的关系可近似地表示为的关系可近似地表示为求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？400030102xxy1 1、设、设 且且a+ba+b=3,=3,求求a ab b的最小值的最小值_。 Rba,242、求函数、求函数f(x)=x2(4-x2) (0 x0) 的最大值为的最大值为 .2、建造一个容积为、建造一个容积为18m3, 深为深为2m的长方形无盖的长方形无盖水池，如果池底和池壁每水池，如果池底和池壁每m2 的造价为的造价为200元和元和150元，那么池的最低造价为元，那么池的最低造价为 元元.3、教材习题、教材习题3.4 A B 复习参考题复习参考题 A 6，7，821y xx作业作业1已知已知 ，则下列结论不正确的，则下列结论不正确的是（是（ ） （A）a2b2 （B）ab|a+b|110ab2baabD3.用边长为用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后做成一个无盖的水箱，问水箱边长取多少后做成一个无盖的水箱，问水箱边长取多少时，水箱容积最大，最大的容积为多少？时，水箱容积最大，最大的容积为多少？ 2下列结论中，错用算术平均值与几何下列结论中，错用算术平均值与几何平均值不等式作依据的是（平均值不等式作依据的是（ ）（A）x，y均为正数，则均为正数，则 （B）a为正数，则为正数，则 （C）lgx+logx102，其中，其中x1 （D）2xyyx21()()42aaaa22221xxB3若若ab0，则下列不等式正确的是（，则下列不等式正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）22abababab22abababab22abababab22ababababC4若若a，bR，且，且ab，在下列式子中，在下列式子中，恒成立的个数是（恒成立的个数是（ ） a2+3ab2b2； a5+b5a3b2+a2b3； a2+b22(ab1)； （A）4 （B）3 （C）2 （D）12abbaD5设设a，b，c是区间是区间(0，1)内三个互不相等内三个互不相等的实数，且满足的实数，且满足 ， , ，则，则p，q，r的大小关系是（的大小关系是（ ） （A）qpr （B）qpr （C）rqp （D）qrb0，则，则 为（为（ ） （A） （B） （C） （D）( ,)2abMb(, )Nab aUMN( ,bab(,)2abab(,)( ,)2aba( ,)2abbA7在下列函数中，最小值是在下列函数中，最小值是2的函数为的函数为（ ）（A） （B） （C） （D）5,(,0)5xyxRxx且1lg(110)lgyxxx33 ()xxyxR1sin(0)sin2yxxxC9 设设x，yR，且，且x+y=5，则，则3x+3y的最的最小值是（小值是（ ） （A）10 （B）6 （C）4 （D）18336D10已知已知x1，y1，且，且lgx+lgy=4，那么，那么lgxlgy的最大值是（的最大值是（ ） （A）2 （B） （C） （D）42141D11已知函数已知函数y=2+3x2+ ，当，当x= 时时,函数有最函数有最 值是值是 。227x12若若x3，函数，函数 ，当，当x= 时时,函数有最函数有最 值是值是 .13yxx3小小204小小513若若x0，y0，且，且x+y=1，当，当x= , y= 时，时，xy的最大值是的最大值是 。14求证：求证： .(a3)43aa7443)343733aaaa+(12121415已知函数的解析式已知函数的解析式49yxx（1）若）若x0，当，当x= 时，函数有最时，函数有最 值值为为 ；（2）若）若x ，函数在这个区间上单，函数在这个区间上单调调 ；当；当x= 时，函数有最时，函数有最 值值为为 ；2(0, 523小小12小小递减递减25685（3）若）若x4，+)，函数在这个区间上，函数在这个区间上单调单调 ；当；当x= 时，函数有时，函数有最最 值为值为 ；递增递增小小374 3、 函数函数 的最大值为的最大值为 . 4、建造一个容积为、建造一个容积为18m3, 深为深为2m的长方形的长方形无盖水池，如果池底和池壁每无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为的造价为200元和元和150元，那么池的最低造价为元，那么池的最低造价为 元元.21y xx1/23600复习:(1)两个重要不等式222( ,)abab a bRab当时取( ,)2abab a bRab当时取(2)利用均值不等式求函数最值时注意:一 正 二 定 三 相 等（2）最值定理xyxy214S2 P如果 都是正数,:, x y(1)若积 是定值p,则当x=y时,和 有最小值;.xy(2)若和 是定值s,则当x=y时积 有最大值xy)(2,R,号时取当且仅当那么baabbaba一般的，如果一般的，如果练习：已知练习：已知x 0，求，求3( )f xxx的最小值。的最小值。归纳：见和想积，乘积为定值，则和有最小值。归纳：见和想积，乘积为定值，则和有最小值。变式变式1：若：若x 2，求，求3( )2f xxx的最小值。的最小值。
