§742简单的线性规划（二）.ppt
7.4.27.4.2简单的简单的线性规划（二）线性规划（二） v教学目标：教学目标： 1 .1 .了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；解、可行域、最优解等基本概念； 2 2了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题单的实际问题; ; 3 3培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生归、数形结合的数学思想，提高学生“建模建模”和解决实际和解决实际问题的能力问题的能力. . 教学重点：教学重点： 用图解法解决简单的线性规划问题用图解法解决简单的线性规划问题. . 教学难点：教学难点： 准确求得线性规划问题的最优解准确求得线性规划问题的最优解. . 复习复习 二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式表示的平面区域Oxy 在平面直角坐标系中，以在平面直角坐标系中，以二元一次方程二元一次方程x+y-1=0的解为的解为坐标的点的集合坐标的点的集合(x,y)|x+y-1=0是经过点是经过点(0,1)和和(1,0)的的一条直线一条直线l，那么以二元一次那么以二元一次不等式不等式x+y-10的解为坐标的的解为坐标的点的集合点的集合(x,y)|x+y-10是是什么图形什么图形? 11x+y-1=0 x+y-10 x+y-100在平面直角坐在平面直角坐标系中表示直线标系中表示直线axax+ +byby+ +c c=0=0某一侧所有点组成的某一侧所有点组成的平面区域平面区域. . 不等式不等式 axax+ +byby+ +c c00 x+y-10表示这一直线哪一侧的表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当平面区域，特殊地，当c0时常把时常把原点作为此特殊点原点作为此特殊点找找错找找错? ?解：由解：由、同向相加可得：、同向相加可得：1026x 求求2x+y的取值范围。的取值范围。例例1.若实数若实数x,y满足满足4264yxyx 由由得得 24xy将上式与将上式与同向相加得同向相加得 20 y+ +得得1226yx以上解法正确吗？为什么？以上解法正确吗？为什么？首先：我们画出首先：我们画出4264yxyx表示的平面区域表示的平面区域 当当x=3,y=0时时,得出得出2x+y的的最小值为最小值为6,但此时但此时x+y=3,点点(3,0)不在不等式组的所表不在不等式组的所表示的平面区域内示的平面区域内,所以上述所以上述解答明显错了解答明显错了1234567x6543210-1-1-2y-2-3-42 yx4 yx6 yxADCB4 yx4264yxyx但不等式但不等式与不等式与不等式2053yx所表示的平面区域却不同？所表示的平面区域却不同？（扩大了许多！）（扩大了许多！）从图中我们可以看出从图中我们可以看出3502xy没错没错解得解得通过分析，我们知道上述解法中，通过分析，我们知道上述解法中，是对的，但用是对的，但用x的最大的最大(小小)值及值及y的最大的最大(小小)值来值来确定确定2x+y的最大的最大(小小)值却是不合理的。值却是不合理的。2y01026及x 怎么来解决这个问题和这一类问题呢？这就怎么来解决这个问题和这一类问题呢？这就是我们今天要学习的线性规划问题。是我们今天要学习的线性规划问题。求求2x+y的取值范围。的取值范围。例例1.若实数若实数x,y满足满足4264yxyx y1234567x6543210-1-1-2-2-3-42 yx4 yx4yxADCB我们设我们设我们设我们设z=2x+y方程变形为方程变形为y=-2x+z,等式表示斜率为等式表示斜率为-2,纵截距为纵截距为z的直线的直线,把把z看成参数看成参数,方程表示的是一组平行线方程表示的是一组平行线要求要求z的范围，现在就的范围，现在就转化为求转化为求这一组平行线这一组平行线中中,与阴影区域有交点与阴影区域有交点,且在且在y轴上的截距达到轴上的截距达到最大和最小的直线最大和最小的直线.6 yx2l0l1ll 由图，我们不难看出，这由图，我们不难看出，这种直线的纵截距的最小值为种直线的纵截距的最小值为过过A(3,1)的直线，纵截距最的直线，纵截距最大为过大为过C(5,1)的直线。的直线。所以所以11152maxz7132minz过过A(3,1)时，因为时，因为z=2x+y，所，所以以7132z同理，过同理，过B(5,1)时，因为时，因为z=2x+y，所以，所以11152zy1234567x6543210-1-1-24yx-2-3-42 yx4 yx6 yxADCB0l1l2l解：作线形约束条件所表解：作线形约束条件所表示的平面区域，即如图所示的平面区域，即如图所示四边形示四边形ABCD。作直线，：020 yxl所以，111527132maxminzz求得求得 A(3,1) B(4,0) C(5,1) D(4,2)可使达到最小值，将直线0l平移，平移到过A点0l1l的平行线与yxz 2重合时，达到最大值。可使yxz2当0l平移过C点时，与0l2l的平行线重合时，例例1.若实数若实数x,y满足满足 求求2x+y的取值范围的取值范围4264yxyx线性规划里的一些基本概念：线性规划里的一些基本概念：1.线性约束条件线性约束条件：由：由x,y的一次不等式（或方程）组的一次不等式（或方程）组成的不等式组。成的不等式组。2.目标函数：目标函数：关于关于x,y的解析式，如的解析式，如z=2x+y, 7.线性规划问题线性规划问题:求线形目标函数在线形约束条件求线形目标函数在线形约束条件下的最大值或最小值的问题下的最大值或最小值的问题,统称为线形规划问题统称为线形规划问题.4.可行解可行解：满足线形约束条件的解（：满足线形约束条件的解（x,y）叫做可）叫做可行解行解6.最优解最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的：分别使目标函数取得最大值和最小值的解，叫做这个问题的最优解。解，叫做这个问题的最优解。5.可行域可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域。：由所有可行解组成的集合叫做可行域。3.线形目标函数线形目标函数：如果这个解析式是：如果这个解析式是x,y的一次解的一次解析式，则目标函数又称为线形目标函数。析式，则目标函数又称为线形目标函数。例例2.2.设设z z=2=2x x+ +y y，式中变量满足下列条件，式中变量满足下列条件: : 求求z的最大值与最小值。的最大值与最小值。 1255334xyxyx问题：问题：设设z=2x+y，式中变量满足，式中变量满足下列条件：下列条件： 求求z的最大值与最小值。的最大值与最小值。 1255334xyxyx 目标函数目标函数（线性目标函数）（线性目标函数）线性约束条件可行域可行域 xy1234567O-1-1123456BACx=1x-4y+3=03x+5y-25=00l1ll2l解：不等式组表示的平解：不等式组表示的平面区域如图所示：面区域如图所示：，：0z-y2xl作斜率为作斜率为-2的直线的直线使之与平面区域有公共点使之与平面区域有公共点,minmax2 1 1 32 5 2 12zz A(5,2), B(1,1),。)522,1(C例例2.若实数若实数x,y满足满足 求求z=2x+y的取值范围的取值范围 1255334xyxyx由图可知由图可知,当当l过过B(1,1)时时的值最小，当的值最小，当l过过A(5,2)时，时， z的值最大的值最大.0l分析：目标函数变形为分析：目标函数变形为zxy2121把把z看成参数，同样是一组平行看成参数，同样是一组平行线，且平行线与可行域有交点。线，且平行线与可行域有交点。最小截距为过最小截距为过A(5,2)的直线的直线2l1l2l注意：直线取最大截距注意：直线取最大截距时，等价于时，等价于z21取得最大值，则取得最大值，则z取取得最小值得最小值53952221minz同理，当直线取最小截距时，同理，当直线取最小截距时，z有最大值有最大值1225maxzy1234567O-1-1123456x3x+5y-25=0 x=1BACx-4y+3=0最大截距为过最大截距为过的直线的直线1l)522, 1(C变题变题1：上例若改为求上例若改为求z=x-2y的最大值、最小值呢？的最大值、最小值呢？y1234567O-1-1123456变题变题2：若改为求若改为求z=3x+5y的最大值、最小值呢？的最大值、最小值呢？解：不等式组表示的平解：不等式组表示的平面区域如图所示：面区域如图所示：25255381513maxminzz作斜率为的直线作斜率为的直线，：0z-y53xl53x=1BACx3x+5y-25=0 x-4y+3=0l使之与平面区域有公共点使之与平面区域有公共点,由图可知由图可知,当当z的值最小，的值最小，的值最小，当的值最小，当过过A(5,2)、时，时，l过过B(1,1)时，时，)522, 1 (C25522513zmax或或0l1ll2l例例3.解下列线性规划问题：解下列线性规划问题：求求z=2x+y的最大值和最小值，使式中的最大值和最小值，使式中x、y满足下满足下列条件：列条件：11yyxxy2x+y=02x+y=-32x+y=3答案答案：当当x=-1,y=-1时，时，z=2x+y有最小值有最小值3.当当x=2,y=-1时，时，z=2x+y有最大值有最大值3.解线性规划问题的一般步骤：解线性规划问题的一般步骤：（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。 练习练习1 解下列线性规划问题：求解下列线性规划问题：求z=3x+y的最大的最大值，使式中值，使式中x、y满足下列条件：满足下列条件：3x+y=03x+y=29答案答案：当当x=9,y=2时，时，z=3x+y有最大值有最大值29.00672432yxyyxyxv练习练习2 2 （2008 2008 山东）设二元一次不等式山东）设二元一次不等式 组组 所表示的平面区域为所表示的平面区域为M M， 则使函数则使函数 的图象过区的图象过区域域M M的的a a的取植范围是（的取植范围是（ ）2190802140 xyxyxy(0,1)xyaaa. 1,3. 2,9.10,9ACD C小 结：二元一次不等式二元一次不等式表示平面区域表示平面区域直线定界，直线定界，特殊点定域特殊点定域简单的线性规划简单的线性规划约束条件约束条件目标函数目标函数可行解可行解可行域可行域最优解最优解应用应用求解方法：画、求解方法：画、移、求、答移、求、答解线性规划问题的一般步骤：解线性规划问题的一般步骤：（1）画画：画出线性约束条件所表示的可行域；：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；大或最小的直线； （3）求求：通过解方程组求出最优解；：通过解方程组求出最优解； （4）答答：作出答案。：作出答案。 书面作业书面作业课堂练习课堂练习 练习练习1 习题习题7.4 2
