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3.3二元一次不等式二元一次不等式(组组)与平面区与平面区域域及及简单的线性规划 第一讲第一讲 二元一次不等式表二元一次不等式表示平面区域示平面区域简单的线性规划“简单的线性规划简单的线性规划”是在学习了直线方程的基础上，介绍直线是在学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是大纲对数学知识应用的重视方程的一个简单应用，这是大纲对数学知识应用的重视.线性规线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经常管用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经常管理等许多方面的实际问题理等许多方面的实际问题. 简单的线性规划 中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法数数学建模法学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。解决实际问题的能力。一、引例：一、引例：某工厂生产甲、乙两种产品，生产某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲两种产品需要甲两种产品需要A种原料种原料4t、 B种原料种原料12t，产生的利润为产生的利润为2万元；生产乙种产品需要万元；生产乙种产品需要A种原料种原料1t、 B种原料种原料9t，产生的利润为，产生的利润为1万万元。现有库存元。现有库存A种原料种原料10t、 B种原料种原料60t，如何安排生产才能使利润最大？如何安排生产才能使利润最大？A种原料 B种原料利润甲种产品4 122 乙种产品1 9 1现有库存10 60 在关数据列表如下：在关数据列表如下：设生产甲、乙两种产品的吨数分别为设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y0060912104yxyxyxyxP 2利润利润何时达到最大？何时达到最大？二元一次不等式表示的平面区域Oxy 在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合(x，y)|x+y-1=0是经过点(0，1)和(1，0)的一条直线l，那么以二元一次不等式x+y-10的解为坐标的点的集合(x，y)|x+y-10是什么图形? 11x+y-1=0探索结论 结论：二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式 ax+by+c0 x+y-10 x+y-10表示这一直线表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当哪一侧的平面区域，特殊地，当c0时常把原点作为此特殊点时常把原点作为此特殊点二元一次不等式表示平面区域例例1 画出不等式2x+y-60 xyo-34二元一次不等式表示平面区域例例2 画出不等式组表示的平面区域。3005xyxyxOxy35x-y+5=0 x+y=0 x=3二元一次不等式表示平面区域练习练习: 画出不等式组表示的平面区域。53006xyyxyx(1)Oxy1 1例例3：根据所给图形，把图中的平面区域：根据所给图形，把图中的平面区域用不等式表示出来：用不等式表示出来：(2)yxO23yxO234 2 (3)二元一次不等式表示平面区域小结 由于对在直线由于对在直线ax+by+c=0同同一侧所有点一侧所有点(x，y)，把它的坐标，把它的坐标(x，y)代入代入ax+by+c，所得的实，所得的实数的符号都相同，故只需在这条数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一特殊点直线的某一侧取一特殊点(x0，y0)以以ax0+by0+c的正负的情况便可的正负的情况便可判断判断ax+by+c0表示这一直线表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当哪一侧的平面区域，特殊地，当c0时常把原点作为此特殊点时常把原点作为此特殊点2、画图时应力求准确，否则将得不、画图时应力求准确，否则将得不到正确结果。到正确结果。1、若不等式中不含、若不等式中不含0，则边界应画成，则边界应画成虚线，否则应画成实线。虚线，否则应画成实线。应该注意的几个问题：应该注意的几个问题：二元一次不等式表示平面区域作业：P93 习题 3.3 1简单的线性规划第二讲第二讲 线性规划线性规划复习复习判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法Oxy11x+y-1=0 x+y-10 x+y-10表示这一直线表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当哪一侧的平面区域，特殊地，当c0时常把原点作为此特殊点时常把原点作为此特殊点复习回顾复习回顾1.在同一坐标系上作出下列直线在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7.02)0(2:平行平行的直线与的直线与形如形如结论结论 yxttyxxYo2.作出下列不等式组的所表示的平面区域作出下列不等式组的所表示的平面区域1255334xyxyx55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC: (1.00, 4.40)A: (5.00, 2.00)B: (1.00, 1.00)Oxy问题问题1 1：x 有无最大（小）值？有无最大（小）值？问题问题2 2：y 有无最大（小）值？有无最大（小）值？问题问题3 3：2 2x+y 有无最大（小）值？有无最大（小）值？1255334xyxyx二二.提出问题提出问题把上面两个问题综合起来把上面两个问题综合起来:1255334xyxyx设设z=2x+y,求满足求满足时时,z的最大值和最小值的最大值和最小值.55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC: (1.00, 4.40)A: (5.00, 2.00)B: (1.00, 1.00)Oxy.1255334. 1所表示的区域所表示的区域先作出先作出 xyxyx02 yx02:. 20 yxl作直线作直线Rttyxll ,2:. 30直线直线平行的平行的作一组与直线作一组与直线直线直线L L越往右平越往右平移移,t,t随之增大随之增大. .以经过点以经过点A(5,2)A(5,2)的的直线所对应的直线所对应的t t值值最大最大; ;经过点经过点B(1,1)B(1,1)的直线所对应的的直线所对应的t t值最小值最小. .3112,12252minmax ZZ线性规划问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件： 求z的最大值与最小值。 1255334xyxyx 目标函数（线性目标函数）线性约束条件任何一个满足任何一个满足不等式组的不等式组的（x,yx,y）可行解可行解可行域可行域所有的所有的最优解最优解线性规线性规划问题划问题线性规划线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解； 可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域； 最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。 可行域可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)线性规划练习练习1: 解下列线性规划问题： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：11yyxxy解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。探索结论2x+y=02x+y=-32x+y=3答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值3.当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.线性规划例例2 解下列线性规划问题： 求z=300 x+900y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：探索结论x+3y=0300 x+900y=0300 x+900y=112500答案：当x=0,y=0时，z=300 x+900y有最小值0.当x=0,y=125时，z=300 x+900y有最大值112500.0025023002yxyxyx练习练习2、已知、已知求求z=3x+5y的最大值和最小值。的最大值和最小值。153y5x35y-x1xy551Oxy1-15x+3y=15X-5y=3y=x+1A(-2,-1)B(3/2,5/2)11;17minmax ZZ解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤： （2 2）移移：在线性目标函数所表示的一组平行：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；点且纵截距最大或最小的直线； （3 3）求求：通过解方程组求出最优解；：通过解方程组求出最优解； （4 4）答答：作出答案。：作出答案。 （1 1）画画：画出线性约束条件所表示的可行域；：画出线性约束条件所表示的可行域； 小小 结结 几个结论：几个结论：1、线性目标函数的最大（小）值一般、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。处取得。2、求线性目标函数的最优解，要注意、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义分析线性目标函数所表示的几何意义在在y轴上的截距或其相反数。轴上的截距或其相反数。练习练习3解下列线性规划问题：求解下列线性规划问题：求z=2x+y的最大值，的最大值，使式中使式中x、y满足下列条件：满足下列条件：探索结论, 0, 1yxyyx答案:当x=1，y=0时，z=2x+y有最大值2。线性规划 作业线性规划 作业练习练习4 解下列线性规划问题：求z=3x+y的最大值，使式中x、y满足下列条件：探索结论3x+y=03x+y=29答案：当x=9,y=2时，z=3x+y有最大值29.00672432yxyyxyx简单的线性规划第三讲第三讲 线性规划的实际应用线性规划的实际应用解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤： （2 2）移移：在线性目标函数所表示的一组平行：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；点且纵截距最大或最小的直线； （3 3）求求：通过解方程组求出最优解；：通过解方程组求出最优解； （4 4）答答：作出答案。：作出答案。 （1 1）画画：画出线性约束条件所表示的可行域；：画出线性约束条件所表示的可行域；一一.复习回顾复习回顾使使z=2x+y取得取得最大值最大值的可行解的可行解 ，且最大值为且最大值为 ；复习复习1.已知二元一次不等式组已知二元一次不等式组x-y0 x+y-10y-1（1）画出不等式组所表示的平面区域；）画出不等式组所表示的平面区域；满足满足 的的解解(x,y)都叫做可行解；都叫做可行解；z=2x+y 叫做叫做 ；（2）设）设z=2x+y，则式中变量则式中变量x,y满足满足的二元一次不等式组叫做的二元一次不等式组叫做x,y的的 ；y=-1x-y=0 x+y=12x+y=0返回返回(-1,-1)(2,-1)3xy0使使z=2x+y取得取得最小值最小值的可行解的可行解 ，且最小值为且最小值为 ；这两个这两个可行解可行解都叫做问题的都叫做问题的 。.23,2020,. 1的最小值和最大值求满足约束条件已知yxzyyxyxyxxyO2 y0 yx02 yx练习练习变式z=-3x+2y线性规划的实际应用例例1 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉吨需耗一级子棉2吨、二级子棉吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉一级子棉1吨、二级子棉吨、二级子棉2吨，每吨，每1吨甲种棉纱的利润是吨甲种棉纱的利润是600元，每元，每1吨乙种棉纱的利润是吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二吨、二级子棉不超过级子棉不超过250吨吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确精确到吨到吨)，能使利润，能使利润 总额最大总额最大?线性规划的实际应用解线性规划应用问题的一般步骤：1、理清题意，列出表格；、理清题意，列出表格；2、设好变元，列出线性约束条件（不、设好变元，列出线性约束条件（不 等式组）与目标函数；等式组）与目标函数；3、准确作图；、准确作图；4、根据题设精度计算。、根据题设精度计算。线性规划的实际应用产品 资源甲种棉纱（吨）x乙种棉纱（吨）y资源限额（吨）一级子棉（吨）21300二级子棉（吨）12250利润（元）600900例例1 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一吨需耗一级子棉级子棉2吨、二级子棉吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二吨、二级子棉级子棉2吨，每吨，每1吨甲种棉纱的利润是吨甲种棉纱的利润是600元，每元，每1吨乙种棉纱的利吨乙种棉纱的利润是润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过不超过300吨、二级子棉不超过吨、二级子棉不超过250吨吨.甲、乙两种棉纱应各生产甲、乙两种棉纱应各生产多少多少(精确到吨精确到吨)，能使利润总额最大，能使利润总额最大?线性规划的实际应用解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则0025023002yxyxyxZ=600 x+900y作出可行域，可知直线Z=600 x+900y通过点M时利润最大。解方程组25023002yxyx得点M的坐标x=350/3117y=200/367答：应生产甲、乙两种棉纱分别为117吨、67吨，能使利润总额达到最大。线性规划的实际应用 例例2 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能万吨煤，西车站每年最多能运运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为格分别为1元元/吨和吨和1.5元元/吨，乙煤矿运往东车站和西车吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为站的运费价格分别为0.8元元/吨和吨和1.6元元/吨吨.煤矿应怎样煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少编制调运方案，能使总运费最少?线性规划的实际应用煤矿 车站甲煤矿（元/吨）乙煤矿（元/吨）运量（万吨）东车站10.8280西车站1.51.6360产量（万吨）200300 例例2 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和万吨和300万吨，万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为和西车站的运费价格分别为1元元/吨和吨和1.5元元/吨，乙煤矿运往东车吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为站和西车站的运费价格分别为0.8元元/吨和吨和1.6元元/吨吨.煤矿应怎样编煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少制调运方案，能使总运费最少?线性规划的实际应用360)300()200(28000yxyxyx 解：设甲煤矿运往东车站解：设甲煤矿运往东车站x万吨，乙煤矿运往东车站万吨，乙煤矿运往东车站y万吨，则万吨，则约束条件为：约束条件为：目标函数为目标函数为:z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(300-y) =780-0.5x-0.8y (万元万元)答案：当 x=0,y=280时，即甲煤矿运往东车站甲煤矿运往东车站0吨，西车吨，西车站站200吨；乙煤矿运往东车站吨；乙煤矿运往东车站280吨，西车站吨，西车站20吨吨.总运费最少 556万元。线性规划的应用已知：-1a+b1，1a-2b3，求a+3b的取值范围。解法1：由待定系数法: 设 a+3b=m(a+b)+n(a-2 b) =(m+n)a+(m-2n)bm+n=1，m-2n=3 m=5/3 ，n=-2/3 a+3b=5/3(a+b)-2/3(a-2 b)-1a+b1，1a-2 b3-11/3a+3 b1解法2：-1a+b1，1a-2 b3 -22a+2 b2， -32 b-a-1 -1/3a5/3 -4/3b0 -13/3a+3 b5/3线性规划的应用 已知：-1a+b1，1a-2b3，求a+3b的取值范围。321211babababa解法3 约束条件为：目标函数为：z=a+3b由图形知：-11/3z1即 -11/3a+3 b1线性规划的实际应用小结解线性规划应用问题的一般步骤：1、理清题意，列出表格；、理清题意，列出表格；2、设好变元，列出线性约束条件（不、设好变元，列出线性约束条件（不 等式组）与目标函数；等式组）与目标函数；3、准确作图；、准确作图；4、根据题设精度计算。、根据题设精度计算。线性规划的应用作业： P91 练习2P93 习题 3.3 A组4 B组3