131　二项式定理.pptx

13二项式定理1.3.1二项式定理数学趣题数学趣题: :今天是星期三今天是星期三, ,再过再过2 22020 2020 天后是星期几天后是星期几, ,你知道吗？你知道吗？453510C 思考: 我们知道（我们知道（a+b)1=a+b , (a+b)2 = a2 +2ab+b2 ,(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3, 由这些式子试猜想由这些式子试猜想(a+b)4展开后的结果，它展开后的结果，它们的各项是什么呢？们的各项是什么呢？ (a+b)5 ，. . . 呢？这里有规呢？这里有规律吗律吗?分析对对( (a+ +b) )3 3展开式进行分析展开式进行分析:(:(每一项怎么来的每一项怎么来的) )因为因为(a+b)3 (a+b) (a+b) ( (a+b) 展开时，展开时，每个括号中要么取每个括号中要么取a,要么取要么取b,所以展开后其项的形式有：所以展开后其项的形式有：a3 ,a2b,ab2, b3最后结果要合并同类项最后结果要合并同类项.所以项的所以项的系数为就是该系数为就是该项在展开式中出现的次数项在展开式中出现的次数.可计算如下可计算如下:a3的系数：的系数：取取0个个b(3个个a)的情况的情况,即即C30 a2b的系数：取的系数：取1个个b(2个个a)的情况的情况,即即C31ab2的系数：取的系数：取2个个b(1个个a)的情况的情况,即即C32b3的系数：取的系数：取3个个b(0个个a)的情况的情况,即即C33故故(a+b)3 C30 a3 C31 a2b C32ab2 C33b31331因为因为(a+b)4 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)？对对( (a+ +b) )4 4展开式进行分析展开式进行分析:(:(每一项怎么来每一项怎么来的的) )展开时，展开时，每个括号中要么取每个括号中要么取a,要么取要么取b,而且只能而且只能取一个来相乘得项取一个来相乘得项,所以展开后其项的形式所以展开后其项的形式有有:a4 ,a3b,a2b2, ab3,b4最后结果要合并同类项最后结果要合并同类项.所以所以项的系数为就是该项的系数为就是该项在展开式中出现的次数项在展开式中出现的次数.可计算如下可计算如下:每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种种,即即C40 ,a4的系数为的系数为C40;恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C41 种，种，a3b的系数为的系数为C41;恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有C42 种，种， a2b2的系数为的系数为C42;恰有恰有4个取个取b的情况有的情况有C44种，种，b4的系数为的系数为C44(a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b4恰有恰有3个取个取b的情况有的情况有C43 种，种， ab3的系数为的系数为C43;分析分析( (a+ +b) )n的展开式的展开式:(:(每一项怎么来的每一项怎么来的) )因为因为(a+b)n ？(a+b)(a+b).(a+b)展开时，展开时，每个括号中要么取每个括号中要么取a,要么取要么取b,而且只能而且只能取一个来相乘得项取一个来相乘得项,所以展开后其项的形式所以展开后其项的形式有有:an ,an-1b,an-2b2, ,bn最后结果要合并同类项最后结果要合并同类项.所以所以项的系数为就是该项的系数为就是该项在展开式中出现的次数项在展开式中出现的次数.可计算如下可计算如下:n个(a+b)相乘恰有恰有n个取个取b的情况有的情况有Cnn种，种，b4的系数为的系数为Cnn每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种种,即即Cn0 ,an的系数为的系数为Cn0;恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有Cn1 种，种，an-1b的系数为的系数为Cn1;恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有Cn2 种，种，an-2b2的系数为的系数为Cn2; 二项展开式定理右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式其中 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的通项，记作Tr+1Cnr 叫做 二项式系数.一般地，对于nN*，有： 通项公式：Tr+1 =Cnr an-rbr（r=0,1,2,.,n共n+1项） 二项展开式的特点:项数：共n1项指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a、b的指数和为n系数:第r1项的二项式系数为 (r0,1,2,，n）rnC特殊地: 2.令a=1，b=x则 (1+x) n=1+Cnx+Cnxr+ Cnxnrn11.把b用- -b代替 (a- -b)n= Cnan- -Cnan-1b+ +(- -1)rCnan-rbr + +(- -1)nCnbn01rn对定理的再认识：(11)n 2n 3.令a=1，b=1013CCC. nnnn =赋值法基础训练D2.2.二项式二项式( (x - ) - )8 8的展开式中的第的展开式中的第6 6项为（项为（ ）1 1x A28x B28x C56x D56x1 12 21 12 21 12 21 12 2C3.(x+ )8的展开式中的展开式中x2的系数为的系数为_1 12 2x7又因为又因为0r100，rN，所以，所以r0,6，96，构成首项为构成首项为0，公差为，公差为6，末项为，末项为96的等差数列，的等差数列，由由960(n1)6得得n17，故系数为有理数的共有故系数为有理数的共有17项项.题型探究题型一 利用通项公式求展开式中的特定项 【例题1】求二项式求二项式( (x2 2+ + ) )10的展开式中的的展开式中的常数项常数项1 12 2x分析分析展开式中第展开式中第r1项为项为C1010(x2)10r( () )r，要使得它是常数项，必须使要使得它是常数项，必须使“x”的指数为零，依的指数为零，依据是据是x01，x0.r r2 2x1 1解析解析设第r1项为常数项，则Tr1C10(x2)10r()rC10 x202.5r(0.5)r(r0,1，10)令令202.5r0，得，得r8，T9C10(0.5)8为常数项为常数项.r r2 2x1 1r r8 825645规律总结二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr1中的变元的指数为零的方法求得常数项跟踪训练1C分析分析首先由首先由“前三项系数成等差数列前三项系数成等差数列”，得，得到关于到关于n的方程，解得的方程，解得n的值，然后根据题目的要的值，然后根据题目的要求解答每一问每问都与二项展开式的通项公式求解答每一问每问都与二项展开式的通项公式有关有关【例题2】若若 展开式中前三项系数展开式中前三项系数依次成等差数列求：依次成等差数列求：(1)展开式中含展开式中含x的的一次幂的项；(2)展开式中所有展开式中所有x的的有理项nxx)21(4 x的整数幂的项解析通项为 .由已知知： ，解得n8或n1(舍)(1)令4r1，解得r4.含x的一次幂的项为rrrnrrnrnrxCxxCT43441)21()21()( 212211220nnnCCC rrrnrrnrnrxCxxCT43441)21()21()( xxCT835244814 34规律总结利用二项式的通项公式求二项展开利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特性的项是关于二项式定理的一式中具有某种特性的项是关于二项式定理的一类典型题型常见的有求二项展开式中的第类典型题型常见的有求二项展开式中的第r项、项、常数项、含某字母的常数项、含某字母的r次方的项次方的项等等其通等等其通常解法就是据通项公式确定常解法就是据通项公式确定Tk1中中k的值或取值的值或取值范围以满足题设的条件范围以满足题设的条件跟踪训练283)(xax 若的展开式若的展开式 中中x4的系数为的系数为7，则实数，则实数a_.rrrrrrrxCaxaxCT34883881)( 4348 r7383 Ca题型二 二项式定理的逆用 分析由题目可获取以下主要信息：由题目可获取以下主要信息：展开式中展开式中“”与与“”相间隔；相间隔；2的指数最高为的指数最高为n，依次递减至，依次递减至0，且每一项的，且每一项的指数等于对应的组合数的下标与上标的差指数等于对应的组合数的下标与上标的差解答本题可先分析结构形式，然后逆用二项式定解答本题可先分析结构形式，然后逆用二项式定理求解理求解设设P15(x1)10(x1)210(x1)35(x1)4(x1)5，则，则P等于等于()Ax5 B(x2)5C(x1)5 D(x1)5跟踪训练3解析解析P1(x1)5(x2)5，故选，故选B.B题型三 二项式系数与项的系数的区分 6)12(xx 9)1(xx 方法规律二项式系数与项的系数是两二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式的构成无关，后者与项数有关，与二项式的构成无关，后者与二项式的构成、二项式的指数及项数均有二项式的构成、二项式的指数及项数均有关关(1)二项式二项式(xy)5的展开式中，含的展开式中，含x2y3的项的系数的项的系数是是_(用数字作答用数字作答)跟踪训练410前后系数x0(-x)3r=0,k=3x1(-x)2r=1,k=2x2(-x)1r=2,k=1规范答题样板【例题【例题5】已知已知(1ax)(1x)5的展开式中的展开式中x2的系数为的系数为5，则，则a()A4 B3C2 D1D解题思路探究第一步，审题由于所给代数第一步，审题由于所给代数式是两个多项式的乘积形式，故展开式中式是两个多项式的乘积形式，故展开式中x2项应项应按多项式乘法的法则来寻找，当第一个括号取按多项式乘法的法则来寻找，当第一个括号取1时，后一个括号应取时，后一个括号应取x2；当第一个括号取；当第一个括号取ax时，时，后一个括号应取后一个括号应取x，故展开式中，故展开式中x2的系数应为这的系数应为这两项系数的和两项系数的和第二步，确定解题步骤第二步，确定解题步骤先按二项式定理和多项式乘法法则找出展开式中先按二项式定理和多项式乘法法则找出展开式中含含x2的项，再由项的系数的和为的项，再由项的系数的和为5列方程，最后列方程，最后解方程求解方程求a.第三步，规范解答第三步，规范解答方法规律在多个多项式的积的展开式中，在多个多项式的积的展开式中，求符合某种条件的项或项的系数时，按多求符合某种条件的项或项的系数时，按多项式乘法的法则和二项展开式的通项，逐项式乘法的法则和二项展开式的通项，逐项考察分析得出结论项考察分析得出结论(1)在在(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)的展开式中，的展开式中，含含x4的项的系数是的项的系数是()A15 B85C120 D274(2)在在(1x)(1x)2(1x)6的展开式中，的展开式中，x2的系数是的系数是_(用数字作答用数字作答)(3 3)(a+2+2b+3+3c)7 7的展开式中的展开式中a2 2b3 3c2 2项的系数是项的系数是_跟踪训练5A35C72a2C53(2b)3C22(3c)2=21102332 =15120(3)题型四 二项式定理的应用 【例例题题6】(1)求证：求证：2n23n5n4能被能被25整除；整除；(2)求证：求证：133233n1能被能被26整除整除(n为为大于大于1的偶数的偶数)22(23)n=4(5+1)n方法归纳利用二项式定理求解整除性问题时，应根据题目特征，巧妙地构造二项式，其基本方法是：要证明一个式子能够被另一个整式整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.|素养提升| 1二项展开式的特点(1)展开式共有展开式共有n1项项(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数各项的次数和都等于二项式的幂指数n.(3)字母字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由次数由n逐项减逐项减1直到为直到为0，字母，字母b的幂指数按升幂的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由排列，从第一项开始，次数由0逐项加逐项加1直到为直到为n.特别提醒：解题时要注意二项式系数与项的系数的区别和联系已知已知求求:(1):(1) ； (2) (2) ； (3) (3) ; ; (4) (4)7270127(1 2 )xaa xa xa x 127aaa 1357aaaa 017|aaa 0246aaaa 数学方法赋值法令x=0a0=1,令x=1a0+a1+a2+a3+.+a7=-1,a1+a2+a3+.+a7=-2,(1)(2)令x=1a0+a1+a2+a3+.+a7=-1,令x=-1a0-a1+a2-a3+.-a7=37=2187,两式相减得：2（a1+a3+.+a7）=-2188,a1+a3+.+a7=-1094,(3)令x=1a0+a1+a2+a3+.+a7=-1,令x=-1a0-a1+a2-a3+.-a7=37=2187,两式相加得：2（a0+a2+.+a6）=2186,a0+a2+.+a6=1093,(4)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+.+|a7|=a0-a1+a2-a3+.-a7=37=2187,练习练习:若已知若已知 (1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + + a200(x-1)200求求a1+a3+a5+a7+a199的值。的值。解：令x-1=1a0+a1+a2+a3+.+a200=5200,令x-1=-1a0-a1+a2-a3+.+a200=1,2（a1+a3+.+a199）=1+5200,a1+a3+.+a199=(1+5200)/2,两式相减得：数学趣题数学趣题: :今天是星期三今天是星期三, ,再过再过2 22020 2020 天后是星期几天后是星期几, ,你知道吗？你知道吗？解析：解析：2 22020 2020 = =2 26736733+1=2=28 8673673= =2 2(1+7)673673)77(717771)71(67267367326731673673673673226731673673CCCCCC 222020 2020 除以除以7 7余余2,2,今天是星期三今天是星期三, ,再过再过2 22020 2020 天后是星期五。天后是星期五。易错警示混淆二项式系数与项的系数而致误课堂练习DC3设设S(x1)33(x1)23(x1)1，则，则S等等于于()A(x1)3B(x2)3Cx3 D(x1)3C4在在(12x)6的展开式中，的展开式中，x2的系数为的系数为_(用数字作答用数字作答)60