中考复习-圆的基本性质.ppt
2022-6-1612022-6-162w你发现你发现点与圆的位置关系点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？是由什么来决定的呢？如果圆的半径为如果圆的半径为r，点到圆心的距离为点到圆心的距离为d，则：，则： 点在圆上点在圆上 d=r 点在圆内点在圆内 dr2022-6-163OCAB经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心外心，三角形叫做圆的三角形叫做圆的内接三角形内接三角形。问题问题1：如何作三角形的外接圆？：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？如何找三角形的外心？问题问题2：三角形的外心一定：三角形的外心一定 在三角形内吗？在三角形内吗？2022-6-164OBCDAE垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。2022-6-165判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不（直径，垂直于弦）缺一不可！可！2022-6-166OABE若圆心到弦的距离用若圆心到弦的距离用d表示，表示，半径用半径用r表示，弦长用表示，弦长用a表示，表示，这三者之间有怎样的关系？这三者之间有怎样的关系？2222adr2022-6-167w如图，如图，P为为 O的弦的弦BA延长线上一点，延长线上一点，PAAB2，PO5，求，求 O的半径。的半径。MAPBO关于弦的问题，常常需关于弦的问题，常常需要要过圆心作弦的垂线段过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的这是一条非常重要的辅辅助线助线。圆心到弦的距离、半径、圆心到弦的距离、半径、弦长弦长构成构成直角三角形直角三角形，便将问题转化为直角三便将问题转化为直角三角形的问题。角形的问题。2022-6-168（1）平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径的直径垂直垂直于弦于弦，并且，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧；（2 2）弦的垂直平分线弦的垂直平分线经过圆心经过圆心，并且，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧；（3 3）平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径，垂垂直平分弦直平分弦并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧。OBCDAE2022-6-169w圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。都是对称轴。w圆是以圆心为对称中心的圆是以圆心为对称中心的中心对称图形中心对称图形。w圆还具有圆还具有旋转不变性旋转不变性，即圆绕圆心旋转任，即圆绕圆心旋转任意一个角度意一个角度，都能与原来的图形重合。，都能与原来的图形重合。2022-6-1610定理定理 相等的圆心角相等的圆心角所对的所对的弧弧相等，相等，所对的所对的弦弦相等，所对的弦的相等，所对的弦的弦心距弦心距相等。相等。在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，OABCABC2022-6-1611圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弧相等， 圆心角圆心角所对的弦相等，所对的弦相等， 圆心角圆心角所对弦的弦心距相等。所对弦的弦心距相等。在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等的其余各组量都分别相等。在同圆或等圆中在同圆或等圆中( (前提前提) )圆心角相等圆心角相等（条件）（条件）2022-6-16121圆心角圆心角1弧弧OABCDn圆心角圆心角n弧弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。2022-6-1613OBACOBCAOCAB2022-6-1614w定理：一条弧所对的圆周角等于它所对定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。的圆心角的一半。w也可以理解为：一条弧所对的圆心角是也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半等于它所对的弧的度数的一半。w弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？w什么时候圆周角是直角？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？w直角三角形斜边中线有什么性质？反过直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？来呢？2022-6-1615推论推论1 1同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。思考：思考：1 1、“同圆或等圆同圆或等圆”的条件能否去掉？的条件能否去掉？2 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。其余各组量也相等。OBACDOCBAFED2022-6-1616OBADEC推论推论2 2半圆（或直径）所对的圆周角是半圆（或直径）所对的圆周角是9090；9090的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。推论推论3 3如果三角形一边上的中线等于这条边如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。的一半，那么这个三角形是直角三角形。w什么时候圆周角是直角？什么时候圆周角是直角？反过来呢？反过来呢？w直角三角形斜边中线有什直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？么性质？反过来呢？2022-6-1617w如图，已知如图，已知ABAB是是OO的弦，半径的弦，半径OPABOPAB，弦，弦PDPD交交ABAB于于C C，求证：，求证：PAPA2 2PCPCPDPDCDPBAO经验：经验：证明等积式，通常利证明等积式，通常利用相似；用相似；找角相等，要有找同找角相等，要有找同弧或等弧所对的圆周角弧或等弧所对的圆周角的意识；的意识；2022-6-1618 如图，弦如图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD是是ACB的平分线的平分线问题（问题（1）：你能找出图中相等）：你能找出图中相等的圆周角和相等的线段吗的圆周角和相等的线段吗?OPDCBA问题（问题（2）：图中有哪些相似的三角形？）：图中有哪些相似的三角形？问题（问题（3）：若点）：若点C在圆周上运动（不和在圆周上运动（不和A，B重合），重合），在此运动过程中，哪些线段是不变的，哪些线段发在此运动过程中，哪些线段是不变的，哪些线段发生了改变？生了改变？2022-6-1619OPDCBA 如图，弦如图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD是是ACB的平分线的平分线问题（问题（4）：若弦）：若弦AB= , BAD=30, 在点在点C运运动的过程中动的过程中,四边形四边形ADBC的最大面积为多少的最大面积为多少?此时此时CAD等于多少度等于多少度?32022-6-1620OPDCBA 如图，弦如图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD是是ACB的平分线的平分线问题（问题（5）：若弦）：若弦AB= , BAD=30, 在点在点C运运动的过程中动的过程中, 当当CAD等于多少度时等于多少度时,四边形四边形ADBC是梯形是梯形?证明你的理由证明你的理由32022-6-16212 2、如图，在、如图，在ABCABC中，中，A A4040 O是是ABCABC的外心，则的外心，则 BOCBOC . .8080如果如果O为内心，为内心，BOCBOC110110C CA AB BO O1、判断：三点确定一个圆（）、判断：三点确定一个圆（）练习练习2022-6-16223. 3. 如图所示，矩形如图所示，矩形ABCDABCD与与OO交于点交于点A A、B B、F F、E E，DEDE1cm,EF=3cm,1cm,EF=3cm,则则ABAB cmcm。 4.4.若若ABAB分圆为分圆为1515两部分，则劣孤两部分，则劣孤ABAB所对的圆周角所对的圆周角为为 ( ( ) ) A.30 A.30 B.150 B.150 C.60 D.120 5A2022-6-16236.6.下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是 ( ( ) )A.A.到圆心的距离大于半径的点在圆内到圆心的距离大于半径的点在圆内B.B.圆周角等于圆心角的一半圆周角等于圆心角的一半C.C.等弧所对的圆心角相等等弧所对的圆心角相等D.D.三点确定一个圆三点确定一个圆C5.5.(2004年年昆明市昆明市)如图所示，是中国共产主义青年如图所示，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点团团旗上的图案，点A A、B B、C C、D D、E E五等分圆，则五等分圆，则A+B+C+D+EA+B+C+D+E的度数是的度数是 ( ( ) ) A.180 A.180 B.150 B.150 C.135135 D.120120 A2022-6-16247 7、已知、已知O的面积为的面积为16.16.（1 1）若）若PO2.82.8，则点，则点P P在在O_. .（2 2）若）若PO4 4， 则点则点P P在在O_. .（3 3）若）若PO5.85.8，则点，则点P P在在O_. .（1 1）时，时，与相切与相切（2 2）时，时，与相交与相交（3）时，）时， 与相离与相离8 8、如图，、如图，RtRtABCABC的斜边的斜边ABAB， ABAB， B B，以为圆心作圆，半径为，以为圆心作圆，半径为ACB2022-6-1625例例1 1；(1)(1)如图如图, ,已知已知ABAB、CDCD是是OO的两条弦的两条弦,OE,OE、OFOF分别为分别为ABAB、CDCD的弦心距的弦心距, ,如果如果AB=CD,AB=CD,则可得出则可得出( (至少至少填写两个填写两个) )AOB=COD,ABCDOE=OFOAEBCFD图1ABCO图2(2)(2)如图如图2,2,在在OO中中, ,弦弦AB=1.8cm,ACB=30AB=1.8cm,ACB=30, ,则则OO的直的直径等于径等于(3)(3)如图如图3,AB3,AB是半圆是半圆O O的直径的直径,E,E是是 弧弧CBCB的中点的中点,OE,OE交弦交弦BCBC于于点点D,D,已知已知BC=8cm,DE=2cm.BC=8cm,DE=2cm.则则ADAD的长为的长为 cmcmAOBECD图33.6cm2 132022-6-1626w例例2 2、如图，已知在、如图，已知在OO中，弦中，弦ABAB的长的长为为8 8厘米，圆心厘米，圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3 3厘米，厘米，求求OO的半径。的半径。 O B AC2022-6-1627w 例例3 3、如图，在、如图，在OO中，中，AC=BDAC=BD， w(1)(1)图中有哪些相等关系？图中有哪些相等关系？w(2)(2)如果如果1=451=45，求，求22的度数的度数。w(3)(3)如果如果ADAD是是OO的直径，的直径，1=451=45求求BDABDA的度数的度数21ODACB2022-6-1628例例4:4:如图如图,AC,AC是是OO的直径的直径, ,弦弦BDBD交交ACAC于点于点E.E.ABDCEO(1)(1)ADEADEBCEBCE吗？吗？说明理由说明理由; ;(2)(2)若若CD=OC,CD=OC,求求sinBsinB的值的值. .解解: :ADEADEBCEBCE A=B, D=CA=B, D=C ADEADEBCEBCE(1)(1)(2)(2)若若CD=OC,CD=OC,则则AC=2DC,AC=2DC,又又 AC AC是是OO的直径的直径ADC=90ADC=90sinsinDCBAAC122022-6-1629 典型例题解析典型例题解析【例【例5 5】在直径为】在直径为400mm400mm的圆柱形油槽内，装入一部分的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽油，油面宽320mm320mm，求油的深度，求油的深度. .【解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没【解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图两种不同的情况，如图(1)(1)和和(2)(2)图图(1)(1)中中OC=OC=120(mm)=120(mm)CD=80(mm)CD=80(mm)图图(2)(2)中中OC=120(mm)OC=120(mm)CD=OC+OD=320(mm)CD=OC+OD=320(mm)2222160200BCOB 2022-6-1630【例【例6 6】如图，】如图，O O是是CAECAE平分线上的一点，以点平分线上的一点，以点O O为为圆心的圆和圆心的圆和CAECAE的两边分别交于点的两边分别交于点B B、C C和和D D、E E，连，连结结BDBD、CE.CE. 求证：求证：(1)BC=DE (2)AC=AE (3)DBCE. 典型例题解析典型例题解析2022-6-1631【解析】【解析】(1)(1)要证弧相等，即要证弦相等或弦心距离相等，要证弧相等，即要证弦相等或弦心距离相等，又已知又已知OAOA是是CAECAE的平分线，联想到角平分线性质，的平分线，联想到角平分线性质，故过故过O O分别作分别作OGACOGAC于于G G，OHAEOHAE于于H H，OG=OHOG=OHBC=DEBC=DE(2)(2)由垂径定理知：由垂径定理知：BC=DEBC=DE，G G、H H分别是分别是BCBC、DEDE的中点的中点. .再由再由AOGAOGAOHAOHAG=AHAG=AHAB=AD AC=AE.AB=AD AC=AE.(3)AC=AE(3)AC=AEC=EC=E，再根据圆的内接四边形的，再根据圆的内接四边形的性质定理知性质定理知C=ADBC=ADBE=ADBE=ADBBDCE.BDCE.2022-6-1632 练习 (1) O的半径为2,点P是 O外一点, OP的长为3,那么以P为圆心,且与 O相切的圆的半径一定是( )A. 1或5 B. 1 C. 5 D.1或4(2)若半径分别为2与6的两个圆有公共点,则圆心距d的取值范围是( ) A. d8 B.d8 C.4d8 D.4d8A D2022-6-16333.3.(2004(2004山西山西) )如图所示，已知如图所示，已知RtRtABCABC中，中，C=90C=90,AC= ,BC=1,AC= ,BC=1,若以若以C C为圆心，为圆心，CBCB为半径的为半径的圆交圆交ABAB于于P P，则，则APAP 。 练习练习2332022-6-16344.(20044.(2004吉林省吉林省) )如图所示，弦如图所示，弦ABAB的长等于的长等于OO的半的半径，点径，点C C在在AmBAmB上上, ,则则C=C= 。 30练习练习2022-6-16355.5.半径为半径为1 1的圆中有一条弦，如果它的长为的圆中有一条弦，如果它的长为 ，那么，那么这条弦所对的圆周角为这条弦所对的圆周角为 ( ( ) ) A.60 A.60 B.120 B.120 C.45 C.45 D.60 D.60或或120120D6.6.(2003年年江苏苏州市江苏苏州市)如图，四边形如图，四边形ABCDABCD内接于内接于OO，若它的一个外角若它的一个外角DCE=70DCE=70，则，则BOD=( BOD=( ) ) A A3535 B.70 B.70 C C110110 D.140 D.140 D3
